Le calcul des prédicats

Le calcul des prédicats

Le calcul des prédicats Syntaxe

Formalisation du langage naturel Sémantique

Systèmes de preuves syntaxiques 1. Calcul de Gentzen

2. Résolution

Théorie de l'unication Règles de résolution Propriétés de la résolution

2

Syntaxe : alphabet

Lesconnecteurs →,¬, ∧,∨ Lesquanticateurs ∃,∀

Un ensemble dénombrable devariablesx, y, z, . . . UnesignatureΣ contenant :

Un ensemble dénombrable de symboles de fonction Σ_F ={f, g, h, . . .}, chacun ayant une arité

Un ensemble dénombrable de symboles de prédicats ΣP ={p, q, r, . . .}, chacun ayant une arité

Les termes

Dénition :

Chaque variable xdans X est un terme dans T_Σ,X. Si t₁, . . . , t_n sont de termes etf ∈Σ_F est un symbole de

fonction d'arité n, alorsf(t1, . . . , tn)est un terme dans TΣ,X. Un terme est clos s'il ne contient aucune variable.

Les atomes

Dénition :Un atome est de la forme r(t1, . . . , tn), où pest un symbole de prédicat d'aritén ett1, . . . , tn sont de termes.

Exemple :Si ΣF ={0, S} etΣP ={inf}, alors0 et

S(S(S(x)))sont de termes, 0 etS(S(S(S(0)))) sont de termes clos etinf(0, S(S(S(x)))) est un atome.

5

Les formules

Dénition :

Chaque atome est une formule.

Si A est une formule, alors¬A est une formule.

Si AetB sont deux formules,A→B,A∧B, etA∨B sont de formules.

Si A est une formule etxest une variable, alors ∀x. A et∃x. A sont de formules.

Exemple : ∀x.(enf ant(x)→ ∃y. mere(y, x))

6

Le calcul propositionnel commme un calcul des prédicats

Le calcul propositionnel peut se voir comme un calcul des prédicats sur une signatureΣ t.q.

l'ensemble ΣF est vide

l'ensemble ΣP contient uniquement des prédicats 0-aires, les quanticateurs ne sont pas utilisés

Variables libres et liées

Les variables libres (VI) et liées (VE) d'une formule sont dénies comme suit :

Si A est un atome,V I(A)contient toutes les variables deA, et V E(A)=∅.

Si A=¬B,V I(A)=V I(B)etV E(A)=V E(B). Si A=B#C,V I(A)=V I(B)∪V I(C)et

V E(A)=V E(B)∪V E(C).

Si A=∀x. B ou A=∃x. B,V I(A)=V I(B)\ {x} et V E(A)=V E(B)∪ {x}.

Exemple :Si A=∀x. q(x, f(x, y)) on aV I(A) ={y} et V E(A) ={x}.

Si B=r(x)∨ ∀x. q(x, f(x, y))on a V I(B) ={x, y} et V E(B) ={x}.

Remarque : On suppose que l'on peut toujours renommerles variables liées d'une formule an de l'écrire sous une forme rectiée:

toutes les variables liées d'une formule sont distinctes. On ne peut pas avoir p.e.∀x.∃x. A.

les variables libres et liées d'une formuleAportent de noms distincts, i.e.V I(A)∩V E(A) =∅. On ne peut plus écrire la formule B précédante.

9

À partir de maintenant on travaille uniquement avec de formules rectiées. On verra dans la suite (ou en TD) que cette supposition est correcte.

10

Les substitutions Dénition :

Unesubstitution est une fonction σ:X → TΣ,X. On note {x1/t1, . . . , xn/tn} si σ(xi) =ti pour tout i= 1, . . . , n. L'application d'unesubstitution à un terme est l'extensionde σ

aux termes donnée par σ(f(t₁, . . . , t_n)) =f(σ(t₁), . . . , σ(t_n)). Soientσ et τ deux substitution. La composition de σ avecτ est

donnée parσ◦τ(x) =σ(τ(x)).

Si σ est une substitution, alors la substitutionσ[x:=t]est donnée parσ[x:=t](y) =σ(y)si y 6=xetσ[x:=t](x) =t sinon.

Substitution d'une formule

Soit Σ une signature et X un ensemble de variables.

Dénition : Soitσ={x₁/t₁, . . . , x_n/t_n} une substitution. La substitution d'une formule Apar σ est l'opération qui consiste à remplacer toute occurrence libre de xi dansApar ti. Par

récurrence sur A:

σ(r(t1, . . . , tn)) =r(σ(t1), . . . , σ(tn))

σ(¬B) =¬σ(B) etσ(B#C) =σ(B)#σ(C) A=∀x. B

Si x /∈ {x₁, . . . , x_n}, alorsσ(∀x. B) =∀x. σ(B) Si x=x_i, alors σ(∀x. B) =∀x. σ[x:=x](B). Pareil pour σ(∃x. B)

Formalisation du langage naturel Tous les hommes sont méchants.

∀x.(H(x)→M(x)) Seulement les hommes sont méchants.

∀x.(M(x)→H(x)) Il existe un homme méchant.

∃x.(H(x)∧M(x))

13

Il n'existe pas d'homme méchant.

