1/9 I FONCTION DE TRANSFERT D’UN OPERATEUR LINEAIRE OBJECTIF DU CHAPITRE : Version complète E.C. P3 OPERATEURS LINEAIRES FONCTION FILTRAGE CHAPITRE 13-5

OBJECTIF DU CHAPITRE :

La conception d’un montage électronique résulte d’un besoin : alimenter le moteur d’un jouet ; amplifier un son ; etc. On dispose pour cela d’une source d’énergie électrique : le secteur, une pile, etc. Entre les deux, il nous faut connecter un montage dont le rôle est de transformer le signal fourni par le générateur en un signal adapté à notre objectif.

Dans ce chapitre, seront définis les outils permettant de décrire comment le montage permet de modifier le signal d’entrée en un signal de sortie adapté : sa fonction de transfert et sa fonction électronique.

La méthode d’étude de ce système repose sur le tracé de deux courbes constituant le diagramme de Bode du système.

I FONCTION DE TRANSFERT D’UN OPERATEUR LINEAIRE

1) Définitions

Un montage constitue une chaîne électronique : En amont, un dipôle générateur ; en aval, la charge ; entre les deux, une succession d’opérateurs qui modifient la tension d’entrée ue(t), afin de l’adapter à la charge (tension de sortie us(t)).

Chaque opérateur réalise une fonction électronique : amplification, inversion de signe, sommation, etc.

Sur l’exemple de chaîne électronique ci-contre :

L’opérateur Q1 est constitué de dipôles linéaires : C’est un opérateur linéaire. Pour Q1, on peut définir deux grandeurs d’entrée xe(jωt) : ue et ie ; et deux grandeurs de sortie ys(jωt) : us et is. En régime sinusoïdal forcé, Q1 est caractérisé par sa fonction de transfert : = . Celle utilisée en général dans ce chapitre est l’amplification en tension .

Exemple de fonction de transfert :

Calculons, pour Q1 en sortie ouverte, l’amplification en

tension = .

En sortie ouverte signifie : Pas de charge Zu en sortie, donc is = 0.

ZR et ZC sont traversées par la même intensité :

Elles constituent un pont diviseur de tension : ⇔

+ + =

=

ω ω

R jC jC Z

Z Z u

u

c R

c e

s

1 1

ω ω j jRC

H = +

1 ) 1 (

Remarque : Le dénominateur de H est un polynôme de degré 1 en jω : On dit que Q1 est un opérateur du premier ordre.

2) Intérêt des fonctions de transfert

Continuons sur l’exemple précédent. Pour l’opérateur Q1 en sortie ouverte : = = . H nous permet de comparer la grandeur de sortie us(t) à la grandeur d’entrée ue(t) :

• En amplitude : = = |H| < 1 Comparé au signal d’entrée, le signal de sortie est atténué.

• En phase : le déphasage θ de us par rapport à ue est égal à = Arg = Arg

• En fonction de ω : = =

Si ω→0 : |H|→1 ⇒ Usmax = Uemax : le signal est transmis par l’opérateur Si ω→+∞ : |H|→0 ⇒ Usmax = 0 : le signal est annulé par l’opérateur

L’opérateur Q1 transmet les signaux de basse fréquence et annule les signaux de haute fréquence : Q1 engendre un effet de filtrage.

Z_c Z_R u_e

i_e

u_s i_e

i_s= 0

II FONCTION ELECTRONIQUE DE FILTRAGE

1) Signaux d’entrée et spectre

Les signaux que nous appliquerons en entrée des filtres peuvent être décrits par leur spectre. Voyons quelques exemples :

1V 2V

fréquence f0

Amplitude

Fonction sinusoïdale alternative de fréquence f0 (valeur moyenne nulle)

e(t) = 2cos(2πf0t)

Son spectre : La raie représente une fonction sinusoïdale

de fréquence f0 (abscisse) d’amplitude 2 V (ordonnée)

1V 2V

fréquence f0

Amplitude

0 Fonction sinusoïdale de fréquence f0 et de valeur moyenne 0,5 V

e(t) = 0,5 + 2cos(2πf0t)

Son spectre :

La raie de fréquence nulle représente la valeur moyenne du signal 0,5 V.

