CHAPITRE 13-7 Version complète

E.C. P3 PUISSANCES EN REGIME SINUSOIDAL FORCE

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1) Définition

Soit une grandeur périodique g(t) de période T.

Valeur moyenne de g(t) : 1

( ) ^{t T} ( )

g t t g t dt

T

=

∫

Valeur efficace de g(t) : G_eff = g t²( ) donc ² 1 ²

t T ( )

eff t

G g t dt

T

=

∫

2) Interprétation physique

L’intensité efficace d’un courant périodique est égale à l’intensité d’un courant continu qui, passant dans la même résistance pendant la même durée, produirait le même échauffement.

Démonstration :

Soit un courant périodique i(t) de période T, traversant la résistance R.

Exprimons l’énergie électrique dissipée par effet joule pendant T :

Quantité de chaleur dégagée pendant T :

2

0 _T 0 _T ._eff

Q_→ = +W _→ =R I T

Ceci est également l’expression de la quantité de chaleur dégagée par R traversée par le courant continu I = I_eff pendant la durée T. D’où la définition physique énoncée ci- dessus.

3) Exemples de calcul de valeur efficace

On se propose de déterminer la valeur efficace d’une grandeur alternative sinusoïdale : u(t) = U_maxcos(ω^{t) avec} T ²π

= ω .

( )

2 2 2

0 max

1 ^T cos

Ueff U t dt

T ω

=

∫

( )

( )

cos 2

t ωt

ω +

= ^D’où 2 max²

( )

0 0

cos 2 1

2 2

T T

eff

U t

U dt dt

T

ω

 

=  + 

 



∫ ∫

On évalue chaque intégrale :

Par le calcul :

0

1

2 2

T T

dt=

∫

cos(2ωt) est centrée sur l’axe des temps ; donc l’aire sous la courbe est nulle :

∫

( )

Par conséquent, la relation (1) devient :

2

2 max

2 0

eff

U T

U T

 

=  + 

  ⇒ ^max

eff 2 U =U Tension efficace d’un créneau :

∀ : ⇒ ∀ :

d’où ⇒

Ce créneau a même valeur efficace qu’une tension continue E.

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1) Visualisation de la puissance instantanée à l’oscilloscope Principe :

Montage :

On se propose de visualiser la puissance instantanée absorbée par le dipôle Z.

La voie 1 relève la tension u(t)

Grâce au soustracteur, la voie 2 relève la tension R.i(t), image de l’intensité i(t).

Grâce au multiplieur, on construit la tension v_s(t), image de la puissance instantanée p(t).

Des oscillogrammes possibles pour u(t) ; i(t) et u(t).i(t) = p(t) sont reproduits ci-contre.

Observations : On constate que :

* p(t) est décalée : La puissance moyenne <p(t)> n’est pas nulle.

La puissance instantanée p(t) n’est pas alternative.

* i(t) et u(t) ont même période T₁ (voir chapitre 4).

* La période de la puissance instantanée p(t) est deux fois plus petite que celle de u(t).

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Rappel de trigonométrie : ^{cos .cos 1 cos}

( )

( )

a b=2^_ a b+ + a b− ^_^.

Soit ω1 la pulsation de l’intensité i(t) et de la tension u(t). φi et φu sont les phases à l’origine de i et u.

( )

( )

1

1 1 1

( ) cos 2

( ) cos

max u

max i

u t U t

avec T

i t I t

ω φ π

ω φ ω

 = +

 =

 = +



Exprimons à présent la puissance instantanée. Nous analyserons son expression ensuite.

(

) (

)

(

) ( )

( ) ( ). ( ) cos cos ( ) cos 2 cos

2

eff eff

max max u i u i u i

U I

p t =u t i t =U I ωt+φ ωt+φ ⇔p t = ^ ωt+ +φ φ + φ φ− ^⇔

(

) ( )

( ) eff eff cos 2 u i eff eff cos u i

p t =U I ωt+ +φ φ +U I φ φ−

Première analyse : Calculons la puissance moyenne : ^{p t( ) =UeffIeff cos 2}

(

)

(

)

La fonction cosinus a une valeur moyenne nulle (aire algébrique nulle sur une période) : le premier terme est nul.

