E.C. P3 RESEAUX LINEAIRES EN REGIME SINUSOIDAL FORCE CHAPITRE 13-4 Version complète 1/8

OBJECTIFS DU CHAPITRE :

Présenter les notions et les méthodes propres à l'étude des réseaux linéaires fonctionnant en régime sinusoïdal forcé. C'est dans ce but que nous traiterons le cas du dipôle RLC série, qui ne constitue qu'un exemple d'application.

L'excitation e(t) est imposée par un générateur de f.e.m. sinusoïdale :

e(t) = Emax.cos (ωt)

Figure 1

LE COURANT ALTERNATIF

Bien que rudimentaires, les piles étaient, au début du 19^ème siècle, les seules sources pratiques de courant électrique entretenu. Vers 1870, la dynamo devint d’utilisation courante. Et le courant continu était la forme préférée de l’électricité.

Le courant alternatif n’était encore qu’une curiosité de laboratoire.

A cette époque, l’invention par Edison de l’ampoule à incandescence moderne conduisit au développement de l’utilisation de l’énergie électrique en courant continu. Il fallut alors envisager la construction de centrales électriques à plus grande distance des lieux de consommation. Mais utiliser le courant continu sous une tension de 110 V pour transporter l’énergie électrique entrainait des pertes par effet Joule trop importantes. Par exemple, une ville moyenne a besoin d’une puissance de 10 MW. Si celle-ci est apportée sous une tension de 100 V, il faut un courant dans les lignes d’intensité

! A (V) 10

100 ) W (

10⁷ ₅

=

=

I Les pertes par effet Joule étant égales à R.I² (où R est la résistance de la ligne électrique), c’est un facteur 10¹⁰ qui apparaît dans l’évaluation de celles-ci.

La solution consiste à élever la tension au niveau de la centrale électrique, à transporter l’énergie électrique sous haute tension, puis à abaisser la tension électrique sur le lieu de consommation. En effet, augmenter la tension d’un facteur 10³ (de 100 V à 100 kV) diminue l’intensité dans les lignes d’un facteur 10³, et les pertes Joule de 10⁶ ! L’appareil permettant de telles modifications de tension est le transformateur, alors connu depuis plusieurs dizaines d’années. Le problème est qu’il ne fonctionne qu’avec des tensions alternatives. C’est Nikola Tesla qui, aux Etats-Unis, à la suite d’une âpre rivalité commerciale avec Edison, finit par imposer le courant alternatif face au courant continu. En 1900, la norme était au transport de l’énergie électrique sous haute tension alternative.

I LE REGIME SINUSOIDAL FORCE

1) Forme de la réponse

Intéressons-nous à l’établissement du régime sinusoïdal dans le montage représenté plus haut, figure 1. Avant la connexion du générateur e(t), toutes les grandeurs électriques sont nulles.

On applique e(t) ; les grandeurs électriques ne deviennent pas instantanément sinusoïdales. Un régime transitoire d’une durée égale à quelques périodes précède le régime permanent, appelé régime sinusoïdal forcé (forcé, car imposé par le générateur).

C’est ce qui apparaît sur le chronogramme figure 2.

L’excitation e(t) est sinusoïdale dès la fermeture de l’interrupteur, mais la réponse ne devient périodique sinusoïdale de même pulsation ω qu’après un régime transitoire.

Figure 2

Dans ce cours, on n’étudiera pas les réseaux en régime transitoire, mais directement en régime sinusoïdal forcé.

On retiendra:

En régime permanent, si l’excitation est sinusoïdale, la réponse sera sinusoïdale de même pulsation : c’est le régime sinusoïdal forcé.

2) Intérêt de l’étude du régime sinusoïdal forcé

• Intérêt pratique: La tension du secteur est sinusoïdale (tension efficace 230 V ; fréquence 50 Hz). Voir l’introduction.

• Intérêt plus théorique: Théorème de Fourier:

Tout signal périodique s(t) de fréquence f est développable en série de Fourier:

2 2

ou 2

Interprétation physique de ce théorème

s(t) est la somme d’un signal continu A₀ et de fonctions sinusoïdales de fréquences f, 2f, …, nf.

A₀ est la valeur moyenne de s(t).

Les termes Αkcos(2πkft+ θ k) s'appellent les harmoniques de s(t). La première harmonique A₁cos(2πft+θ1) s'appelle la fondamentale de s(t). La fondamentale de s(t) a même fréquence f que la fonction périodique s(t).

Application pratique du théorème de Fourier:

Si on sait déterminer la réponse s(t) d'un réseau linéaire à une excitation sinusoïdale e(t), on peut alors déterminer la réponse s(t) à toute excitation périodique e(t).

