Notre Dame de La Merci

Notre Dame de La Merci – Montpellier Exercices sur les équations de tangentes

Exercice 1 : Les fonctions carrées mènent à des identités remarquables Soit la fonction f définie par ^{f x}

 

^{x2 x 3.}

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentant la fonction f au point d’abscisse x2. Exercice 2 :

Soit la fonction f définie par ^{f x}

 

^{1 x}

 x .

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentant la fonction f au point d’abscisse x2.

CORRIGE – Notre Dame de La Merci – Montpellier

Equation de la tangente au point d’abscisse xa : ^{y f '}

  

^{a   x a}



^{f a}

 

Exercice 1 :

Soit la fonction f définie par ^{f x}

 

^x2 ^{x 3}.

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentant la fonction f au point d’abscisse x2. 1) Calculer ^f

 

² ²²     ^{2 3 4 2 3 3} d’où le point ^{A 2;3}

 

2) Calculer ^{f ' 2}

 

de deux façons différentes : Première méthode :

        

²

 

²



0 0

2 2 3 2 2 3

2 2

' 2 lim lim

h h

h h

f h f

f ^ h ^ h

       

   

 

 

2 2

0 0 0 0

4 4 2 3 3 5 5

lim lim lim lim 5 5

h h h h

h h

h h h h h

h h h h

   

       

     

Deuxième méthode :

     

²



²



^{2 2}

2 2 2 2

3 2 2 3

2 3 3 6

' 2 lim lim lim lim

2 2 2 2

x x x x

x x

f x f x x x x

f ^ x ^ x ^ x ^ x

     

       

   

   

Discriminant : ^{ 12}     ^{4 1}

 

^{6 1 24}²⁵⁵²

 0 : deux racines : ₁ ^{1 5 6} 3 2 1 2

x   

   

 et ₂ ^{1 5 4} 2

2 1 2

x  

  



Ainsi ^{x2    x 6 1}



^{x 3}



^x2



Donc :

    

2 2

3 2

' 2 lim lim 3 5

x 2 x

x x

f x

 x 

 

   

 3) Formule de la tangente en x2 :

      

: ' 2 2 2 5 2 3 5 10 3 5 7

T y f x  f  x   x   x

Exercice 2 :

Soit la fonction f définie par ^{f x}

 

^{1 x}

 x .

Déterminer l’équation de la tangente à la courbe représentant la fonction f au point d’abscisse x2. 1) Calculer

 

^{2 1 2 1 4 5}

2 2 2 2

f      d’où le point A 2;⁵ 2

 

 

  2) Soit un point ^M



^{x y;}



appartenant à C_f .

Le coefficient directeur de la droite (AM) est :

   

2 2

1 5 1 2 2 5 2 2 5 2 5 2

2 2 2 1 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x x x x x x x

f x f x x x x x x x x x

a x x x x x

    

     

   

    

    

 

2

2 2

2 5 2

2 5 2 1 2 5 2

2

2 2 2 2 2

1

x x

x x x x

a x

x x x x x

 

   

   

  

Discriminant : ^{  }

 

^{5 2   4 2 2 25 16  9 32}

Racines : ₁ ^{5 3 2 1} 2 2 4 2 x    

 et ₂ ^{5 3 8} 2

2 2 4

x    

 Donc

 

 

 

2

1 1 1

2 2 2

2 5 2 2 2 2

2 2 2 2 2

x x x x

x x

a x x x x x x

       

   

     

   

 

Par passage à la limite, on obtient le coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse : x = 2

       

2 2

1 1 4 1 3

2 2 2 2 2 2 2 3 1 3

' 2 lim lim ' 2

2 2 2 2 2 2 4

x x

f x f x

f f

x x

 

  

         

 3) Formule de la tangente en x2 :

    

³

 

^{5 3 3 5 3 2 3}

: ' 2 2 2 2 1

4 2 4 2 2 4 2 4

T y f x  f  x   x   x  x