EPFL 17 mars 2008 Algèbre linéaire
1ère année 2007-2008
Série 17
L'exercice 5 est à rendre le 24 mars au début de la séance d'exercices.
Le symbole Fdésigne soit R, soit C, et V un F-espace vectoriel de dimension nie.
Exercice 1. Trouver toutes les valeurs propres de l'opérateur linéaire T ∈L(Fn) déni par T(x1, . . . , xn) = (x1+· · ·+xn, . . . , x1+· · ·+xn),
ainsi que les espaces propres associés.
Exercice 2. Soit A la matrice A =
5 0 1 1 1 0
−7 1 0
. Déterminer toutes les valeurs propres et espaces propres associés de l'opérateur linéaireTA ∈(F3) qui est représenté parA dans la base canonique.
Exercice 3. Soient S, T ∈L(V). Montrer queST et T S possèdent les mêmes valeurs propres.
Exercice 4. Soit T ∈ L(V) un opérateur linéaire tel que dim(im(T)) = k. Prouver que T admet au plus k+ 1 valeurs propres distinctes.
Exercice 5. Supposons que T ∈ L(V) possède dim(V) valeurs propres distinctes, et que S ∈L(V)admet les mêmes vecteurs propres queT (pas nécéssairement pour les mêmes valeurs propres). Montrer que T S =ST.
Exercice 6. Soient T ∈L(V), p∈P(F) et λ∈spec(T). Montrer que p(λ)∈spec(p(T)). Exercice 7. Soit T ∈ L(V). On dit qu'un polynôme p ∈ P(F) annule T ou que p est un pôlynome annulateur de T si p(T) = 0.
(a) Soit T ∈L(V) un projecteur, i.e. T2 =T. Trouver un polynôme annulateur de T.
(b) Soitpun polynôme annulateur deT. Montrer que les valeurs propres deT sont des racines dep.
(Attention : Ceci n'est pas une équivalence. Par exemple, (t−1)t2 annule idV, mais 0 n'est pas une valeur propre de idV.)
(c) Application I. Trouver un polynôme annulateur de degré2de l'opérateurTAreprésenté par la matrice
2 0 0
3 −4 3 3 −6 5
. En déduire les valeurs propres et espaces propres associés deTA.
(d) Application II. (Plus dicile) Soitf: Mat(n, n;F)→Mat(n, n;F)l'application dénie par f(A) = At. Vérier que f est linéaire et en trouver les valeurs propres et espaces propres associés.
