3 Suites pleines et polynômes eulériens

Classements et polynômes eulériens

Igor Kortchemski¹

Lycée Louis le Grand, 75005 Paris, France

Résumé

Dans cet article, nous établissons de manière bijective une relation entre le nombre de manières de réaliser un classement de n personnes, s'autorisant les ex-aequo et An(2), valeur du polynôme eulérienAn(q)au pointq= 2.

1 Introduction

Cet article présente la preuve du corollaire3.23de [1] de manière moins étoée, c'est-à-dire sans passer par les bonnes suites. La preuve est plus concise, mais perd en intuitivité. Ce résultat établit une relation entre un objet combinatoire, le nombre f(n) de manières de réaliser un classement de n personnes, s'autorisant les ex-aequo, et les polynômes eulériens. Le polynôme eulérienA_n(q) étant déni par

X

k≥0

kⁿq^k= A_n(q) (1−q)ⁿ⁺¹, nous avons en eet (theorème 3.6) :

f(n) = A_n(2) 2 ,

où A_n(2) désigne la valeur du polynôme eulérien A_n(q) au point q = 2. Pour cela, nous notons F_k l'ensemble des suites s de longueur k telles que tout i ∈ [max(s)] apparaît dans s. Nous introduisons l'ensemble

M_a1...an ={s₁. . . s_n∈F_n| sii < j,(a_i < a_j)⇐⇒(s_i< s_j)}

poura₁. . . a_n∈S_n et nous montrons (theorème 3.2) que :

Card(M_w) = 2Card⁽des⁽i^(w))),

où des(i(w)))est l'ensemble des descentes de la permutation inverse de w.

2 Préliminaires

Nous introduisons en premier lieu quelques notions qui nous seront nécéssaires par la suite.

1Adresse E-mail : [email protected]

2.1 Suites pleines et permutations Dénitions.

On noteS_n l'ensemble des permutations de longueurn et[n]l'ensemble{1, . . . , n}.

Une suite pleine sest une suite de k entiers strictement positifs telle que touti∈[max(s)] apparaît danss. SoitF_k l'ensemble des suites pleines de longueur k.

Par exemple,1423625 est une suite pleine, mais1522461n'en est pas une, puisqu'elle ne contient pas3. Soitf(n)le nombre de manières de classernparticipants d'une compétition, s'autorisant les ex aequo [3].

Par exemple, f(3) = 13 (six manières avec aucun ex aequo, trois manières avec deux ex aequo à la première place, trois manières avec deux ex aequo à la seconde place, et une manière avec trois ex aequo).

Il est facile de voir quef(n) =Card(F_n), puisqu'un tel classement peut être mis en bijection avec une suite pleines₁. . . s_n par la construction suivante :s_i est la position de idans le classement.

Dénitions.

Soit w =a₁. . . a_n∈ S_n. Une descente dew est un entier i pour lequel a_i > a_i+1. Par exemple dans 3672415 il y a2 descentes :3et5. On note des(w) l'ensemble des descentes dew.

i(w)désigne la permutation inverse dew(elle est généralement notéew⁻¹mais, comme nous le verrons, il est plus pratique pour nous d'utiliser i(w)). Par dénition, si i(w) =a₁. . . a_n alorsa_i est la position de idansw. Par exemple i(461235) = 345162.

2.2 L'ensemble φ_w

Dénition. Soitw∈S_n. On dénit φ_w de la manière suivante :

φ_w ={k∈N|k+ 1apparaît à la gauche dekdansw}.

Par exemple, φ₅₁₃₂₄ ={2,4}.

Lemme 2.1 Soitw∈S_n. Alors φ_w est l'ensemble des descentes de i(w). Preuve. Nous avons successivement les équivalences suivantes :

k∈φ_u ⇔ k+ 1apparaît à la gauche dek dansw

⇔ i(w)_k>i(w)_k+1

⇔ k est une descente dei(w)

où i(w)_k est le k-ième élément de i(w). ¥

2.3 Polynômes eulériens

On note d(w)le nombre de descentes de w.

A_n(q) est appelé polynôme eulérien [2]. Le coecient de qⁱ dans A_n(q) est noté A(n, i) et vérie la relation suivante² :

2L'existence deAn(q) provient de la relationX

k≥0

q^k = 1

1−q sur laquelle on applique l'opération suivante nfois à la suite : dériver par rapport à q puis multiplier parq.

