CONCEPTION D’UN FILTRE Version complète
OBJECTIF DU CHAPITRE :
Un filtre a pour fonction de récupérer un signal et de le modifier pour en extraire l’information utile. Idéalement, un filtre transmet sans amplification ni déphasage tout signal dans la bande passante, et annule tout signal dans la bande coupée.
Les filtres réels n’ont pas cette qualité. Le passage de la bande passante à la bande coupée sont progressifs, des déphasages entrée / sortie existent. Ces propriétés sont décrites par les fonctions de transfert et le diagramme de Bode associé. Ceci a été étudié au chapitre 5.
Mais d’autres propriétés sont aussi à prendre en compte dans la conception des filtres :
• Comment extraire toutes les informations du signal périodique appliqué en entrée ?
L’analyse de Fourier est le bon outil.
• Le comportement d’un opérateur dépend du montage dans lequel il est inséré.
Nous verrons comment évaluer l’impédance d’entrée et l’impédance de sortie d’un opérateur.
• Comment établir le cahier des charges que doit respecter le filtre à concevoir ? Comment prendre en compte celui-ci ? Nous définirons le gabarit d’un filtre.
I CONTENU SPECTRAL D’UN SIGNAL
1) Théorème de Fourier
Tout signal périodique de fréquence f et de forme quelconque peut se reconstituer par la superposition de signaux sinusoïdaux de fréquences multiples de f : 0, f, 2f, 3f, …, nf, …
Il peut donc s’écrire sous la forme :
∑
∞( )
=
+ +
=
1
0 cos2 ( )
) (
n
n
n nf t
A A
t
s
π φ
• A0 est la composante continue du signal, c’est la valeur moyenne du signal ;
• La composante sinusoïdale A1cos(2
π
ft+φ
1), qui a la fréquence la plus faible, est appelée le fondamental du signal car il a la même fréquence que le signal ;• La composante sinusoïdale Ancos(2
π
(nf)t+φ
n), qui a une fréquence n fois plus élevée que le signal s(t), est appelée harmonique de rang n.2) Un exemple d’analyse spectrale
L’analyse spectrale du signal s(t) ci-contre, produit un spectre des amplitudes et un spectre des phases à l’origine.
Ceux-ci sont représentés ci-dessous.
Chaque raie représente un signal sinusoïdal cos(2 ( ) n)
s
n t
T
A
π
n +ϕ
. Par exemple : 2 0,7 )cos(
2 , 0 )
1( ≈
π
−π
T t t
s
s
.
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3) Synthèse de Fourier d’un signal périodique
Effectuons l’opération inverse, celle qui consiste à reconstituer le signal périodique s(t) en ajoutant les harmoniques sn(t).
Ci-dessous sont représentées les sommes partielles
∑ ( )
=
+
=
p
n
n n
p t A nf t
1
) ( 2 cos )
(
π ϕ
σ
, pour p = 1 ; 2 ; 3 ; 7 ; 10 ; 100.Au fur et à mesure que p augmente, le signal se reconstruit petit à petit.
II IMPEDANCE D’ENTREE ET IMPEDANCE DE SORTIE D’UN OPERATEUR
Exemple : Considérons l’opérateur Q1 étudié au chapitre 6.
Rappelons qu’en sortie ouverte :
ω ω
jRC u
j u H
e s
so = = +
1 ) 1
( .
1) La fonction de transfert dépend de la charge
Une charge Zu est à présent connectée en sortie de l’opérateur Q1. Soit Z//, l’impédance complexe équivalente à l’association parallèle (C//Zu) ; et Y//, l’admittance complexe associée.
La fonction de transfert s’écrit à présent :
//
//
//
1 ) 1
( Z Z RY
Z u
j u H
R e
u s = +
= +
ω
= .La charge de l’opérateur modifie les propriétés de celui-ci.
2) Impédance d’entrée d’un opérateur
C’est l’impédance équivalente du réseau aval vu de l’entrée de l’opérateur.
Exemple : Impédance d’entrée de l’opérateur Q1 débitant sur Zu. Le schéma équivalent cherché est représenté ci-dessous.