¬∃x.(H(x)∧M(x)) Il existe un homme qui aime tous les chiens.

∃x.(H(x)∧Aimetousleschiens(x))

Aimetousleschiens(x)≡ ∀y.(Chien(y)→Aime(x, y))

Chaque homme connaît qui la déteste.

∀x.(H(x)→Connaitdeteste(x)) Connaitdeteste(x)≡ ∀y.(D(y, x)→C(x, y))

14

Chaque personne aime quelqu'un etpersonne n'aime tout le mondeou bienquelqu'un aime tout le monde etquelqu'un n'aime personne.

(A1∧B1)∨(A2∧B2)

aimetoutlemonde(x)≡ ∀y. Aime(x, y) aimepersonne(x)≡ ∀y.¬Aime(x, y)

A1 ≡ ∀x.(H(x)→ ∃y. Aime(x, y)) B1≡ ¬∃x.(H(x)∧aimetoutlemonde(x)) A₂ ≡ ∃x.(H(x)∧aimetoutlemonde(x)) B₂≡ ∃x.(H(x)∧aimepersonne(x))

Sémantique du calcul de prédicats

Dénition : L'interprétationd'une signatureΣ est un triplet hD, FD, PDit.q.

Pour chaque f ∈Σ_F d'arité n, il y a une fonction I(f) :Dⁿ→ D dans F_D

Pour chaque p∈ΣP d'arité n, il y a une fonction booléene I(p) :Dⁿ →BOOL

Dénition : SoitI une interprétation pourΣ ayantD comme domaine et soit X un ensemble de variables. Uneassignation ou valuation dansI est une fonction σ:X → D.

Notation : Si σ est une assignation, alors l'assignationσ[x:=d]

vérie σ[x:=d](y) =σ(y)si y 6=xetσ[x:=d](x) =d sinon.

Interprétation d'un terme

Dénition :Soit I une interprétation et soit σ assignation dans I. Alors l'interprétation d'un terme tdans I pour σ, notée [t]I,σ

est dénie par récurrence comme suit : [x]I,σ =σ(x)

[f(t₁, . . . , t_n)]_I,σ =I(f)([t₁]_I,σ. . .[t_n]_I,σ)

Remarque : Lorsque le symbole de fonctionf est 0-aire (d'arité 0), alors I(f) est une fonction constante.

17

Interprétation d'une formule

Dénition : L'interprétation d'une formuleAdans une

interprétation I pour une assignation σ, notée [A]I,σ, est dénie par récurrence comme suit :

[p(t₁, . . . , t_n)]_I,σ =I(p)([t₁]_I,σ. . .[t_n]_I,σ) [¬A]_I,σ =B_¬([A]_I,σ)

[A#B]_I,σ =B_#([A]_I,σ,[B]_I,σ)

18

[∃x. A]_I,σ =

Vs'il existe d∈ D t.q.[A]_I,σ[x:=d]=V F sinon

[∀x. A]I,σ =

Vsi pour tout d∈ D,[A]_I,σ[x:=d]=V F sinon

Remarque : Lorsque le symbole de prédicatpest 0-aire (d'arité 0), alors I(p)est Vou F.

Nouvelles notions de satisablité Dénition :

I satisfait une formule B si pour toute valuationσ dans I, [B]I,σ =V.

I falsie une formule B s'il existe une valuationσ dans I t.q [B]_I,σ =F.

On verra plus tard que pour étudier la satisablité d'une formule on peut se limiter à des interprétations d'une forme particulière.

Rappel : les notions de validité, conséquence logique Dénition :

Uneformule B est valide si toute interprétationI satisfait B. Uneformule B est conséquence logique d'unensemble de

formules∆, noté ∆|=B, si toute interprétation qui satisfait ∆ satisfait aussiB.

Deux formulesAetB sontequivalentes, notéA≡B, ssi {A} |=B et{B} |=A.

21

Quelques exemples de conséquence logique

∃y.∀x. A |= ∀x.∃y. A

∃x.(A∧B) |= ∃x. A∧ ∃x. B

∀x. A∨ ∀x. B |= ∀x.(A∨B)

22

Quelques exemples d'équivalence

∀x. A ≡ ¬∃x.¬A

¬∀x. A ≡ ∃x.¬A

∃x. A ≡ ¬∀x.¬A

¬∃x. A ≡ ∀x.¬A

∀x.(A∧B) ≡ ∀x. A∧ ∀x. B

∃x.(A∨B) ≡ ∃x. A∨ ∃x. B

∃x.(A→B) ≡ ∀x. A→ ∃x. B

∀x.∀y. A ≡ ∀y.∀x. A

∃x.∃y. A ≡ ∃y.∃x. A

D'autres exemples d'équivalence lorsque x /∈V I(A)

∀x. A ≡ ∃x. A ≡A

∀x.(A∧B) ≡ A∧ ∀x. B

∃x.(A∧B) ≡ A∧ ∃x. B

∀x.(A∨B) ≡ A∨ ∀x. B

∃x.(A∨B) ≡ A∨ ∃x. B

∃x.(A→B) ≡ A→ ∃x. B

∀x.(A→B) ≡ A→ ∀x. B

∃x.(B →A) ≡ ∀x. B →A

∀x.(B →A) ≡ ∃x. B →A