Université de Cergy-Pontoise 2016/2017 L1 - MIPI
Examen d’Algèbre Linéaire
(Mercredi 11 janvier 2017 – durée 3 heures)
– Les documents, calculatrices, téléphones mobiles et objets connectés sont strictement interdits –
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Questions de Cours.
1. Effectuer les opérations suivantes lorsque c’est possible. Lorsque c’est impossible, dire pour- quoi.
2 5 3 6 4 7
× 2 5
4 6
,
2 5 4 6
×
2 5 3 6 4 7
,
2 5 4 6
2
,
t
2 5 3 6 4 7
2. SoitA =
x 5 0 2x
etB =
y 7
−1 3y
. Trouverxetypour queA+B =
4 12
−1 17
.
Exercice 1. Dans l’espace muni d’un repère orthonormé, on considère les points A(1; 2; 7), B(2; 0; 2), C(3; 1; 3).
1. Montrer que les pointsA, B etCne sont pas alignés.
2. Soit−→u = (1;b;c)un vecteur de l’espace, oùbetcdésignent deux nombres reels.
a) Déterminer les valeurs debetctelles que−→u soit un vecteur normal au plan(ABC).
b) En déduire qu’une équation cartésienne du plan(ABC)est :x−2y+z−4 = 0.
Exercice 2. SoientF etGles sous-espaces vectoriels deR3définis par :
F ={(x, y, z)∈R3 t.q.x−2y+z = 0}, G={(x, y, z)∈R3 t.q.2x−y+ 2z = 0}.
1. Donner une base deF, une base deG, en déduire leurs dimensions respectives.
2. Les espaces F et G sont-ils supplémentaires ?
Exercice 3. On considère la matriceA=
1 1 1 0 1 −1 1 0 1
1. a) Calculer le déterminant deA.
b) La matriceAest-elle inversible ? (on ne demande pas ici de calculer l’inverse) 2. Poura, b, cdes nombres réels quelconques fixés, résoudre le systèmeA
x y z
=
a b c
3. En déduire la matrice inverse deA.
1 Tournez la page S.V.P.−→
Exercice 4.
Soitf :R2 →R2l’application linéaire definie par
f(x, y) = (−x+ 3y, y).
1. DéterminerA, la matrice def dans la base canoniqueB = (e1, e2)deR2 . 2. DéterminerKer(f). A t-onf injective ? surjective ?
3. On considère la famille de vecteursB0 = (u1, u2)oùu1 = 2
1
etu2 = 1
1
. Démontrer que B0est une base deR2.
4. Donner la matrice de passageP de la baseBà la baseB0 et calculer son inverseP−1. 5. CalculerA0 la matrice de l’application linéairef dans la baseB0.
6. CalculerA02, A0netAnpour toutn ∈N(on distinguera les deux cas :npair etnimpair).
Exercice 5.
Soitf :R4 →R4un endomorphismenon nultel quef ◦f =0.
1. Montrer queImf ⊂kerf 2. Montrer qu’on a :
— soitdim Imf = 1etdim kerf = 3
— soitdim Imf = 2etdim kerf = 2
2
