Analyse Chapitre 3 : Analyse de Fourier

Analyse

Chapitre 3 : Analyse de Fourier

Lucie Le Briquer 9 novembre 2018

Table des matières

1 Séries de Fourier 2

2 Classe de Schwartz 8

2.1 Introduction deS(Rⁿ) . . . 8 2.2 Topologie surS(Rⁿ) . . . 9

1 Séries de Fourier

Soitf:Rⁿ −→ C2π−périodique par rapport à chaque variable et de carré intégrable sur [−π, π]ⁿ (f ∈L²(Tⁿ),T=R/2πZ). On a :

f = X

k∈Zⁿ

fˆke^ik·x

au sens où :

lim

N−→+∞kf−SNfk_L2(Tⁿ)= 0 avec

fˆk = 1 (2π)ⁿ

Z

[−π,π]ⁿ

f(x)e^−ik·xdx SNf = X

|k|6N

fˆke^ik·x

De plus,

kfk²_L2= X

k∈Zⁿ

|fˆk|² Théorème 1(théorieL²)

Rappel.Une démonstration repose sur :

1. ek:x7→ _(2π)^eik·xn est une famille orthonormée dansL²(Tⁿ)pour le produit scalaire :

(f, g) = Z

[−π,π]ⁿ

f(x)g(x)dx

2. Cette famille est totale car Vect(ek)est dense par Stone-Weierstrass.

Regardons plusieurs corollaires de Plancherel.

soitu∈C²(R,C),T−périodique (T >0). Alors, siRT

0 u(t)dt= 0, on a : Z T

0

|u(t)|²dt6 T² 4π²

Z T 0

|u⁰(t)|²dt Lemme 1(Poincaré-Wirtinger)

Remarque.Siuest une constante, cette inégalité est fausse, d’où la nécessité deRT

0 u(t)dt= 0.

Preuve.

Décomposition de Fourier d’une fonction T−périodique. On introduit sur L²(0, T) le produit scalaire :

(f, g) = Z T

0

f(t)g(t)dt

et on introduit la famille orthonormée(ek)k∈Z où e_k(t) =C_kexp

i2π

T kt

avecCk de sorte quekekk_L2(0,T)= 1. On trouveCk= ^√1

T. Alorsu=P

Zuˆkek oùuˆk = (u, ek).

Donc :

ˆ u_k= 1

√ T

Z T 0

u(t)e^−i2πTktdt et Z T

0

|u(t)|²dt=X

Z

|ˆu_k|²

De même,

ku⁰k²_L2(0,T)=X

Z

|(uˆ⁰)_k|²

Or,

(uˆ⁰)_k = 1

√T Z T

0

u⁰(t)e^−i2πTktdt

= 1

√ T

Z T 0

∂t(. . .)dt+ 2iπ T√

Tk Z T

0

u(t)e^−i2πTktdt

Donc(uˆ⁰)_k =^2iπ_T kˆu_k. Par ailleursRT

0 u(t)dt= 0⇒uˆ₀= 0. On peut alors conclure : Z T

0

|u(t)|²dt=X

Z

|ˆuk|²=X

Z^∗

|ˆuk|²

6X

Z

|k|²|uˆk|²

6 T² 4π²

X

Z

2iπ T kˆuk

2

6 T² 4π²

X

Z

|(uˆ⁰)_k|²= T² 4π²

Z T 0

|u⁰|²dt

Soitγ:R−→[1,+∞[ 2π−périodique etC^∞. Soitu∈C_2π-per^∞ _x(R+×R;R)solution de :

∂u

∂t − ∂

∂x

γ(x)∂u

∂x

= 0 (équation de la chaleur)

SiR2π

0 u(0, x)dx= 0, alors : Z 2π

0

u(t, x)²dx6e^−2t Z 2π

0

u(0, x)²dx Propriété 1

Preuve.

• γ= 1⇒séries de Fourier (exercice)

• γ générale. On utilise une estimation d’énergie.