X

k≥0

kⁿq^k= P_n

i=1A(n, i)qⁱ (1−q)ⁿ⁺¹ . Par exemple,

X

k≥0

k⁴q^k= q+ 11q²+ 11q³+q⁴ (1−q)⁵ .

On prouve (voir [3]) queA(n, k+ 1)compte le nombre de permutations de[n]avec kdescentes, c'est-à- dire :

A_n(q) = X

w∈Sn

q¹⁺d^(w).

Par exemple, A₄(q) = q + 11q² + 11q³ +q⁴ et eectivement dans S_n, il y a un élément avec aucune descente, onze avec une descente, onze avec deux descentes et un avec trois descentes.

2.4 L'application B

Dénissons l'applicationB:F_n→S_n de la manière suivante : pour touts=b₁. . . b_n∈F_n on construit a₁. . . a_n∈S_n par l'algorithme suivant :

Assigner a_i =b_i.

Pouride 1à npar pas de 1

Siisurvient plus d'une fois dans a₁· · ·a_n

Noterk la position de la dernière apparition deidansa₁· · ·a_n. Pour tout j∈[n], tel que j6=k eta_j ≥i, incrémentera_j de 1.

FinSi FinPour

Dénira₁. . . a_n commeB(s).

Représentons cet algorithme graphiquement : on met un entier entre crochets s'il ne survient qu'une seule fois dans la suite. Si l'entier considéré apparaît plusieurs fois, on encadre celui qui est le plus à droite. On souligne tous les entiers qui seront incrémentés.

Par exemple, prenons s= 31223:

Etape 1 : 3 [1] 2 2 3 Ã 3 1 2 2 3 Etape 2 : 3 1 2 2 3 Ã 4 1 3 2 4 Etape 3 : 4 1 [3] 2 4 Ã 4 1 3 2 4 Etape 4 : 4 1 3 2 4 Ã 5 1 3 2 4 Ainsi, après2 étapes :B(31223) = 51324.

Prenons s= 2311423:

Etape 1 : 2 3 1 1 4 2 3 Ã 3 4 2 1 5 3 4 Etape 2 : 3 4 [2] 1 5 3 4 Ã 3 4 2 1 5 3 4 Etape 3 : 3 4 2 1 5 3 4 Ã 4 5 2 1 6 3 5 Etape 4 : [4] 5 2 1 6 3 5 Ã 4 5 2 1 6 3 5 Etape 5 : 4 5 2 1 6 3 5 Ã 4 6 2 1 7 3 5 Ainsi, après5 étapes :B(2311423) = 4621735.

Remarquons que a₁. . . a_n est toujours une permutation : après k étapes chacun des entiers 1,2, . . . , k apparaît exactement une fois, d'après l'algorithme. Ainsi, après au plus n étapes, nous obtenons une permutation.

L'interêt deBréside dans la propriété suivante : soits∈F_n. Soient i, j∈[n]tels quei6=j,s=b₁. . . b_n etB(s) = a₁. . . a_n. Clairement si b_i > b_j alors a_i > a_j car b_i est incrémenté au moins le même nombre de fois queb_j, et sib_i =b_j pouri > j alorsa_i > a_j carb_i sera incrémenté au moins une fois de plus que b_j, puisque b_i est à la gauche de b_j. On en tire immédiatement le lemme suivant :

Lemme 2.2 Soit s ∈ F_n. Soient s = b₁. . . b_n, B(s) = a₁. . . a_n et i, j ∈ [n] tels que i < j. Alors b_i < b_j ⇐⇒a_i < a_j.

Ce lemme constitue l'argument clé de la partie suivante.

3 Suites pleines et polynômes eulériens

Soita₁. . . a_n∈S_n. On dénitM_a1...an comme suit :

M_a1...an ={s₁. . . s_n∈F_n| si i < j,(a_i< a_j)⇐⇒(s_i < s_j)}. (1) Par exemple, pourw= 4132,M₄₁₃₂ ={2122,3122,3132,4132}.

C'est ici qu'intervient le lemme 2.2 de manière déterminante, puisqu'il fournit : Lemme 3.1 Soits∈F_n. Alors : s∈M_B(s).

