E.C. P3 BOBINES ET CONDENSATEURS CHAPITRE 13-3 Version complète
OBJECTIFS DU CHAPITRE :
Les résistances, d’après la loi de Joule, dissipent sous forme de transfert thermique toute l’énergie électrique qu’elles reçoivent.
Dans ce chapitre, nous allons présenter les propriétés de deux dipôles susceptibles d’emmagasiner l’énergie électrique qu’ils reçoivent, pour éventuellement la restituer au circuit ultérieurement. Cette propriété des bobines et condensateurs leur confère une grande importance pratique.
En complément :
L’étude de deux réseaux particuliers, l’un constitué d’une bobine et d’une résistance ; l’autre d’un condensateur et d’une résistance, sera l’occasion de donner une définition plus générale d’un réseau linéaire.
Du côté des outils mathématiques, nous présenterons et apprendrons à résoudre les équations différentielles linéaires du premier ordre.
I PROPRIETES DES BOBINES ET CONDENSATEURS
1) Condensateur Description
Un condensateur est constitué de deux armatures conductrices (métal) séparées par un isolant (air, papier, verre,…).
(Wikipedia)
Condensateur à air Condensateur
céramique 47 nF
Condensateur
chimique 1 mF Structure d’un condensateur Capacité d’un condensateur
On branche un condensateur aux bornes d’un générateur de courant constant I. Celui-ci entraîne une accumulation d’électrons sur l’armature inférieure, qui se charge donc négativement (-q à la date t). Corrélativement, le déplacement d’électrons vers la borne positive du générateur se traduit par une charge positive symétrique de l’armature supérieure (+q à la date t).
Plus le condensateur se charge, plus la tension uc à ses bornes augmente. La relation s’avère proportionnelle :
Le coefficient de proportionnalité C est la capacité du condensateur ; unité S.I. : le farad (F)
+ q - q
u
cI
e-
e-
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Courant de charge
Soit i le courant de charge du condensateur.
Soit q la charge de l’armature qui reçoit le courant i.
Alors dt i=dq .
D’après la démonstration ci-contre :
Remarque : En régime continu :
Etude énergétique :
L’énergie électrique absorbée par le condensateur n’est pas dissipée. Elle est emmagasinée dans celui-ci sous forme d’énergie potentielle électrostatique, susceptible d’être restituée ensuite au circuit électrique.
Calcul de Ec, l’énergie électrostatique emmagasinée par le condensateur : Puissance électrique absorbée :
=
=
=
= 2
2 . 1
. c c c c
c
c Cu
dt d dt u du dt C
Cdu u i
P
u Ordt d Ec
P =
donc, par identification : 22 1
c= Cuc
E
Energie électrostatique emmagasinée par un condensateur :
Le stockage ou le déstockage de l’énergie ne peuvent jamais s’effectuer instantanément (la vitesse de déplacement des électrons étant limitée à la célérité de la lumière, en mécanique relativiste). Ainsi l’énergie potentielle électrostatique est une grandeur continue. Donc la tension aux bornes d’un condensateur n’est jamais discontinue.
La tension aux bornes d’un condensateur ne peut subir de discontinuité.
2) Bobine
Description
Une bobine est constituée d'un enroulement de fil conducteur éventuellement autour d'un noyau en matériau ferromagnétique qui peut être un assemblage de feuilles de tôle ou un bloc de ferrite (céramique ferromagnétique).
(Jacques Ardissone) (composants-electroniques.com) (sonelec-musique)
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Inductance d’une bobine
Décrivons la petite expérience ci-contre.
Les deux ampoules (L1) et (L2) sont identiques.
(L1) est en série avec une bobine dont la résistance vaut R.
On place (L2) en série avec une résistance de même valeur R.
Observations :
On ferme l’interrupteur K. L’ampoule (L1) s’allume après (L2). Une fois allumées, les deux ampoules brillent d’un même éclat.
Plus la fermeture du circuit est rapide, plus le retard à l’allumage est grand.
Justifions :
Le courant s’établit plus lentement dans la branche contenant la bobine. La bobine s’oppose à l’établissement du courant.
Plus généralement :
Une bobine s'oppose aux variations de l'intensité qui la traverse.
Pendant la variation de l’intensité, la bobine est le siège d’une force électromotrice e qui s’oppose à cette variation . e et dt
di sont de signes opposés.
Enfin, plus la variation est rapide, plus la valeur de la f.e.m. est grande.
Une conclusion compatible avec toutes ces observations est donc :
Une bobine est le siège d’un phénomène résistif (résistance R du bobinage ; dissipation d’énergie) et d’une force électromotrice
dt Ldi
e=− , qui n’existe que pendant les variations d’intensité.
L est l’inductance de la bobine ; unité S.I. : le henry (H).
