C C O C b b d Ann   /100  KJ EMxx  ()/  x   x  

ﺰﯾﺰﻌﻟا ﺪﺒﻋ ﻦﺑ ﺮﻤﻋ ﺔﯿﻠﯿھﺄﺘﻟا ﺔﯾﻮﻧﺎﺜﻟا

ةﺪﺟو

ﻢﻗر سوﺮﺤﻣ ﺐﺟاو 5

_ II _

ﻲﺒﯾﺮﺠﺗ ضﺮﻓ

29 / 05 / 2014

2

مﻮﻠﻋ . أ ﺔﯿﺿﺎﯾر

زﺎﺠﻧﻹا ةﺪﻣ :

تﺎﻋﺎﺳ 4

0.25x4 0.75 1 0.5x2

لوﻷا ﻦﻳﺮﻤﺘﻟا :

3.75pts) (

3( ) ﻲﻓ M  ﺮﺒﺘﻌﻧ

تﺎﻓﻮﻔﺼﻤﻟا :























1 0 0

0 1 0

0 0 1 وI

























0 1 1

1 0 0

1 0 0 وJ



























0 0 0

0 1 1

0 1 1 و K











































1 1 2

2

2 1 2

) (

2 2

2 2

x x

x x x

x x x

x M

x ﺚﯿﺣ

.

ﻦﻜﺘﻟو تﺎﻓﻮﻔﺼﻤﻟا ﺔﻋﻮﻤﺠﻣ E

) (x ﺚﯿﺣ M x

.



^{( ) /}



E  M x x .

° 1 ( ﺐﺴﺣأ K

J  و

J K

و J2

و K2

.

° 2 ( ﺐﺘﻛأ )

(x و M ) (y ل ﺔﯿﻄﺧ ﺔﻔﯿﻟﺄﺘﻛ M و I

و J نأ ﻦﯿﺑ ﻢﺛK :

)

( ) ( )

(x M y M x y

M   

° 3 ( نأ ﻦﯿﺑ :



E,^



ﺔﯿﻟدﺎﺒﺗ ةﺮﻣز .

° 4 ( ﻊﻀﻧ : I x M B  ( ) .

ﺐﺴﺣأ :

B2

و B3

.

1 0.5

1 ﻲﻧﺎﺜﻟا ﻦﻳﺮﻤﺘﻟا

: ) pts 2.5 (

ﺔﻋﻮﻤﺠﻤﻟا ﺮﺒﺘﻌﻧ



^{/ 100}



A n n

° 1 ( ﻲﻓ ﻞﺣ

  ﺔﻟدﺎﻌﻤﻟا :

1 101 89x y 

° 2 ( ﺪﻌﻟا دﺪﺣ ﻲﻌﯿﺒﻄﻟا د

ﻦﻣ d ﺚﯿﺤﺑ A



¹⁰¹



: 1 89d 

° 3 ( ﻦﻜﯿﻟ و a

ﻦﻣ b .A

نأ ﻦﯿﺑ :

نﺎﻛ اذإ ﺪﯿﻠﻗﻹا ﺔﻤﺴﻘﻟا ﻲﻗﺎﺑ ﻮھ b

ل ﺔﻳ 7

89a ﻰﻠﻋ 101

نﺈﻓ ﻲﻗﺎﺑ ﻮھ a

ل ﺔﻳﺪﯿﻠﻗﻹا ﺔﻤﺴﻘﻟا 9

42b ﻰﻠﻋ 101

.

0.75

0.25

0.25 0.25 ﺚﻟﺎﺜﻟا ﻦﻳﺮﻤﺘﻟا

: ) 3.75 pts (

° 1 ( ﻋﻮﻤﺠﻤﻟا ﻲﻓ ﻞﺣ

 ﺔ ﺔﻟدﺎﻌﻤﻟا :

 

^{E 4z2 }



^{5 3 i 3}



^{z2i 3 0}

° 2 ( ﺮﺷﺎﺒﻣو ﻢﻈﻨﻤﻣ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ﻢﻠﻌﻣ ﻰﻟإ بﻮﺴﻨﻣ يﺪﻘﻌﻟا ىﻮﺘﺴﻤﻟا ﻲﻓ



O,e1,e2



ﻦﯿﺘﻄﻘﻨﻟا ﺮﺒﺘﻌﻧ )

(a و A ) (b ﻲﻟاﻮﺘﻟا ﻰﻠﻋ ﺎﮫﻗﺎﺤﻟأ ﻲﺘﻟا B

3 i

e a  و

6

2 3 ^i

e b .