L’impédance d’entrée est donc définie par :
=
Calcul de Ze par les associations :
Ze = R + Z//
R
C Zu
Q1
R Z//
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3) Impédance de sortie d’un opérateur
C’est l’impédance de Thévenin du réseau amont vu de la sortie de l’opérateur.
Exemple : Impédance de sortie de l’opérateur Q1 alimenté par un générateur (eg, Zg).
Le schéma équivalent cherché est représenté ci-contre.
L’impédance d’entrée est donc définie par : = −
Calcul de Zs :
c
s Y
g Z
Y R +
= +1
et
s
s Y
Z = 1
4) Opérateur idéal
Au II.1) il a été montré que les impédances d’entrée et de sortie altèrent la fonction électronique d’un opérateur.
Déterminons sur un exemple, quelles devraient être les propriétés d’un opérateur idéal.
Soit, en régime sinusoïdal forcé, une tension à amplifier dix fois. Le montage projeté est représenté en Figure 1.
Figure 1 Figure 2
Cependant, la modélisation du montage réel doit prendre en compte différentes impédances : l’impédance de Thévenin du montage amont ; les impédances d’entrée et de sortie de l’amplificateur. Voir Figure 2.
De ce fait, les relations projetées : =
= = 10 ne sont pas obtenues.
(1)
Les mailles d’entrée et de sortie constituent en effet des ponts diviseurs de tension :
=
= = 10
(2)
Pour un opérateur idéal, le système
(2)
s’identifie au système(1)
, quelque soient le générateur (eT,ZT) et la charge Zu. Ceci impose : Ze infinie et Zs nulle. On en déduit en Figure 3, le schéma équivalent d’un opérateur idéal.Synthèse : Un opérateur linéaire réel est caractérisé par sa fonction de transfert, son impédance d’entrée et son impédance de sortie.
Un opérateur est idéal si son impédance d’entrée est infinie (courant d’entrée nul) et son impédance de sortie nulle. La fonction de transfert d’un opérateur idéal ne dépend ni du générateur, ni de la charge.
Figure 3 R
Zg C eg
Zs
Q1
CR+Zg eg
R+Zg eg
R+Zg
Zs
Zs
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III GABARIT D’UN FILTRE
1) Position du problème
La conception d’un filtre résulte d’un cahier des charges : Quelles fréquences doivent être transmises ? avec quelle atténuation maximale ? Quelles fréquences doivent être coupées ? avec quelle atténuation minimale ?
De ces caractéristiques du filtre découle son gabarit. On en déduit l’atténuation minimale en dB par décade ; la fréquence propre ou la fréquence de coupure ; éventuellement le facteur de qualité.
Vient ensuite la phase de réalisation : Quel est l’ordre du filtre ? Voyons la méthode sur un exemple.
Le signal étudié est un créneau [0 V ; 2 V] de fréquence 1 kHz. Notre problématique : Quel filtre doit-on réaliser pour extraire le fondamental seul, sans atténuation ?
Evidemment, avec des filtres réels, le fondamental est atténué. Il nous faut donc fixer une atténuation maximale en deçà de laquelle on considérera que le fondamental est transmis sans atténuation.
Notre choix : Le fondamental ne doit pas être atténué par le filtre, de plus de 3 dB.
De même, les harmoniques ne sont pas annulées, mais atténuées. Il nous faut donc fixer une amplitude maximale en deçà de laquelle on considérera que l’harmonique n’est pas transmise.
Notre choix : L’amplitude de l’harmonique doit être, en sortie du filtre, au plus égale à 5% de l’amplitude du fondamental.
2) Détermination du gabarit
2.a Analyse spectrale du signal d’entrée
Les représentations temporelle et spectrale du signal d’entrée sont reproduites ci-dessous et ci-contre.
1V
fréquences (kHz) 1
Amplitudes (V)
0 3 5
4/π
4/3π
4/5π Entrée
2.b Filtrage des harmoniques
On remplit le tableau ci-dessous à partir du spectre du signal d’entrée (ci-dessus) et du cahier des charges :
• Le fondamental ne doit pas être atténué par le filtre, de plus de 3 dB.
