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Notre Dame de La Merci – Montpellier Exercices sur les équations de tangentes par limite du taux d’accroissement

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Academic year: 2022

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(1)

Notre Dame de La Merci – Montpellier

Exercices sur les équations de tangentes par limite du taux d’accroissement

Exercice 1 : Les fonctions carrées mènent à des identités remarquables Soit la fonction f définie par f x

 

x23.

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentant la fonction f au point d’abscisse x2. Exercice 2 : Les fonctions inverses mènent à des identités remarquables

Soit la fonction g définie par g x

 

1 2

 x .

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentant la fonction g au point d’abscisse x2.

Exercice 3 : Les fonctions avec racine carrée nécessitent la forme conjuguée Soit la fonction f définie par f x

 

2x3.

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentant la fonction f au point d’abscisse x3.

(2)

CORRIGE – Notre Dame de La Merci – Montpellier

Exercice 1 : Les fonctions carrées mènent à des identités remarquables Soit la fonction f définie par f x

 

x23.

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentant la fonction f au point d’abscisse x2.

Equation de la tangente : y f ' 2

  

  x 2

f

 

2

1) Calculer f

 

2 22   3 4 3 1

2) Détermination du coefficient directeur de la tangente par passage à la limite : DEUX METHODES

a)

2

   

2 2

2 3 1 4 4 2 3 1 4 4 2 3 1 4 2

4

h h h

f h f h h h h

h h h h h h

        

                

 

' 2 lim 40 4

f h h

 

b)

   

2 2 3 1 2 4 2 22

2



2

2 2 2 2 2 2

f x f x x x x x

x x x x x x

            

    

   

' 2 lim2 2 4

f x x

 

3) Formule de la tangente en x2 :

      

: ' 2 2 2 4 2 1 4 8 1 4 7

T yf x  fx   x   x

(3)

Exercice 2 : Les fonctions inverses mènent à des identités remarquables Soit la fonction g définie par g x

 

1 2

 x .

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentant la fonction g au point d’abscisse x2.

Equation de la tangente : yg' 2

  

  x 2

  

g 2

1) Calculer

 

2 1 2 1 4 5

2 2 2 2

g     

2) Détermination du coefficient directeur de la tangente par passage à la limite : DEUX METHODES

a)

2

  

2 21 2 52 21 42 52 21 12 21 22 12 22 h

g h g h h h h h

h h h h h

         

 

           

     

     

   

2 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1

2 2 2 2

1

h h h h

h h h h h h

h h h h h h h

     

         

      

 

g' 2

 

hlim02 2

1h

 14

b)

     

 

1 4 5 1 1 1 2 1 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x x x

g x g x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

  

    

              

       

 

2

1 1

' 2 lim

2 4

g x

x

    3) Formule de la tangente en x2 :

    

1

 

5 1 1 5 1 2 1

: ' 2 2 2 2 3

4 2 4 2 2 4 2 4

T yg x g   x    x    x   x

(4)

Exercice 3 : Les fonctions avec racine carrée nécessitent la forme conjuguée Soit la fonction f définie par f x

 

2x3.

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentant la fonction f au point d’abscisse x3.

1) Calculer f

 

3 2 3 3   93

2) Détermination du coefficient directeur de la tangente par passage à la limite : DEUX METHODES

a)

3

  

3 2

3

3 3 6 2 3 3 2 9 3 2 9 3

2 9 3

f h f h h h h

h h h h h

   

        

   

 

 

     

2 2

2 9 3

2 9 3 2 9 3 2 9 9 2 2

2 9 3 2 9 3 2 9 3 2 9 3 2 9 3

h h h h h

h h h h h h h h h

 

     

     

         

 

0

2 2 2 2 1

' 3 lim

3 3 6 3

2 9 3 9 3

f h

h

    

   

b)

     

   

2 2

2 3 3

3 2 3 3 2 3 3 2 3 3

3 3 3 2 3 3 3 2 3 3

f x f x x x x

x x x x x x

 

          

       

x32

 

x 23 9x 3 3

x3

2x2x6 3 3

x3

2

x2x3 

3 3

2x 23 3

 

3

2 2 1

' 3 lim

6 3

2 3 3

f x

x

  

 

3) Formule de la tangente en x3 : : ' 3

 

3

  

3 1

3

3 1 1 3 1 2

3 3 3

T yf x  fx   x   x

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