ﻦﻜﯿﻟ هﺰﻛﺮﻣ يﺬﻟا ناروﺪﻟا r

ﻪﺘﻳواز سﺎﯿﻗ و B 2

. C و ةرﻮﺻ ﺔﻄﻘﻨﻟا

ناروﺪﻟﺎﺑ O . r

أ (

c دﺪﺣ ﺔﻄﻘﻨﻟا ﻖﺤﻟ .C

ب

( ﺔﻳواﺰﻠﻟ ﺎﺳﺎﯿﻗ دﺪﺣ



^BA,BO



.

ج

( ﻂﻘﻨﻟا نأ ﻦﯿﺑ و A

و B C ﺔﯿﻤﯿﻘﺘﺴﻣ .

° 3 ( ﻦﻜﯿﻟ



 



₀  ,

0 0 ﻊﻣ

  ﻊﻀﻧ :







 





 z z n IN

z e z

n n n

i

2 ,

1 0

0

0.5 0.25

0.5

0.5 0.5

ﻊﻀﻧ :

i n

n

n re

z  ^ ﺚﯿﺣ

0

n  و r



^{ }



_n   , .

و ) Im( _n

n z

y  ﺚﯿﺣ ) Im(z_n ل ﻲﻠﯿﺨﺘﻟا ءﺰﺠﻟا ﻮھ zn

.

أ (

1دﺪﺣ



rn

ﺔﻟﻻﺪﺑ rn

nو . دﺪﺣ و

1

n

ﺔﻟﻻﺪﺑ

n

.

ب (

n دﺪﺣ

 ﺔﻟﻻﺪﺑ و n

0

.

ج

( ﻦﯿﺑ ﻊﺟﺮﺘﻟﺎﺑ نأ

 :



 



 





 



 







  _n

rn

cos 2 cos 2

cos 2⁰ ⁰₂ ⁰



,

*

 n 

د ( نأ ﻦﯿﺑ :

2

1 n n

y _  y IN

n دﺪﺣ ﻢﺛ 

yn

ﺔﻟﻻﺪﺑ و n

0

.

ه ( نأ ﺞﺘﻨﺘﺳا :

 



 



 



 



 





 



 









n n

n

sin 2 2

sin cos 2

cos 2 cos 2

0 0 0

2 0 0









 

0.25x3 0.25

0.75 0.5x2 0.5

0.5 0.5 0.75 0.5

0.25

0.75 ﻊﺑاﺮﻟا ﻦﻳﺮﻤﺘﻟا

: ) pts 6.5 (

لوﻷا ءﺰﺠﻟا :

ﻦﻜﺘﻟ ﻰﻠﻋ ﺔﻓﺮﻌﻤﻟا ﺔﻳدﺪﻌﻟا ﺔﻟاﺪﻟا f

 ﻠﻳﺎﻤﺑ ﻲ :











 ^ 0 ) 0 (

0 , )

(

1

f

x e

x x

f ^x

ﻦﻜﯿﻟ و

 

^C_f

ﺔﻟاﺪﻟا ﻰﻨﺤﻨﻣ ﻢﻈﻨﻤﻣ ﺪﻣﺎﻌﺘﻣ ﻢﻠﻌﻣ ﻰﻟإ بﻮﺴﻨﻣ ىﻮﺘﺴﻤﻟا ﻲﻓ f



^{O, i, j}



1 ( ﺐﺴﺣأ :

) ( lim f x

x

و )

( lim f x

x

و )

( lim

0 f x

x ^

2 ( ﺔﻟاﺪﻟا قﺎﻘﺘﺷا سردأ ﺔﻄﻘﻨﻟا ﻲﻓ f

0 0 ﻦﯿﻤﯿﻟا ﻰﻠﻋ x .

3 ( ﺐﺴﺣأ )

( ' x , f x*

ﺔﻟاﺪﻟا تاﺮﯿﻐﺗ لوﺪﺟ ﻂﻋأ و . f

4 ( ﻰﻨﺤﻨﻤﻠﻟ نﺎﺑرﺎﻘﻤﻟا دﺪﺣ

 

^C_f

راﻮﺠﺑ

 و 

 .