La raie de fréquence f0 représente la fonction sinusoïdale [f0 , 2 V]

1V 2V

fréquence f0

Amplitude

0 3f0

Fonction e(t) = 2cos³(2πf0t) En linéarisant : 2cos³(2πf0t) = 1,5cos(2πf0t) + 0,5cos[3(2πf0t)]

Le spectre a donc deux raies :

La raie de fréquence f0 représente la fonction sinusoïdale [f0 , 1,5 V].

La raie de fréquence 3f0 représente la fonction sinusoïdale [3f0 , 0,5 V]

2) Définition d’un filtre parfait

Soit une excitation périodique e(t) de fréquence f0. Ses harmoniques sont de la forme : ek(t) = Akcos[2π(kf0)t + θ_k].

Amplitudes des harmoniques : Ak fréquences des harmoniques : fk = kf0. Spectre de e(t) :

La raie A0 de fréquence nulle est un signal continu.

C’est la valeur moyenne de e(t).

L’harmonique (f0,A1) a même fréquence que e(t).

C’est le fondamental de e(t).

fondamental Valeur moyenne

fréquences Amplitudes

A0

A1

A2 A3

Un filtre est un opérateur qui transmet de manière sélective des harmoniques de e(t).

Exemple : Mesure de la valeur moyenne de e(t)

Le filtre à réaliser doit transmettre le signal continu A0 et annuler les harmoniques e1(t), e2(t),…

On en déduit les caractéristiques du filtre. Soit une fréquence fc < f0. H = 1 si f < fc bande passante : [0,fc]

H = 0 si f > fc bande coupée : [fc,+∞]

Fréquence de coupure : fc.

Pour un filtre parfait : H = 1 dans la bande passante.

H = 0 dans la bande coupée.

3) Les quatre types de filtre

On utilise le même formalisme que ci-dessus.

Filtre passe-bas : transmet les signaux de basse fréquence et annule les signaux de haute fréquence.

Application : circuit moyenneur

mesure de la valeur moyenne d’un signal

principe du fonctionnement d’un voltmètre en position DC

Filtre passe-haut : transmet les signaux de haute fréquence et annule les signaux de basse fréquence.

Application : annulation de la valeur moyenne d’un signal (la valeur moyenne A0

est dans la bande coupée : elle n’est pas transmise).

principe du fonctionnement d’un oscilloscope en position AC Filtre passe-bande : transmet les signaux dont la fréquence est comprise entre deux valeurs f1, f2.

Application : circuit d’accord d’un récepteur radio. Soit une station radio émettant sur une fréquence f0. Quand on règle un récepteur radio, on déplace la bande passante [f1, f2]. Quand celle-ci contient la fréquence émettrice f0, le récepteur est accordé.

Filtre réjecteur : Annule les signaux dont la fréquence est comprise entre deux valeurs f1, f2.

Application : élimination du bruit à 50 Hz. 50 Hz est la fréquence du secteur. Les petits signaux sont perturbés par des parasites à 50 Hz. Un filtre réjecteur, dont la bande coupée contient la fréquence 50 Hz, permet d’éliminer ce bruit.

III METHODE D’ETUDE DE LA REPONSE FREQUENTIELLE D’UN OPERATEUR LINEAIRE

On fait varier la pulsation ω (ω = 2πf), et on compare la réponse us(jωt) à l’excitation ue(jωt), par le tracé de deux courbes en coordonnées semi-logarithmiques : • gain en décibels en fonction de ω.

• Déphasage de us(t) par rapport à ue(t) en fonction de ω. Ces deux courbes constituent le diagramme de Bode de l’opérateur.

1

f_c

0 f

H

f₀

1

f_c

0 f

Bande passante H

1

f_c

0 f

Bande passante H

1

f1

0 f

H

f2

BP

1

f1

0 f

H

f2 Bande coupée

Exemple : Traçons au tableur le diagramme de Bode de la fonction de transfert de l’opérateur Q1 en sortie ouverte. Nous décrirons les courbes ensuite.

