DS n ◦ 8 Plus dur
Concours blanc Février 2020 (durée 2 heures) Toute calculatrice interdite
Rappel : Un résultat non justifié, même juste, ne rapporte aucun point.
Étude d’un endomorphisme d’un espace de fonctions numériques
SoitI un intervalle de la forme [−a,a] oùaest un réel strictement positif. Dans tout le problème, on considère les ensembles suivants.
•EleC-espace vectoriel constitué des applications deIdansCde classeC∞.
•Dla partie deE constitué de ses éléments développables en séries entière sur un voisinage de 0.
•P la partie deEconstitués de ses éléments polynômiaux Pour toutn∈N, on note
Wn= Zπ/2
0
(sint)nd t
et sif ∈E, on noteu(f) etv(f) les applications deIdansCdéfinies par les formules :
(∀x∈I)
u(f)(x)=2 π
Zπ/2 0
f(xsint)d t v(f)(x)=f(0)+x
Z π/2 0
f0(xsint)d t Les candidats devront justifier leurs affirmations
A. Préliminaires
1) Justifier queP etDsont des sous espaces vectoriels deE.
2) Montrer que si f ∈E,u(f) etv(f) sont bien définies et appartient àE et que l’on définit ainsi des endomor- phismesuetvdeE.
3) Montrer queP est stable paruet parv.
4) Établir pour toutn∈Nune relation simple entreWn+2etWn. En déduire que pour toutn∈N, WnWn+1= π
2(n+1)
5) Montrer que la suite (Wn)n∈Nest strictement décroissante. Déterminer sa limite et donner un équivalent de cette suite.
B. Étude de la continuité de u et de v
On considère une normeMdeEdéfinie pour toutf ∈E par la formule M(f)=max
x∈I |f(x)|
6) Vérifier que M est bien définie et montrer queu est une application continue de l’espace vectoriel normé (E,M) dans lui même.
On admet que l’applicationvn’est pas continue de (E,M) dans lui même, mais quevest continue de (E;N) dans (E,M).
Donc les normesMetNne sont pas équivalentes.
9) Sif ∈Eet siε>0,montrer qu’il existeP∈P tel quef(0)=P(0) et|f0(x)−P0(x)| ≤ε, pour toutx∈I. En déduire queP est dense dans l’espace vectoriel normé (E,N).
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C. Étude de l’inversibilité de u et v
10) Déterminer les restrictions deu◦vetv◦uàP.
11) Déterminer (u◦v)(f) pour toutf ∈E. Le réel 0 est-il valeur propre de l’endomorphismev. 12) Déterminer également (v◦u)(f) pour toutf ∈E. Conclure.
D. Étude des valeurs et vecteurs propres de u et v
15) Montrer queλest une valeur propre dev si et seulement si 1
λ est une valeur propre deu. Qu’en est-il des vecteurs propres correspondants ?
16) Montrer queDest stable paru. L’est-il parv?
On considère une valeur propreλdeu, de vecteur propre associéf ∈E. 17) vérifier que sin∈N, le nombremn=max
x∈I |f(n)(t)|est bien défini, et établir que pour toutx∈I,
|λ||f(n)(x)| ≤2mnWn π En déduire quef ∈P.
18) Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres deuet dev.
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