D'autre part, le théorème suivant est fondamental : Théorème 3.2 On a :

Card(M_w) = 2Card⁽des⁽i^(w))). Par exemple :

w= 123etM₁₂₃ ={123}. Card(des(i(123))) =Card(des(123)) =Card(∅) = 0 w= 132etM₁₃₂ ={122,132}. Card(des(i(132))) =Card(des(132)) =Card({2}) = 1 w= 213etM₂₁₃ ={112,213}. Card(des(i(213))) =Card(des(213)) =Card({1}) = 1 w= 231etM₂₃₁ ={121,231}. Card(des(i(231))) =Card(des(312)) =Card({1}) = 1 w= 312etM₃₁₂ ={212,312}. Card(des(i(312))) =Card(des(231)) =Card({2}) = 1

w= 321etM₃₂₁ ={111,211,221,321}. Card(des(i(321))) =Card(des(321)) =Card({1,2}) = 2. Lemme 3.3 Soient w =a₁. . . a_n ∈ S_n, s =s₁. . . s_n ∈M_w et k, l des entiers strictement positifs tels quea_k< a_l. Alors s_k≤s_l.

Preuve. Sik < l, alors, d'après la dénition des,a_k< a_l=⇒s_k< s_l=⇒s_k≤s_l. Maintenant, sik > l, supposons que s_k > s_l. D'après la dénition de s, puisque l < k, s_l < s_k =⇒ a_l < a_k ce qui est une

contradiction. ¥

Preuve du théorème 3.2 : Soient w = a₁. . . a_n ∈ S_n, s = s₁. . . s_n ∈ M_w et soient k, l des entiers strictement positifs tels que a_l =a_k+ 1. Clairement, si s_l ≥s_k+ 2, alors s_k+ 1 n'apparaît pas dans s d'après le lemme 3.3, ce qui contredit le fait quessoit une suite pleine.

D'abord, supposons que a_k ∈φ_w, c'est-à-dire quea_k+ 1apparaît à la gauche de a_k dansw. D'après le lemme 3.3, s_l =s_k+ 1ou s_l=s_k. Posonsj =a_k. Soit i(w) =i₁. . . i_n. Alors k=i_j etl=i_j+1 cari_j est la position dej dansw. Ainsi :

j∈φ_w =⇒s_ij+1 =s_ij ou s_ij+1 =s_ij+ 1. (2)

Ensuite, supposons quea_k 6∈φ_w, c'est-à-dire quea_k+ 1apparaît à la droite dea_k dansw. Alorsk < l. D'après la dénition de s,a_k < a_l =⇒ s_k < s_l =⇒ s_l =s_k+ 1d'après le lemme 3.3. De même, posons j=a_k. Soit i(w) =i₁. . . i_n. Alorsk=i_j etl=i_j+1. Ainsi :

j 6∈φ_w =⇒s_ij+1=s_ij+ 1. (3)

Intuitivement on peut sentir ce qui va se passer : on veut construire un élément de M_w en dénissant récursivement la suite s_ip pourp= 1,2, . . . n. D'après (2) et (3) on a deux choix pour tous les éléments de φ_w et un unique choix pour tous les éléments qui ne sont pas dans φ_w, ce qui produit 2Card^(φw) éléments deM_w. Plus précisément, décrivons l'algorithme suivant :

Soit i(w) =i₁. . . i_n. PosonsS={11. . .11}, où11. . .11est l'unique suite constituée de nfois le nombre 1.

Pourj de 1à n−1par pas de 1 Sij ∈φ_w

∗ Pour chaque suites=s₁. . . s_n∈S, faire : s_ij+1 :=s_ij.

∗ Créer une nouvelle suites⁰ =s.

∗ Faire :s⁰_ij+1 :=s⁰_ij+ 1.

∗ Ajouters⁰ à S. Ou bien (j 6∈φ_w)

Pour chaque suite s=s₁. . . s_n∈S, faire :s_ij+1 :=s_ij+ 1. FinSi

FinPour

On dénit S_w comme l'ensemble nal S.

Par exemple pour w= 25143 on a i(w) = 31542 etφ₂₅₁₄₃={1,3,4}. Commençons avecS={11111}

Pourj = 1, puisque1∈φ₂₅₁₄₃, on aS={11111,21111}. Pourj = 2, puisque26∈φ₂₅₁₄₃, on aS={11112,21113}.