Pour une bobine parfaite (résistance nulle) :
Premier schéma équivalent d’une bobine :
Deuxième schéma équivalent de la bobine :
Remarque : Schéma équivalent d’une bobine parfaite en régime continu :
Etude énergétique :
L’énergie électrique absorbée par la bobine idéale n’est pas dissipée. Elle est emmagasinée dans celle-ci sous forme d’énergie potentielle magnétique, susceptible d’être restituée ensuite au circuit électrique.
Energie potentielle magnétique emmagasinée par une bobine :
L’intensité traversant une bobine ne peut subir de discontinuité.
Démonstrations identiques à celles concernant le condensateur (faites-les !).
e(t)= -L.
R.i R i(t)
di L dt
uL(t)= L.
R.i i(t) R
di L dt
u(t)= R . i + L. di u dt
L
i
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II ETUDE QUALITATIVE DE DEUX CIRCUITS
1) Charge d’un condensateur à travers une résistance Le montage :
e est un échelon de tension. Un échelon de tension modélise la fermeture d’un interrupteur.
Le phénomène de charge du condensateur : Etat du réseau avant la fermeture de l’interrupteur
L’excitation e est nulle depuis une « durée infinie » ; plus physiquement e = 0 depuis une durée très grande devant une durée τ caractéristique du réseau (voir III.1 page 6). Toutes les grandeurs électriques ont eu le temps d’atteindre des valeurs indépendantes du temps : Le réseau est en régime permanent indépendant du temps.
Le condensateur est déchargé ; il n’y a pas de générateur ; toute l’énergie a été dissipée dans la résistance : Il n’y a donc plus d’énergie dans le réseau. On en conclut que toutes les grandeurs électriques sont nulles ; notamment uc = 0 et i = 0.
Etat du réseau juste après la fermeture de l’interrupteur (état initial) A la date t = 0, on ferme l’interrupteur.
Initialement, la charge du condensateur est nulle, et il commence à se charger. Le courant de charge i(0) n’est donc pas nul.
D’après la loi des mailles : uc(0) + uR(0) = e(0) ⇔ 0 + uR(0) = E ⇔ uR(0) = E ; d’où
R i E R
i =uR(0)⇔ (0)= )
0
( .
Etat du réseau pendant la charge du condensateur
Cette phase au cours de laquelle les grandeurs électriques évoluent constitue le régime transitoire.
Le condensateur se charge progressivement, d’autant plus lentement que R est grande (la résistance au passage du courant augmente) : la tension aux bornes du condensateur augmente progressivement.
Corrélativement, le courant de charge i diminue au fur et à mesure que le condensateur se charge.
Etat du réseau après la charge du condensateur
Après une certaine durée, le condensateur est chargé. Le courant de charge s’annule donc : i(+∞) = 0. C’est la fin du régime transitoire. Les grandeurs électriques retrouvent des valeurs indépendantes du temps. Le réseau est de nouveau en régime permanent indépendant du temps.
Que vaut la tension aux bornes du condensateur chargé ? Une rapide analyse du réseau montre que si le courant de charge s’annule, il n’y a plus de tension aux bornes de R (loi d’Ohm), et donc toute la tension aux bornes du générateur se retrouve aux bornes du condensateur : uc(+∞) = E.
Les courbes obtenues :
Les courbes ci-contre rendent bien compte des phénomènes décrits ci-dessus :
• uc varie sans discontinuité de 0 à E.
• i est discontinue en t = 0 ; i(t) diminue de R
E à 0 au cours de la charge.
E
0 t
interrupteur
interrupteur
ouvert
fermé e(t)
e(t)
C
u (t) u (t)
RC
i(t) R
E i(t)
R
pe mr an en t Ré gi me tr
an si ot ir Ré gi me pe
mr an en t Ré gi me
uc(t)
E
0
t
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2) Annulation du courant dans un réseau RL Le montage :
Cette excitation modélise l’ouverture d’un interrupteur, et son remplacement par un fil. A partir de la date t = 0, plus aucune énergie n’est apportée au réseau.
Le retard aux variations du courant dans une bobine : Etat du réseau avant l’ouverture de l’interrupteur
L’excitation e est constante et égale à E depuis une « durée infinie ». Toutes les grandeurs électriques ont eu le temps d’atteindre des valeurs indépendantes du temps : Le réseau est en régime permanent indépendant du temps.
La bobine étant traversée par un courant constant, elle n’a aucun effet sur les grandeurs électriques du réseau. Elle se comporte comme un simple fil : uL = 0.
Tout se passe donc comme si un générateur E débitait dans une résistance R. L’intensité dans la maille vaut donc R i=E . Etat du réseau juste après l’ouverture de l’interrupteur (état initial)
A la date t = 0, on ouvre l’interrupteur. L’excitation e s’annule instantanément.
En l’absence de bobine, le courant s’annulerait « instantanément » (c’est-à-dire en une durée très courte comparée à une durée caractéristique du réseau). Mais la bobine s’oppose aux variations de l’intensité. Juste après l’annulation de e, grâce à l’action de la bobine, le courant a encore pour intensité
R i(0)= E. Etat du réseau pendant la variation d’intensité
Le réseau est en régime transitoire. La présence de la bobine induit une décroissance progressive de l’intensité dans le réseau, de
R
E jusqu’à 0.