En effet, par application du théorème de superposition, pour connaître la réponse d’un réseau linéaire à une excitation e(t) périodique de fréquence f, il suffit de déterminer la réponse s_k(t) à chaque harmonique e_k(t) de e(t), puis d’ajouter toutes ces réponses s_k(t).

II DESCRIPTION DE GRANDEURS ALTERNATIVES SINUSOIDALES

U_cc: amplitude crête à crête U_max: amplitude de u(t)

2

max cc

U =U

T: période (s) ω: pulsation (rad.s^-1)

ω π

=2 T

f: fréquence (Hz)

f T1

=

Figure 3 Grandeurs instantanées et termes de phase:

L'écriture la plus générale d'une tension sinusoïdale est: u(t) = U_maxcos(ωt + φu).

Le réseau étant en régime permanent, toutes les grandeurs ont même pulsation ω (voir I). Donc: i(t) = I_maxcos(ωt + φi) ωt + φu s'appelle la phase instantanée de u(t).

φu et φi s'appellent les phases à l'origine.

Déphasage de u par rapport à i: ϕ = φu – φi Déphasage de i par rapport à u: ψ = φi – φu ψ = -ϕ Graphiquement:

T

∆t

=

=ψ π

ϕ 2 . Sur le chronogramme ci-dessus, u est en avance sur i. Donc ϕ > 0 et ψ < 0.

Choix d’une origine des phases: Si on choisit la phase de i comme origine des phases: φi = 0.

On peut alors écrire: i(t) = I_maxcos ωt et u(t) = U_maxcos(ωt + ϕ) puisqu'alors ϕ = φ_u. Valeur moyenne d'une fonction périodique u(t): ^{u(t) =}_T¹

∫

Grandeur alternative: C'est une grandeur de valeur moyenne nulle.

Graphiquement, l'aire sous la courbe est nulle.

Etudions le cas de u(t) ci-contre:

T

∆ t u

i U

U_cc U_max=

2

III REPRESENTATION COMPLEXE D’UNE GRANDEUR ALTERNATIVE SINUSOIDALE

1) Nécessité d’un nouvel outil : la représentation complexe Soient deux fonctions sinusoïdales u1(t), u2(t).

Expression instantanée u_k(t) Amplitude U_kmax Phase à l’origine φ_k

u₁(t) u₁(t) = 10 cosωt 10 V 0

u2(t) u2(t) = 15 cos(ωt – π/3) 15 V -π/3 Déterminons leur somme u(t) = u₁(t) + u2(t).

u(t) est sinusoïdale, de même pulsation que u₁ et u2.

Elle peut s’écrire : u(t) = U_maxcos(ωt + φ). On cherche l’amplitude U_max et la phase à l’origine φ de u.

Figure 5

De toute évidence, sur la figure 5, l’amplitude de la somme n’est pas la somme des amplitudes. Il faut en effet tenir compte du déphasage entre les deux courbes.

Calculons donc U_max : u(t) = 10 cosωt + 15 cos(ωt – π/3).

On développe le deuxième cosinus : u ωt ωt ωt ωt 3sinωt

2 cos 15 2 sin 35

2 3 cos 15 2 cos 15

10 = +



 



 +

+

= .

On normalise la fonction sinusoïdale :



























 

 +



 



 +



 

 +



 







 

 +



 



=  t t

u ω sinω

2 3 15 2

35 2 3 15 cos

2 3 15 2

35 2 35 2 3

15 2

35

2 2

2 2

2 2

.

Soit l’angle θ défini par :

2 2

2 3 15 2

35 2 35 cos



 

 +



 





θ= et

2 2

2 3 15 2

35 2 3 15 sin



 

 +



 





−

θ= ; et

2 2

max 3

2 15 2

35 



 

 +



 



= 

U .

A la calculatrice : θ = -37° = - 0,20π et U_max = 22 V. Donc u(t) = 22 cos(ωt - 0,20π).

Bilan de l’exemple : Les calculs trigonométriques sont longs et fastidieux.

D’où l’introduction d’un nouveau formalisme : la représentation complexe.

2) Définition de la représentation complexe

Soit une grandeur instantanée a(t) = A_maxcos(ωt + φ).

Par définition, sa représentation complexe est a(jωt) = A_maxexp[j(ωt + φ)]

Retour à la grandeur instantanée réelle:

Première méthode: a(jωt) = Amaxcos(ωt + φ) + j Amaxsin(ωt + φ); donc a(t) = Re[a(jωt)]

Deuxième méthode: On détermine l'amplitude de a(t); la phase instantanée de a(t); puis on écrit la grandeur instantanée réelle a(t):

Amplitude de a(t): |a(jωt)| = A_max

Phase instantanée de a(t): Arg[a(jωt)] = ωt + φ=θ(t) D'où a(t).