Pourj = 3, puisque3∈φ₂₅₁₄₃, on aS={11122,11132,21133,21143}. Pourj = 4, puisque4∈φ₂₅₁₄₃, on a nalement

S₂₅₁₄₃={12122,13122,13132,14132,23133,24133,24143,25143}. Proposition 3.4 Nous avons l'inclusion suivante :M_w ⊂S_w.

Preuve. Cette inclusion est évidente car tout élément deM_w vérie (2) et (3), de sorte qu'il sera produit

par l'algorithme et sera par conséquent un élément deS_w. ¥

Proposition 3.5 Nous avons l'inclusion suivante :S_w ⊂M_w.

Preuve. Soient w = a₁. . . a_n une permutation xée et s∈ S_w. Posons i(w) =i₁. . . i_n. Il est clair par construction quesest une suite pleine. Montrons que pour x < y,(a_x< a_y)⇐⇒(s_x < s_y).

Soient x, y tels que x < y et a_x < a_y. Alors il existe k tel que x ≤ k < y et a_k 6∈ φ_w. D'après l'algorithme :

s_x≤s_x+1 ≤ · · · ≤s_k< s_k+1≤ · · · ≤s_y,

de sorte que s_x < s_y.

Soientx, y tels quex < y ets_x< s_y. D'après l'algorithme, sis_ik < s_il alorsk < l. Orx=i_ax,y=i_ay

ets_iax < s_iay. Donc a_x < a_y. ¥

Ainsi l'ensembleS_w est exactementM_w. Or le nombre d'éléments deS_w est2Card^(φw). De plus, d'après le lemme 2.1 : Card(φ_w) =Card(des(i(w)))). On en déduit que :

Card(M_w) = 2Card^(φw) = 2Card⁽des⁽i^(w))).

¥ Nous en déduisons aisément le théorème suivant :

Théorème 3.6 La relation suivante est vériée :

f(n) = A_n(2) 2 .

Preuve. Considérons toutes les permutations w₁, . . . , w_n! de [n]. Les ensembles M_w1, . . . ,M_wn! sont clairement disjoints : en eet, supposons que s₁. . . s_n ∈ M_a1...an et ques₁. . . s_n ∈ M_a⁰

1...a⁰n. D'après la dénition (1), pour i < j on a a_i < a_j ⇐⇒s_i < s_j ⇐⇒ a⁰_i < a⁰_j. Comme a₁. . . a_n et a⁰₁. . . a⁰_n sont des permutations, on a forcémenta₁. . . a_n=a⁰₁. . . a⁰_n. Ainsi³ :

F_n=M_w1t · · · tM_wn!.

En eet, il est d'une part clair que tout élément deM_w1t · · · tM_wn! est une suite pleine et que d'autre part sisest suite pleine alorss∈M_B(s), d'après le lemme 3.1. Soitwune permutation telle que i(w)ait exactement k descentes. D'après le théorème 3.2, Card(M_w) = 2^k. Mais le nombre de permutations de [n]ayant exactementk descentes estA(n, k+ 1). On en déduit que :

f(n) =

n−1X

k=0

2^kA(n, k+ 1) = P_n−1

k=02^k+1A(n, k+ 1)

2 = A_n(2)

2 .

¥ Note : On peut prouver (voir [3]) que la fonction génératrice exponentielle def(n) est 1

2−e^x.

Remerciements

Je suis profondément reconnaissant à Federico Ardila et à Richard P. Stanley pour tout leur travail avec moi à la Clay Research Academy 2005 sur les bonnes suites. Je voudrais aussi remercier Federico Ardila, Xavier Caruso, Didier Missenard, Richard P. Stanley et le Clay Mathematics Institute pour leur rôle déterminant dans l'écriture de [1], sans lequel cet article n'aurait jamais vu le jour.

Références

[1] I. Kortchemski, Good Sequences, Bijections and Permutations, Rose-Hulman Undergraduate Ma- thematics Journal, Vol. 6, Issue 2, 2005. http ://www.rose-hulman.edu/mathjournal/v6n2.php [2] R. P. Stanley, Enumerative Combinatorics, vol. 1, Cambridge, England : Cambridge University

Press (1999).

[3] R. P. Stanley, Clay Research Academy Problems 2005, Non publié.

3SiAetB sont deux ensembles disjoints, on noteAtB leur union disjointe.