Fonction de transfert de l’opérateur Q1 : ω ω j jRC

H = +

1 ) 1 ( Courbe de gain : GdB(ω) = 20log|H| avec

( )

²

1 1

ω RC H

+

=

Courbe de phase : θ(ω) = Arg (H) avec Arg (H) = -ArctanRCω

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03

G_dB

RCω ^-1,80

-1,60 -1,40 -1,20 -1,00 -0,80 -0,60 -0,40 -0,20 0,00

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03

Arg(H)

RCω

III.1)Description de l’allure des courbes III.1.aGain en décibels

Justifions l’expression du gain, écrite ci-dessus : G_dB(ω) = 20 log|H|

• Gain en puissance:

e s

Gp

P logP

= unité: le bel (B)

1 bel = 10 décibels (1 B = 10 dB); d'où le gain en puissance exprimé en décibels:

( )

e s p dB

G P

logP 10

= .

• Gain en courant

P est proportionnelle à I_max² . Donc

( ) ( )

( ) ( )

_max

max 2

max 2

max 20log log

10

e s e

s

dB I

I I

I

G = =

• Gain en tension De même:

( )

( )

_max

log max

20

e s

dB U

G = U

Plus généralement: G_dB =20logH(jω) III.1.bDécade et échelle logarithmique

Décrivons à présent les graduations logarithmiques de l’axe des abscisses.

Une décade est un intervalle de fréquences [f₁,f₂] défini par: 10

1 2 = f

f .

On a donc log f₂ - log f₁ = 1 décade.

D'où l'échelle logarithmique:

III.1.cDescription de la courbe de gain

La pulsation ω intervient par RCω. [RCω] = [R][Cω] = 1. RCω est une pulsation réduite : c’est une grandeur proportionnelle à ω; sans dimension On choisit de représenter G_dB en fonction de RCω.

Aux faibles pulsations, le gain est quasiment constant et nul : l’amplitude en sortie est égale à l’amplitude en entrée.

L’opérateur Q1 transmet les tensions de basse fréquence.

Aux grandes pulsations, le gain est négatif : l’amplitude en sortie est inférieure à l’amplitude en entrée.

L’opérateur Q1 atténue les tensions de haute fréquence.

xe Q ys

III.1.dDescription de la courbe de phase

La courbe de phase : θ(ω) = Arg (H), avec

( ) ( ) (

j t

)

u t j j u

H

e s

ω

ω = ω , représente les variations du déphasage de la tension de sortie par rapport à la tension d’entrée.

Aux faibles pulsations le déphasage est quasiment constant et nul : u_s(t) et u_e(t) sont en phase.

Aux grandes pulsations le déphasage de u_s(t) par rapport à u_e(t) est quasiment constant et égal à 2

−π :

u_s(t) est en retard d’un quart de période par rapport à u_e(t).

III.2)Justification de l’allure des courbes

Les deux courbes présentent des portions rectilignes. Afin d’interpréter celles-ci, on se propose :

• de simplifier la fonction de transfert

• d’interpréter les portions rectilignes de la courbe de gain

• d’interpréter les portions rectilignes de la courbe de phase III.2.aFonction de transfert asymptotique

On rappelle la fonction de transfert de Q1 : ω ω j jRC

H = +

1 ) 1

( .

Aux très faibles pulsations, RCω << 1. Ainsi, la partie imaginaire RCω est-elle négligeable devant 1, et on peut écrire : Aux très basses pulsations : RCω << 1 soit

RC

<< 1

ω dans la pratique 



 



<  RC

1 10

ω 1 H(jω)≈1 De même,

Aux très hautes pulsations : RCω >> 1 soit

RC

>> 1

ω dans la pratique 



 



>  RC 10 1

ω ω ω

j jRC

H 1

)

( ≈

III.2.bInterprétation des portions rectilignes de la courbe de gain

Aux très basses pulsations, on observe une portion horizontale. En effet : H(jω)=1 H(jω)=1 20logH(jω) =0. Le gain est constamment nul.

Aux très hautes pulsations, on observe une portion oblique.