3) Propriétés

Soient a₁(jωt) et a₂(jωt) les représentations complexes de deux grandeurs alternatives sinusoïdales de même pulsation ω.

Propriété Grandeur instantanée réelle Sa représentation complexe

La transformation est linéaire : λ₁a₁(t) + λ₂a₂(t)

Dériver par rapport au temps,

c'est multiplier par jω: dt

da

Intégrer par rapport au temps,

c'est diviser par jω:

∫

^ω

4) Lois de Kirchhoff en représentation complexe

En utilisant la propriété de linéarité de la transformation, on peut écrire:

∑

∑

∑

∑

=

→

=

=

→

=

k k k k

k k

k k k k

k k

t u t

u

t i t

i

0 ) j ( 0

) (

0 ) j ( 0

) (

ω ε

ε

ω ε ε

Les lois de Kirchhoff ont même forme en représentation complexe qu’en grandeurs instantanées réelles.

IV IMPEDANCE COMPLEXE

Les lois de Kirchhoff sont utilisables en représentation complexe. Voyons à présent comment celle-ci permet de généraliser la loi d’Ohm.

1) Définitions

Soit (D) un dipôle passif linéaire, traversé par un courant de représentation complexe i(jωt).

Impédance complexe de (D):

) j (

) j (

t i

t Z u

ω

=

ω

Propriétés de l'impédance complexe:

Son module, noté Z : = = ⇔ i Z u Z

max max

I Z=U .

Son argument: Arg Arg Argu Argi (t) (t) i

Z = u = − =θ_u −θ_i , où θu(t) et θi(t) sont les phases instantanées de u(t) et i(t).

En conclusion: ArgZ=ϕ, où ϕ est le déphasage de u(t) par rapport à i(t).

Z étant un nombre complexe, on peut l'écrire: Z = R + jX R: résistance de (D) en ohms (Ω) X: réactance de (D) en ohms (Ω) On définit de même l’admittance complexe de (D) :

Admittance complexe de (D):

) j (

) j (

t u

t Y i

ω

=

ω

Propriétés de l'admittance complexe:

Y Z1

=

Son module, noté Y : = ⇔ u Y i

max max

U Y = I _.

Son argument: = =− Z=−ϕ

Y Z1 Arg

Arg

Arg , où ϕ est déphasage de u(t) par rapport à i(t).

En conclusion: ArgY =ψ , où ψ est le déphasage de i(t) par rapport à u(t).

Y étant un nombre complexe, on peut l'écrire: Y = G + jB G: conductance de (D) en siemens (S) B: susceptance de (D) en siemens (S)

2) Impédance des dipôles modèles passifs

Les dipôles R, L, C sont fléchés en convention récepteur. On utilise pour chacun la « loi d'Ohm complexe »: u = Z i

• u_R = R i_R ⇒ Z_R = R ⇒ Z_R = R et ϕR = 0 u_R et iR sont en phase.

• _L d i^L

u L

= dt ⇒ u_L = jLω i_L ⇒ Z_L = jLω _⇒ Z_L = Lωe^jπ/2 ⇒ Z_L = Lω et ^L 2

ϕ =π . u_L est en avance sur iL d’un quart de période (quadrature).

• _C du^C

i C

= dt _⇒ i_C = jCω u_C ⇒ ⇒ 1

ZC

Cω

= et

C 2

ϕ = −π . u_C est en retard sur iC d’un quart de période (quadrature).

3) Associations en série : les impédances complexes s’ajoutent Schéma :

La loi d’Ohm généralisée prenant, en représentation complexe, la forme u = Z i, on peut prévoir que les impédances complexes auront les mêmes propriétés que les résistances, et les admittances complexes, les mêmes propriétés que les conductances.

Démonstration : En série _k

k

u=

∑

( )

k k

k  =













=

=

∑ ∑

k

Z=

∑

Les dipôles sont traversés par la même intensité i(t) : On choisit la phase de i comme origine des phases.

Donc : i(t) = Imaxcos (ωt) et u(t) = Umaxcos (ωt + ϕ).

Déterminons l’équation horaire de u. _é j . Donc _é j − .

On en déduit :

− et

Arctan déphasage de par rapport à

D’où

cos

− cos avec Arctan

u i

R

u i

L

u i

C

Remarques :

Si 1

Lω C

> ω ϕ > 0 u est en avance sur i. Le circuit est dit inductif (l’influence de la bobine l’emporte).

Si 1

Lω C

< ω ϕ < 0 u est en retard sur i. Le circuit est dit capacitif (l’influence du condensateur l’emporte).