Le second terme est constant. Il est donc égal à sa valeur moyenne.

Au final : p t( ) =U_effI_eff cosϕ avec ϕ : déphasage de u(t) par rapport à i(t).

La puissance moyenne n’est pas nulle. Ceci explique que le chronogramme de p(t) n’est pas centré sur l’axe des temps.

Remarque : Le terme cosϕ s’appelle le facteur de puissance du dipôle.

Deuxième analyse : Calculons la période de p(t), puis comparons-la à celle de u(t) et i(t).

Pulsation de p(t) : ω2 = 2ω1 or ₂

2

T 2π

=ω donc ₂ ¹

1

2

2 2

T π T

= ω = .

Ceci justifie que la période de la puissance instantanée est égale à la moitié de la période de la tension.

3) Puissance électrique moyenne absorbée

Cas d’un dipôle passif quelconque : Son impédance vaut Z = R + jX et cos

cos ⇔ ! " # $ ⇔ ! %& "

Seule, en moyenne, la résistance du dipôle absorbe de la puissance. Par conséquent,

les puissances moyennes absorbées par une bobine parfaite et par un condensateur parfait sont nulles.

Interprétation : Cas du condensateur <p_c> = 0.

On relève les oscillogrammes ci-contre. Graphiquement, on constate :

• u et i sont de période T ; p(t) est de période . Ceci a été justifié au II.2).

• p(t) est alternative.

En effet u(t) est déphasée de –π/2 à rapport à i(t). On en déduit que cos ϕ = 0 , et donc <p_c> = 0.

Justifions l’allure des courbes.

Le condensateur parfait restitue intégralement au circuit l’énergie électrique précédemment absorbée.

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1) Position du problème

Réseau

EDF installation domestique

est l’impédance équivalente de l’installation.

*Facteur de puissance de l’installation : k = cos ϕ

*Soit P₀ la puissance moyenne absorbée par l’installation. P₀ est la somme des puissances moyennes P_k des appareils en service ' cos P₀ est à la charge de l’usager.

*En général les installations électriques sont très inductives ( nombreux moteurs électriques – constitués de bobines ), donc Z = R + jX avec X = Lω réactance X positive et non négligeable. On en déduit que tan ⁺ est grande ; donc ϕ grand et cos ϕ petit. Le facteur de puissance de l’installation est petit.

*Intensité efficace dans la ligne EDF _./012^,- . Le facteur de puissance étant petit, l’intensité efficace est grande.

De plus les pertes par effet Joule dans la ligne EDF sont proportionnelles à I²_eff.

Donc plus le facteur de puissance est petit, plus les pertes dans les lignes, à la charge du fournisseur d’énergie électrique, sont élevées.

*EDF exige de ses clients une installation à facteur de puissance élevée sous peine de pénalités : il faut relever le facteur de puissance.

2) Principe

On connecte des condensateurs en parallèle avec l’installation, afin de relever le facteur de puissance.

Calculons C : Z = Ze^jϕ et ϕ ^{> 0}

Admittance complexe avant relèvement : 3 &⁴⁵² Y = Ycosϕ ^{– jYsin}ϕ Admittance complexe des condensateurs : Y_C = jCω

Admittance complexe après relèvement : Y_T = Y + Y_C

Y_T = Ycosϕ ^{– j(C}ω ^{- Ysin}ϕ⁾ Pour un facteur de puissance maximal cos ϕ^{’ = 1,} ϕ^{’ = 0. Y}T est alors un réel pur.

Le condensateur à connecter a pour capacité : 6 ^789:2_; .