En effet :

ω ω j jRC

H 1

)

( =

ω ω j RC

H 1

)

( = 20logH(jω) =−20log

(

RCω

)

. Que vaut le gain, sur cette portion rectiligne, lorsque la pulsation varie d’une décade (ω devient 10 fois plus grande) ? A la pulsation ω G_dB(ω)=−20log

(

RCω

)

A la pulsation 10ω G_dB(10ω)=−20log

(

10RCω

)

=−20log

( )

10 −20log

(

RCω

)

G_dB(10ω)=G_dB(ω)−20

Le gain diminue de 20 dB quand la pulsation augmente d’une décade. La pente de la portion oblique est donc -20 dB/décade.

III.2.cInterprétation des portions rectilignes de la courbe de phase

Aux très basses pulsations, on observe une portion horizontale. En effet : H(jω)=1 ArgH = Arg 1 θ = 0.

Le déphasage de u_s(t) par rapport à u_e(t) est constamment nul.

Aux très hautes pulsations, on observe une portion horizontale.

En effet :

ω ω j jRC

H 1

)

( = Arg

(

H(jω)

)

=Arg(1)−Arg

(

jRCω

)

2 θ =−π .

Le déphasage de u_s(t) par rapport à u_e(t) est constamment égal à 2

−π .

III.3)Exploitation des courbes

III.3.aBande passante à -3 dB d'un filtre réel

C'est l'ensemble des pulsations ω telles que

) 2

( H^max

j

H ω ≥

Dans la bande passante: 20log H ≥ 20log H_max - 20 log(√2) G_dB ≥G_max−3dB La pulsation de coupure ωc est définie par

2 )

( H^max

j H ω_c =

Exemple: Opérateur Q1 en sortie ouverte Etude graphique :

Sur la courbe de gain page 4, on constate que G_max = 0 dB.

En limite de bande passante, le gain vaut donc : G_dB(ωc) = 0 – 3 dB = -3 dB. La courbe indique que G_dB = -3 dB pour RCω = 1.

La pulsation de coupure vaut donc : c RC

= 1 ω .

Sur la courbe, on lit également que le gain est supérieur à -3 dB pour RCω < 1.

La bande passante est donc l'intervalle de pulsations 

 



 RC , 1

0 .

Etude analytique : Dans la bande passante,

( ) ( )

RC RC RC

j H

H 1

2 2 1

1 1

1 ) 2

( ²

2

max ≥ ⇔ + ≤ ⇔ ≤

+

⇔

≥ ω ω

ω ω

La bande passante est l'intervalle de pulsations 





 RC , 1

0 , et à la coupure :

c RC

= 1

ω .

On retrouve la nature du filtre : Il transmet les signaux de basse fréquence et annule les signaux de haute fréquence:

Q1 est un filtre passe-bas.

III.3.bFiltrage par l’opérateur Q1 d’une combinaison de fonctions sinusoïdales

Le but de ce paragraphe est d’observer la réponse s(t) de l’opérateur Q1, lorsqu’il est soumis en entrée à un signal e(t) constitué de plusieurs fonctions sinusoïdales. Nous prendrons comme exemple le signal non sinusoïdal décrit page 3 :

e(t) = 2cos³(2πf0t), qui peut être décomposé en deux fonctions sinusoïdales en phase : e(t) = 1,5 cos(2πf₀t) + 0,5 cos[3(2πf₀t)]

Si fc est la fréquence de coupure du passe-bas Q1, la fréquence de e(t) sera prise égale à

0 f2c

f = .

Dans un premier temps, nous raisonnerons de manière qualitative, en nous basant sur la notion de filtre passe-bas. Puis nous raisonnerons de manière quantitative, en calculant amplitude et phase à l’origine de chaque composante sinusoïdale en sortie.

Etude qualitative :

La fréquence f₀ de la première raie du signal d’entrée est plus petite que la fréquence de coupure fc ; l’autre est plus grande.

L’opérateur Q1 ne transmet que les signaux de fréquence inférieure à f_c (passe-bas).