Etat du réseau après la variation d’intensité
Après une certaine durée, l’intensité s’est annulée. Donc : i(+∞) = 0. C’est la fin du régime transitoire. Le réseau est de nouveau en régime permanent indépendant du temps.
La courbe d’intensité :
Sur la courbe ci-contre, on retrouve les phénomènes décrits ci-dessus :
• L’intensité ne subit pas de discontinuité. Le théorème vu au I.2 est bien vérifié.
• Alors que l’excitation s’annule instantanément, on constate que l’intensité s’éteint progressivement. On retrouve bien le fait que la bobine s’oppose aux variations de l’intensité dans la branche.
E
0 t
e(t)
e(t) u(t )=L.
R.i R i(t)
di
L dt
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III ETUDE QUANTITATIVE DES DEUX CIRCUITS
1) Circuit RC
L’étude qualitative de la charge nous a permis de déterminer les valeurs initiales : uC(0) = 0 et uR(0) = E ; et les valeurs finales : uC(+∞) = E et uR(+∞) = 0.
Reste à étudier si notre modèle de condensateur idéal est compatible avec l’allure des courbes décrivant le régime transitoire. C’est l’équation différentielle du réseau et sa résolution qui vont nous le permettre.
Régime transitoire ; Equation différentielle du réseau
• Détermination de l’équation différentielle (voir schéma du montage page 4) : Pour t > 0 :
=
=
=
=
= +
dt RCdu i R u
dt Cdu i
E e
e u u
R c c R c
.
On remplace dans l’équation de maille : E dt RCdu
uc+ c =
La relation encadrée constitue l’équation différentielle du réseau.
Cette équation différentielle relie la fonction uc(t) à sa dérivée dt duc
. Les équations différentielles de la forme : f(t)
dt
x+τdx= s’appellent des équations différentielles linéaires du premier ordre.
Les systèmes dont l’évolution dans le temps est décrite par une équation différentielle de ce type constituent des systèmes linéaires du premier ordre.
• Forme canonique d’une équation différentielle linéaire du premier ordre Analyse dimensionnelle :
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
u[
RC]
TT RC u E
dt u
RCduc= c = ⇔ c = c ⇔ =
. Le produit RC est homogène à un temps.
On pose τ = RC, constante de temps du réseau. C’est une durée caractéristique du réseau.
L’équation différentielle du réseau RC a pour forme canonique : E dt uc.+τ duc = .
• Résolution de l’équation différentielle :
Résoudre une équation différentielle, c’est chercher l’ensemble des fonctions qui, pour toutes valeurs de t, vérifient cette équation différentielle.
L’inconnue n’est pas le temps, mais la fonction uc(t).
On sépare les variables (uc à gauche ; t à droite) :
τ dt E u
du
c
c =−
− .
On intègre entre t = 0 et une date t quelconque :
τ τ
t E
E u dt
E u
du t c
u c
c
c =−
−
⇔ −
−
− =
∫
∫
0 0 lnL’équation horaire de uc est donc :
−
=
−τ t
c E e
u 1 .
• Autres équations horaires :
−t − t
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• Chronogrammes
Théorèmes concernant les courbes en τ
t
e− : Th1 : Durée du régime transitoire : 5τ
Th2 : La tangente à l’origine coupe l’asymptote en t = τ. L’évolution des grandeurs électriques se fait en trois phases :
phase : t < 0 phase : t > 5τ
Régime permanent indépendant du temps phase : 0 < t < 5τ Régime transitoire On constate que les variations de uc sont continues.
Par contre uR, et donc i sont discontinues en t = 0.
On retrouve sur les courbes les valeurs initiales et finales déterminées directement aux paragraphes I.1) et I.2) précédents.
2) Circuit RL
L’étude quantitative du circuit RL est tout à fait semblable à celle du circuit RC. Nous nous contenterons de justifier l’allure de la courbe page 5.
L’allure du régime transitoire se déduit de l’équation différentielle. Voir schéma du montage page 5.
Loi des mailles, pour t > 0 :
=
=
− + 0
0 . e
e i dt R
Ldi . On obtient : + =0
dt di R i L
Cette équation différentielle a pour forme canonique : + =0 dt
i τ di . Sa solution est donc une fonction en τ t e
−
, ce qui justifie l’allure du chronogramme page 5.
Analyse dimensionnelle : constante de temps du réseau : . Le rapport
est donc homogène à un temps.
E
τ
5τ
tuR(t)
0
u
c(t)
E
τ 5τ
0 t
Asymptote u = E
la tangente à l'origine coupe l'asymptote en t =τ
la tangente à l'origine coupe l'asymptote en t =τ
Asymptoteu =0