• L’amplitude de l’harmonique doit être, en sortie du filtre, au plus égale à 5% de l’amplitude du fondamental.
Entrée Transfert Sortie
Fréquences (kHz) Amplitudes (V) GdB |H| Amplitudes (V)
H0 0 1
H1 1
π
4 -3
2 1
π
22 = 0,90
H3 3 4,2.10 1
3
4 −
π
= -19,5 12
10 . 2 , 4
10 . 5 , 4
−
− 2 2 4,5.10 2
%
5 = −
π
Commentaires : Le cahier des charges est vierge à propos de la composante continue.
10 20 GdB
H = − ; on en déduit
2
= 1
H pour le fondamental H1.
Smax = |H|.Emax ; on en déduit l’amplitude du fondamental H1 en sortie du filtre.
L’amplitude de H3 doit être au plus égale à 5% de l’amplitude du fondamental. On en déduit |H|, puis le gain.
L’atténuation entre 1 et 3 kHz doit donc être au minimum de 16,5 dB.
e(t)
t (ms) 2 V
1
0
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2.c Gabarit du filtre
Le filtre à réaliser a un diagramme de Bode limité par deux surfaces présentant chacune un sommet :
• Dernière fréquence passante : fp ; Gain minimal dans la bande passante : Gp. Ici [fp ;Gp] = [1 kHz ; -3 dB]
• Première fréquence coupée : fc ; Gain maximal dans la bande coupée : Gc. Ici [fc ;Gc] = [3 kHz ; -20 dB]
D’où le gabarit ci-contre. La courbe de gain doit se glisser entre les deux surfaces.
3) Exploitation du gabarit
En trait plein est représentée la courbe théorique, passant par les deux sommets. En la prolongeant sur une décade, on mesure sa pente : -35 dB/décade.
Or, un filtre passe-bas du premier ordre engendre une pente de -20 dB/décade (voir pages 10 et 11 du chapitre 5) ; et un filtre passe-bas du deuxième ordre présente une pente de -40 dB/décade.
Le filtre adapté est donc au minimum d’ordre 2. Les paramètres caractéristiques d’un opérateur d’ordre 2 sont sa fréquence propre et son facteur de qualité.
Déterminons-les.
En pointillés sont tracées les deux droites limites de pente -40 dB/décade.
Les fréquences propres possibles pour le filtre sont aux intersections avec la portion horizontale de la courbe de gain GdB = 0. Par lecture graphique : 850 Hz < f0 <1 kHz.
Facteur de qualité : Voir pages 10 et 11 du chapitre 5. Aux alentours de f0, la courbe de gain d’un passe-bas du deuxième ordre peut s’éloigner fortement des asymptotes. Ici, on souhaite qu’elle soit proche des asymptotes. La valeur limite
2
= 1
Q convient bien.
4) Conception du montage
Le filtre passe-bas à réaliser doit avoir les propriétés suivantes : ordre 2 ; Hmax = 1 ; 850 Hz < f0 <1 kHz ;
2
= 1
Q . Un grand nombre de montages électriques conviennent. Choisissons un simple dipôle RLC.
On démontre :
2 0 0
1
1
+ +
=
=
f j f f
f Q e j
T s
avec
LC f 2π
1
0=
et
R Q= Lω0
Choix possible de composants : Au laboratoire, on dispose de bobines de 40 mH.
On en déduit que 0,63 µF < C < 0,88 µF par
02
4 2
1 Lf
C= π . La valeur normalisée de capacité C = 0,68 µF convient.
On en déduit f0 = 965 Hz.
On calcule R par
Q
R=2πLf0 . A.N. R = 343 Ω. Une valeur normalisée de résistance voisine est R = 330 Ω. On en déduit Q = 0,73.
Synthèse : R = 330 Ω ; L = 40 mH ; C = 0,68 µF. Avec ces valeurs : f0 = 965 Hz et Q = 0,73.
Si l’entrée est un créneau [0 V ; 2 V] de fréquence 1 kHz, le signal de sortie sera le fondamental (f = 1 kHz) peu atténué et peu perturbé par les harmoniques.
R
C M
e(t) s(t)
L
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5) Gabarits des filtres classiques