1 2

d dt

Z 2π 0

u(t, x)²dx= Z 2π

0

u∂tudx

= Z 2π

0

u∂x(γ∂xu)dx

= Z 2π

0

∂x(uγ∂xu)dx

| {z }

0par per

− Z 2π

0

γ(∂xu)²dx

=− Z 2π

0

γ(∂xu)²dx

6− Z 2π

0

(∂xu)²dx carγ>1

Or R2π

0 (∂xu)²dx>R2π

0 u²dxpar Poincaré-Wirtinger avecT = 2πcarR2π

0 u(t, x)dx= 0∀t, en effet :

d dt

Z 2π 0

udx= Z 2π

0

∂x(γ∂xu)dx= 0 et Z 2π

0

u(0, x)dx= 0

On conclut :

1 2

d dt

Z 2π 0

u(t, x)²dx+ Z 2π

0

u(t, x)²dx60 Par le lemme de Gronwall, on obtient :

Z 2π 0

u(t, x)²dx6e^−2t Z 2π

0

u(0, x)²dx

Soitf:R−→C2π−périodique etα−Hölderienne (α∈]0,1]) i.e. :

∃K >0tel que∀(x, y)∈R², |f(y)−f(x)|6K|y, x|^α Siα > ¹₂, la série de Fourier de f converge normalement versf.

Propriété 2

Preuve.

Soith∈[0,1]. On pose :

f_h(x) =f(x+h)−f(x−h) Alors,

fˆh(n) = 1

√2π Z 2π

0

f(x+h)e^−inxdx− 1

√2π Z 2π

0

f(x−h)e^inxdx

= 1

√2π Z 2π+h

h

f(y)e^−inye^inhdy− 1

√2π Z 2π+h

h

f(y)e^−inye^−inhdy

=e^inhf(n)ˆ −e^−inhfˆ(n)

= 2isin(nh) ˆf(n)

Donc,

X

n∈Z

4 sin²(nh)|fˆ(n)|²= Z 2π

0

|f(x+h)−f(x−h)|²dx6 Z 2π

0

((2h)^α)²dx

Donc,∃A >0 tel que∀h∈[0,1], X

Z

sin(nh)²|fˆ(n)|²6Ah^2α

Digression.Si h=_N^1π₂ on en déduit : X

Z

sin(nh)²|fˆ(n)|²> X

n=N

sin(nh)²|fˆ(n)|²=|f(Nˆ )|²

D’où,

|fˆ(N)|6√ Aπ

2 ^α 1

N^α DoncP |fˆ(N)|<+∞siα >1(cas qui ne nous intéresse pas).

Il faut en fait exploiter le fait quesin(nh)²∼1pour “beaucoup” d’indicesn. On va effectuer une décomposition dyadique. Prenonsh= 2^−N avecN ∈N. Alors,

X

Z

sin(nh)²|fˆ(n)|²6A2^{−2N α} Ainsi,

2^N

X

|n|>2^N−1

sin(nh)²|fˆ(n)|²6A2^{−2N α}

Or si2^N−1<|n|62^N on a ¹₂ <|nh|61, doncsin(nh)²>sin(1/2)²>0. D’où,

2^N

X

|n|>2^N−1

|fˆ(n)|²6A⁰2^{−2N α}

Alors,

2^N

X

|n|>2^N−1

|fˆ(n)|6





2^N

X

2^N−1<|n|

1





1/2



2^N

X

2^N−1<|n|

|fˆ(n)|²





1/2

6A⁰⁰(2^N)^1/22^{−2N α} Siα > ¹₂, on a :

2^N

X

2^N−1<|n|

|fˆ(n)|6A⁰⁰2^{−N ε} avecε >0

CommeP+∞

N=02^{−N ε}<+∞on a bien : X

Z

|fˆ(n)|<+∞

Sif ∈C¹, la série de Fourier converge uniformément et donc ponctuellement.

Corollaire 1

SoitΩun ouvert borné connexe régulier. Alors, l(∂Ω)²>4π|Ω|

oùl(∂Ω)est la longueur du bord et|Ω|son volume.