Seule la composante [f₀ ; – 1,5 V] est observée en sortie. Le signal de sortie est une tension sinusoïdale de fréquence f₀ et d’amplitude 1,5 V.

e(t)

1V 2V

fréquence f0

Amplitude

0 fc 3f0

s(t)

1V 2V

fréquence f0

Amplitude

0 fc 3f0

Etude quantitative :

e(t) est la somme de deux fonctions sinusoïdales. D’après le théorème de superposition, le signal de sortie s(t) sera la somme des réponses à chacune de ces fonctions.

e(t) = 1,5cos(2πf₀t) + 0,5cos[3(2πf₀t)] s(t)

e1(t) = 1,5cos(2πf₀t) s₁(t) fréquence f₀

e2(t) = 0,5cos[3(2

π

f0t)] s2(t) fréquence 3f0

e(t) = e(t) + e(t) s(t) = s (t) + s(t)

Filtre e

(t)

H= ^s _e

s(t)

Filtre e(t)

H=^s_e s(t)

e1(t) est de la forme e1(t) = E_1maxcos(2πf₀t + φ₁) avec

0 f2c

f = et φ₁ = 0.

c

jRC j j

H

ω ω ω

ω

+ + =

=

1 1 1

) 1

( avec

c RC

= 1 ω

fc

j f j

H

+

= 1 ) 1

( ω avec ω = 2πf

2

1 1











 +

=

fc

f

H Arg (H) = -Arctan

fc

f

s₁(jωt) = H(jω)e1(j

ω

t) S_1max = |H| E_1max Arg(s₁) = Arg(H) + Arg(e₁)

Entrée Transfert Sortie

Fréquence Amplitude Phase à

l’origine H(jω) |H| Arg (H) Amplitude Phase à

l’origine

0 f2c

f = 1,5 V 0

1 2 1

+ j 5 2

2 tan1 Arc

− 5

3 (V)

2 tan1 Arc

−

2 3 ₀ 3f^c

f = ^{0,5 V 0}

2 1 3

1

+ j 13 2

2 tan3 Arc

− 13

1 (V)

2 tan3 Arc

−

D’où les signaux en entrée et en sortie.

e(t)

1V 2V

fréquence f0

Amplitude

0 fc 3f0

s(t)

1V 2V

fréquence f0

Amplitude

0 fc 3f0

La tension de sortie se rapproche de la sinusoïde prévue qualitativement, mais la fonction de fréquence 3f₀ perturbe malgré tout le signal. Le filtrage n’a pas été suffisant.

IV DIFFERENTS TYPES DE FONCTIONS DE TRANSFERT

Après l’étude exhaustive de l’opérateur Q1, un exemple de filtre passe-bas du premier ordre, sur les deux pages suivantes sont représentés les diagrammes de Bode des fonctions de transfert les plus courantes.

On peut distinguer :

• les quatre types de filtre : passe-bas, passe-haut, passe-bande, réjecteur ;

• les filtres du premier ordre et les filtres du deuxième ordre. Plus l’ordre du filtre augmente, plus les pentes des courbes de gain sont grandes, et le filtrage plus efficace.

Filtre e

(t)

H= ^s _e

s(t)

Légende :

Les courbes sont tracées pour A

0

= 1

Traits pleins : Courbe de gain et ses asymptotes Traits pointillés : Courbe de phase et ses asymptotes

-90 -75 -60 -45 -30 -15 0

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03

ArgH(°) GdB

x

0 15 30 45 60 75 90

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03

ArgH(°) GdB

x

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40

ArgH(°) GdB

= 1 +

= f

_c

: fréquence de coupure

= 1 + 1

= f

_c

: fréquence de coupure

= 1 + +

= f

0

: fréquence propre

>

_√

(trait plein double) :

présence d’un phénomène de résonance

<

_√

(trait plein simple) :

pas de résonance

Légende :

Les courbes sont tracées pour A

0

= 1

Traits pleins : Courbe de gain et ses asymptotes Traits pointillés : Courbe de phase et ses asymptotes

0 30 60 90 120 150 180

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03

ArgH(°) G_dB

x

-90 -60 -30 0 30 60 90

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03

ArgH(°) GdB

x

-90 -75 -60 -45 -30 -15 0 15 30 45 60 75 90

-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03

ArgH(°) G_dB

x

= 1 + +

= f

₀

: fréquence propre

>

_√

(trait plein double) :

présence d’un phénomène de résonance

<

_√

(trait plein simple) : pas de résonance

= 1 + − 1 =

1 + +

= f

₀

: fréquence propre

Les asymptotes se coupent en = 1

= 20log

= 1 + 1

− 1

= f

0

: fréquence propre