ω C ω

 

= + − 

  ; donc k

k

Z ≠

∑

k

Z =

∑

Les impédances ne s’ajoutent pas. Seules les impédances complexes s’ajoutent en série.

4) Associations en parallèle : les admittances complexes s’ajoutent On fait les mêmes raisonnements.

Schéma :

Démonstration : En parallèle _k

k

i=

∑

(

)

k k k

k  =











=

=

∑ ∑

k

Y =

∑

Même tension u(t) aux bornes de chaque dipôle : On choisit la phase de u comme origine des phases. Donc :

u(t) = Umaxcos(ωt) et i(t) = Imaxcos(ωt + ψ).

Déterminons l’équation horaire de i.

// j . Donc _// j − .

On en déduit :













 



 



 



 −

=

 =



 



 −

 +



 



= 

u L i

C R Arc

U Y L I

R C Y

à rapport par de déphasage tan 1

1 et 1

max //

max 2

2 //

ω ω ψ

ω ω

D’où

( )











 



 



 



 −

=

 +



 



 −

 +



 



= 

=

ω ω ψ

ψ ω ω

ω ω

C L R Arc L t

R C U

i

t U

u

tan 1 avec

1 cos 1

cos

2 2

max max

Remarque :

k

Y ≠

∑

k

Y =

∑

Les admittances ne s’ajoutent pas. Seules les admittances complexes s’ajoutent en parallèle.

5) Exemple : Modèle basse fréquence d’un condensateur

Le courant alimentant un condensateur a pour intensité i(t) = 6.10^-3cos 100πt.

Déterminons l’équation horaire de u(t).

Méthode : On passe en complexes et on cherche u(jωt) ; puis on revient aux grandeurs instantanées réelles, sachant que :

Le module de u(jωt) est l’amplitude de u(t). L’argument de u(jωt) est la phase instantanée de u(t).

D’après l’énoncé, i = Imaxe^jωt avec Imax = 6 mA et ω = 100π rad.s^-1.

j avec j . Donc .

D’où j

Arg j Arg j − Arg 1 j − Arctan

En conclusion : cos − Arctan

Déphasage de u par rapport à i : ϕ = Argu – Argi = - ArctanRCω u est en retard sur i. Cohérent car le dipôle est capacitif

A.N. :

( )

( )

3 3

3 6 2

3 6

2 10 6 10

8 7 V 1 2 10 1 5 10 100

= -Arctan 2 10 1 5 10 100 43 0 24

max

. . .

,

. . , . .

. . , . . ,

U

π

ϕ π π

−

−

−

 = =

 +



 = − ° = −



D’où u(t) = 8,7cos (100πt – 0,24π)

b) En déduire les courants de fuite et de charge i1(t) et i2(t). Commentaires.

1 1 3

8 7 4 4 mA

max 2 10

( ) ,

( ) ,

.

i t u t I

= R ⇒ = = . D’où i1(t) = 4,4.10^-3 cos (100πt – 0,24π) u.S.I. courant de fuite j ₂ j j j . On en déduit : j

Arg j Arg j Arg j

Numériquement : I_2max = 4,1 mA et Argi₂ = ωt + 0,26π

D’où i₂(t) = 4,1.10^-3 cos (100πt + 0,26π) u.S.I. courant de charge

Remarque : I_1max = 4,4 mA I_2max = 4,1 mA

I

= 6 mA

Conclusion : Les amplitudes ne s’ajoutent pas, d’où la représentation complexe. Les lois des circuits électriques ne sont valables qu’en grandeurs instantanées ou en représentation complexe.

R C

i

i

i

2k 1,5µ

u

V ETUDE DES RESEAUX LINEAIRES

Les lois et théorèmes vus en grandeurs instantanées sont également valables en représentation complexe.

Enonçons par exemple la forme généralisée du théorème de l’équivalence Thévenin – Norton :

Exemple :

Comment choisir les impédances complexes Z1 et Z2

pour que l’intensité complexe i dans l’impédance complexe Z soit indépendante de Z ?

Equivalence Thévenin/Norton : Pont diviseur de courant :

i est indépendante de Y si Y1 + Y2 = 0 ⇒ Z₁ = -Z2.

Concrètement, on peut choisir d’associer une bobine parfaite (Z1 = jLω) et un condensateur parfait tels que :

j .

L et C doivent vérifier : LCω² = 1.

Remarque : Y1 + Y2 = 0.

L’admittance équivalente de l’association parallèle des deux dipôles est donc nulle.

Celle-ci se comporte donc comme un interrupteur ouvert.

Le réseau en amont de A et B se comporte comme une source de courant de courant électromoteur Y1e.

Le schéma équivalent du réseau est alors :

Y₁

Y₁ Y₂ Y = 0