Théorème 2(inégalité iso-périmétrique)

Preuve.

On noteX le champ de vecteursX:

R² −→ R²

(x, y) 7−→ (x, y) .Ωest régulier donc : Z

Ω

divXdxdy= Z

∂Ω

X·ndσ Or,

Z

Ω

divXdxdy= Z

Ω

∇ ·X = Z

Ω

∂X1

∂x +∂X2

∂y dxdy= Z

Ω

∂x

∂x+∂y

∂ydxdy= 2|Ω|

D’où2|Ω|=R

∂ΩX·ndσ.

2|Ω|= Z

∂Ω

X·ndσ6 Z

∂Ω

|X·n|dσ 6

Z

∂Ω

|X||n|dσ6 Z

∂Ω

|X|dσ 6

Z

∂Ω

1dσ

^1/2Z

∂Ω

|X|²dσ ^1/2

6 l(∂Ω)^1/2 Z

∂Ω

|X|²dσ ^1/2

Quitte à translater le problème, on peut supposer que R

∂ΩXds = 0. On paramètre le contour paru, qui est donc T =l(∂Ω)périodique. Ainsi, par Poincaré-Wirtinger,

Z

∂Ω

|X|²ds6 T

2π 2Z

∂Ω

|X⁰|²ds

| {z }

c.f. notes

= T² 4π²T

Ainsi,

2|Ω|6√ T

T³ 4π²

^1/2 6 T²

2π

D’où,T²>4π|Ω|.

Soitf:Rⁿ−→CC^∞à support compact. Alors on a :

f(x) = 1 (2π)ⁿ

Z

Rⁿ

e^ix·ξ Z

Rⁿ

e^−iy·ξf(y)dy

dξ Propriété 3

Preuve.

Les séries de Fourier correspondent à une décomposition d’une fonction périodique sur une base Hilbertienne. Pour f: Rⁿ −→ C, pas forcément périodique, on voit f comme une limite de fonctionT−périodiques avecT −→+∞.

Soit T suffisamment grand pour que suppf ⊂]−T, T[ⁿ= QT. On muni L²(QT) du produit scalaire :

(f, g) = Z

QT

f(x)g(x)dx

et on poseek(x) = _(2T)¹_n/2e^−iTπk·x. Alors (convergence normale⇒ponctuelle)

f(x) =X

Zⁿ

fˆkek= X

k∈Zⁿ

1 (2T)ⁿ

Z

QT

g(y)e^−iTπk·ydy

e^iπTk·x

= X

k∈Zⁿ

1 T

ⁿ F

1 Tk

où,

F(ξ) = 1 2ⁿ

Z

Rⁿ

f(y)e^−iπξ·ydy

e^iπξ·x

Alors (série de Riemann) :

X

k∈Zⁿ

1 TⁿF

k T

−−−−−→

T→+∞

Z F dξ

d’où,

f(x) = Z

Rⁿ

1 2ⁿ

Z

Rⁿ

f(y)e^−iπξ·y

e^iπξ·xdξ

où plutôt :

f(x) = Z

Rⁿ

1 (2π)ⁿ

Z

Rⁿ

f(y)e^−iξ·y

e^iξ·xdξ

Soitf ∈L¹(Rⁿ,C). On appelle transformée de Fourier def la fonction notéefˆouF(f)est définie par :

∀ ξ∈R, f(ξ) =ˆ Z

Rⁿ

f(x)e^−iξ·xdx Définition 1(transformée de Fourier)

But.Justifier dans un cadre général la formule : f(x) = 1

(2π)ⁿ Z

Rⁿ

fˆ(ξ)e^ix·ξdξ

puis étudier certains espaces de fonctions.

2 Classe de Schwartz

Cadre très général : le dual topologique d’un espace très petit. Quel est le bon espace ?

2.1 Introduction de S( R

)

Il n’existe pas de fonctionsf ∈L¹(R,C)à support compact, non nulle dont la transformée de Fourier est à support compact.

Propriété 4

Preuve.