5 ( ﻰﻨﺤﻨﻤﻟا ﺊﺸﻧأ

 

^C_f

.

ﻲﻧﺎﺜﻟا ءﺰﺠﻟا :

n مﺪﻌﻨﻣ ﺮﯿﻏ ﻲﻌﯿﺒﻃ دﺪﻋ .

ﺔﻳدﺪﻌﻟا ﺔﻟاﺪﻟا ﺮﺒﺘﻌﻧ fn

ﻰﻠﻋ ﺔﻓﺮﻌﻤﻟا

لﺎﺠﻤﻟا



^0,



ب :

x n

n x xe

f ( ) ^

° 1 _ أ ( نأ ﻦﯿﺑ nﻞﻜﻟ

*ﻦﻣ

 ﺪﺟﻮﻳ un

لﺎﺠﻤﻟا ﻦﻣ ﺪﯿﺣو



^0,



ﺚﯿﺤﺑ

 

n ^1 :

n u

. f

ب (

نأ ﻦﯿﺑ :

1 un

و

 

* , _nln _n

n u u n

  

.

° 2 ( ﻊﻀﻧ : ) ln(

)

(x x x

g 

. ﺔﻟاﺪﻟا نأ ﻦﯿﺑ لﺎﺠﻤﻟا ﻰﻠﻋ ﺔﻳﺪﻳاﺰﺗ g



^1,



ﺔﯿﻟﺎﺘﺘﻤﻟا نأ ﺞﺘﻨﺘﺳا و

 

un _n1

ﺔﻳﺪﻳاﺰﺗ .

° 3 ( نأ ﻦﯿﺑ :



 

 n

nlimu

° 4 _ أ ( نأ ﻖﻘﺤﺗ :

 

un

  

un



n ln ln ln

ln  

, n *

 

ب (

نأ ﺞﺘﻨﺘﺳا :

 

 

lim ln 1

ln

n

n

n u

 

0.25pt

نأ و :

lim 1

ln

n n

u n

n



 

 

 

 

 

 

0.5p

0.5

0.25

0.5

0.75 0.25

0.5 0.5 0.25 ﺲﻣﺎﺨﻟا ﻦﻳﺮﻤﺘﻟا :

) pts 3.5 (

° 1 ( نأ ﻦﯿﺑ 0

ﺔﻟدﺎﻌﻤﻠﻟ ﺪﯿﺣﻮﻟا ﻞﺤﻟا ﻮھ 0 :

arctan 

 x

x

ﺔﻟاﺪﻟا ﺮﺒﺘﻌﻧ ﻰﻠﻋ ﺔﻓﺮﻌﻤﻟا h

 ب :

2

*

(0) 1ln(2) 2

( ) ;

arctan

x x

h

h x dt x

t t

 





  

 





^

° 2 ( نأ ﻦﯿﺑ وز ﺔﻟاد h

ﺔﯿﺟ .

° 3 _ أ ( ﻦﻜﯿﻟ 0

 .t

نأ ﻦﯿﺑ

 

₂ ² :

1 1 1 0

; ,

0 u

t u

u 

 



 نأ ﺞﺘﻨﺘﺳا و  :

arctan 3 0

t3

t

t 



ب ( نأ ﻦﯿﺑ :

2 2

0 ( )

2 4

x x

dt x

x h x

  



t 

ﺔﻟاﺪﻟا نأ ﺞﺘﻨﺘﺳاو ﺔﻠﺑﺎﻗو ﺔﻠﺼﺘﻣ h

ﻲﻓ قﺎﻘﺘﺷﻼﻟ 0

ﻦﯿﻤﯿﻟا ﻰﻠﻋ .

° 4 _ أ ( ﺐﺴﺣأ

* , '( )

x h x

ب ( نأ ﻦﯿﺑ 0 :

2 arctan arctan

2 ,

0  



x x x

ﺔﻟاﺪﻟا تاﺮﯿﻐﺗ لوﺪﺟ ﻂﻋأ ﻢﺛ .h

° 5 _ أ ( نأ ﻦﯿﺑ :

2 2

0 , ( ) 2

2

x x

x x

dt dt

x h x

t t

  



 



ب ( ﺞﺘﻨﺘﺳا نأ

: 2 ln ) (

lim 



 h x

x

ﻰﮫﺘﻧا