Thermique: ENSI M 1986

RENDEMENT MAXIMAL D' UN CYCLE DE CARNOT

On rappelle que le rendement r d'un cycle moteur ditherme est le rapport entre le travail (- W) fourni au milieu extérieur et la quantité de chaleur Q₁ effectivement reçue par le système au cours d'un cycle.

Le rendement maximal d'un cycle de Carnot (deux isothermes et deux adiabatiques) est r_m=1− T₂

T₁, T₁ et T₂ étant les températures des thermostats avec lesquels se font les échanges de chaleur T₁T₂.

L'objet du problème est d'étudier les relations pouvant exister entre le rendement maximal d'un cycle de Carnot et d'autres caractéristiques de ce cycle. On se limite au cas d'un gaz parfait: R=8,31 J K⁻¹mol⁻¹.

1) a. Le point A étant fixé, on veut en réglant convenablement les transformations AB, BC, CD et DA que la plus grande pression atteinte au cours du cycle, P_C, ne dépasse pas une certaine valeur P_max.

P_C étant constamment fixée à cette valeur P_max, quelle est en fonction de P_C et de P_A l'expression de la plus grande valeur possible de r_m?

Quelle est la température T₁correspondante ?

b. Quelle serait alors la valeur du travail fourni, - W, au cours du cycle?

c. Calculer la valeur limite de r_m définie en 1.a lorsque :

•le gaz utilisé est un gaz parfait diatomique pour lequel le rapport γ est constamment égal à 1,4 ; •la position de A correspond à P_A=1 bar=10⁵Pa et T₂=298 K ;

•P_max=60 bars.

2) a. Le point A restant fixé, établir en fonction de r_m et de P_C l'expression du travail fourni au cours d'un cycle accompli par n moles de gaz.

b. La valeur de P_C étant de plus fixée, on cherche la valeur de r_m pour laquelle le travail fourni est maximal.

Etablir l'expression qui permet de calculer r_m.

c. Calculer les valeurs de r_met de−W définies en2.b ainsi que la valeur de T₁ correspondante lorsque:

•on utilise 1 gramme du gaz défini en 1.c dont la masse molaire serait égale à 29 g;

•la position de A correspond à P_A=1 bar et T₂=298 K ; •P_C=60 bars.

3)Représenter le cycle, correspondant aux conditions données en 2.c, dans le plan (V, P).

On prendra comme échelles: 60 bars10 cm et 1 litre 20 cm.

A B

C

D P

V T₁

T₂