Soitf ∈L¹(Rⁿ,C)à support compact. Pourz∈Con pose : F(z) =

Z

e^−izxf(x)dx

On peut dériver sous le signe somme et vérifier que F est holomorphe sur C. F est entière et s’annule là oùfˆs’annule. Sifˆs’annule sur un intervalle⇒F = 0.

Remarque.L’espace des fonctions à support compact ne convient donc pas.

1. On dit quef est à décroissance rapide si∀N ∈N, ∃K >0tel que ∀x∈Rⁿ,

|f(x)|6 K (1 +|x|)^N

2. On dit quef ∈ S(Rⁿ)la classe de Schwartz si∂_x^βf est à décroissance rapide pour tout β∈Nⁿ.

3. On pose :

Np(f) = X

|α|+|β|6p

sup

Rⁿ

x^α∂_x^βf

oùx^α=x^α₁¹. . . x^α_nⁿ et ∂_x^β=∂_x^β₁¹. . . ∂_x^β_nⁿ.

Définition 2(décroissance rapide et classe de Schwartz)

Exemples.

1. C₀^∞(Rⁿ)⊂ S(Rⁿ)

2. x7→e^−|x|2 ∈ S(Rⁿ)n’est pas à support compact

Nous démontrerons que :

1. ∀f ∈ S(Rⁿx),fˆ∈ S(Rⁿξ) 2. Sif ∈ S(Rⁿ), alors :

f(x) = 1 (2π)ⁿ

Z

Rⁿ

fˆ(ξ)e^ix·ξdξ Propriété 5

Remarque.DoncS(Rⁿ)est le bon espace.

2.2 Topologie sur S( R

)

Une famille graduée de semi-normes est une famille dénombrables(ρn)_n∈N de semi-normes telle que :

ρ0(f)6ρ1(f)6. . . Définition 3(famille graduée)

(ρ_n)_n∈N est séparante ssi :

x= 0 ⇔ ∀n∈N, ρ_n(x) = 0 Définition 4(famille séparante)

Exemples.

1. (E,k.kE)e.v.n. etρn(x) =kxkE ∀n∈N.

2. K⊂R^d,K compact, on définit surC_K^∞(R^d) ={f ∈C^∞:suppf ⊂K} : ρ_n(f) = max

|α|6n

sup

K

|∂^α_xf(x)|

3. Ωouvert⊂R^d quelconque.

Kn=

x∈Ω :dist(x, ∂Ω)> 1 n

∩ B(0, n) Kn est compact et Ω =S

n∈NKn (on dit que(Kn)est une suite exhaustive de compacts).

On définit :

ρn(f) = max

|α|61sup

K_n

|∂_x^αf(x)|

surC¹(Ω).

4. SurL^p_loc(Ω)on définit :

ρn(f) = Z

K_n

|f(x)|^pdx 1/p

5. SurS(Rⁿ), ρp(f) =Np(f).

1. Best une base de voisinages d’une topologieT si tout ouvert U ∈ T est une réunion d’intersections finies d’éléments deB.

2. Bx₀est une base de voisinage dex0ssi∀voisinageV dex0,∃B∈ Bx₀ tel quex∈B ⊂ V.

Définition 5(bases de voisinages)

Soit E un espace vectoriel muni d’une famille graduée de semi-normes (ρ_n)_n∈N qui est séparante. On pose :

B={Bn(x, ε);n∈N, x∈E, ε >0}

oùBn(x, ε) ={y∈E:ρn(x−y)< ε}.

Il existe une unique topologie dont B est une base de voisinage. On munit E de cette topologie. Alors :

1. {Bn(x0, ε);n∈N, ε >0}est une base de voisinage dex0∀x0∈E 2. E est un espace vectoriel topologie

3. (xj)j∈Nc.v. versxssiρn(xj−x)−−−−→

j→+∞ 0∀n∈N 4. Cette topologie est métrisable, induite par la distance :

d(x, y) =X

n∈N

2⁻ⁿ ρn(x−y) 1 +ρ_n(x−y) Propriété 6