CORRIGE – La Merci – Montpellier – M. QUET Exercice 1 : Résoudre les équations :

CORRIGE – La Merci – Montpellier – M. QUET Exercice 1 : Résoudre les équations :

1 2

1 3

x   x

  4  x

²

  x 2  ^{x  2} 

²

^{  9 0}

Valeurs interdites :  1 et 3  2

²

 x

²

  x 2 ^  ^{x  2} 

²

^{ 3}

²

^{ 0}

1 2

1 3 0

x x

  

  ^  ^{2  x}  ^{2  x}  ^{  x 2 }  ^{x   2 3}  ^{x    2 3}  ⁰

    

  

2 1

3 0

1 3 3 1

x x

x x x x

 

  

    ^  ^{2  x}  ^{2  x}   ^{ x    2}  ^{1 0 }  ^{x  5}  ^{x   1}  ⁰

 ^{x x   3 2 1}  ^{x x  3 2}  ⁰

 

  ^  ^{2  x}  ^{2  x}   ^{ x    2}  ^{1 0 }  ^{x  5}  ^{x   1}  ⁰

 ^{x 3 1 x}  ^{ x 1 3}  ⁰

 

  ^  ^{2  x}   ^ _ ^{2    x}  ^{1 } _ ⁰

5 0

1 0 x ou x

  

  

  

 3 x 1 0

   ^  ^{2  x}  ^{1  x}  ^{ 0}

5

1 x ou

x

  

  

   1

x 3

 

2 0

1 0

x ou

x

  

  

  



^{S  }  ^5;1 

1

3 n’est pas une valeur interdite

2

1 x ou x

  

  

   1

S      3

  ^{S  }  ^2;1 

36

2

6 0 x x

 



²

1 1

8

x 



3 1

2 x 1  x 3  0

 

Valeur interdite : 6 Valeur interdite : x

²

 8 Valeurs interdites : 1 2 et 3

36  x

2

 0

₂

¹ 1 0

8

x  

  

    

  

3 3 1 2 1

2 1 3 3 2 1 0

x x

x x x x

 

 

   

36 x

2

 

²

2 2

1 8

0

8 8

x

x x

   

   

  

3 9 2 1

2 1 3 0

x x

x x

  

 

  6

6 x ou x

 

  

  



2 2

1 8

0 8 x x

 

 



 ^{3 2 x x   9 2 1}  ^{x x  3 1}  ⁰

 

  Or 6 est une valeur interdite

2 2

9 0

8 x x

  



 ^{2 x x 1 }  ^{8 x 3}  ⁰

 

 

  ⁶

S    9  x

²

 0  x   8 0

 9  x

²

 x  8 3

3 x ou x

 

  

  



8 n’est pas une valeur interdite

3 et 3  ne sont pas des valeurs interdites ^{S }   ⁸

 ^3;3 

S  

2 2

1 1

8 2 2

x  x x

   2 x   3 2 x  5 x 2 1    x 2

Valeurs interdites :  x 2 1    x 2

 

2 2 2

2

2 2 2 1 1

1 1

x x x x

x

     

  

2 3 0

5 0 x et x

  

 

  



2 2 1

x x

   

Donc x

²

 2 x   2 0

2 3

5 x et x

  

 

  

2 1 3

x x

    

Et il faut que x

²

  8 0

3 2 5 x et x

  

 

  

 

 ^{2 1}  ³

 x   

Soit : x

²

 8 donc x  5 3

2 1

 x 

 Soit :

8

8 x et x

  

   



3 2 1

2 1 2 1

x 

  

 

Résolution :  

  

3 2 1

2 1 2 1

x

  

 

2 2

1 1

0

8 2 2

x  x x 

    ^{2 x  3}  

²

^{ 2 x  5} 

²

 

^{2 2}

3 2 3

2 1

x 

 



   

  

2 2

2 2

2 2 8

0

8 2 2

x x x

x x x

   

 

   ^{ 2 x   3 4}  ^{x  5}  ^{3 2 3}

x 2 1 

 



  

2 2

2 2

2 2 8

0

8 2 2

x x x

x x x

   

 

    2 x   3 4 x  20  x  3 2  3

 ^x

²

⁸  ^{2 x x }

²

^{10 2 x 2}  ⁰

 

    2 x   3 20  4 x ^{S }  ^{3 2  3} 

2 x 10 0

    23  4 x  2 x

2 x 10

    23  2x

10 5 x 2

     23

x 2

 

 5 n’est pas une valeur interdite 23 2  5

  ⁵

S   23

S      2

 

Exercice 2 :

a) Pour tout nombre réel x, on a :  ^{x  2} 

²

^{  9 x}

²

^{ 4 x    4 9 x}

²

^{ 4 x  5}

b) Donc l’´equation : ^x

²

^{ 4 x   5 0 }  ^{x  2} 

²

^{  9 0 }  ^{x  2} 

²

^{ 3}

²

^{ 0}

 ^{x 2 3}  ^{x 2 3}  ⁰  ^{x 5}  ^{x 1}  ⁰

         

 

5 0 5

5;1

1 0 1

x x

ou ou S

x x

   

 

 

      

    

 

Exercice 3 :

a) Pour tout nombre réel x, on a :  ^x

²

^{ 10} 

²

^{ 36 }   ^x

^{2 2}

^{ 20 x}

²

^{ 100 36     36 x}

⁴

^{ 20 x}

²

^{ 64}

b) Donc l’´equation : ^x

⁴

^{ 20 x}

²

^{ 64  0 }  ^x

²

^{ 10} 

²

^{ 36  0 }  ^x

²

^{ 10} 

²

^{ 6}

²

^{ 0}

 ^x

²

^{10 6}  ^x

²

^{10 6}  ⁰  ^x

²

⁴  ^x

²

¹⁶  ⁰

         

2 2

2 2

4 0 4 2 2

4 4

16 0 16

x x x ou x

ou ou ou

x ou x

x x

        

  

     

         

 

 ^{4; 2; 2; 4} 

S   

Exercice 4 :

La durée T, en secondes, d’un battement d’un pendule de longueur L, en mètres, est donnée par la formule :

T 2π ^L

 9,8

Calculer L, à 10

^2

près, pour que la durée d’un battement soit de une seconde.

on veut que T = 1 donc on doit résoudre l’équation :

2 2

2π L

L 9,8 1 L 1 L 1

2π 1

9,8 2π 2π 9,8 2π 9,8 2π

   

                

2 2 2

L 1 L 1 9,8

9,8 9,8 L 0, 25

9,8 4π 9,8 4π 4π

        m