CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT :

(1)

IPSA | DS de transfert thermique n° 2 du 3 décembre 2020

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Numéro :

SUJET D’EXAMEN Année universitaire 2020-2021 Classe : Aéro-3

Type d’examen : DS 2 Matière : Transfert thermique Code matière : En 311

Date : 03 décembre 2020 Horaire :

Durée : 1 h

Enseignant : Bouguechal / Gomit / Kasraoui

Documents autorisés : NON. Formulaire à la fin du document.

Calculatrices autorisées.

CADRE RÉSERVÉ A L’ENSEIGNANT :

Si au cours de l’épreuve, vous repérez ce qui vous parait être une erreur ou un oubli dans l’énoncé, vous le signalez clairement dans votre copie et vous poursuivez l’examen en proposant une solution.

Le barème est donné à titre indicatif.

Un formulaire est fourni à la fin du document.

Rédigez directement sur la copie.

Il sera tenu compte du soin apporté à la rédaction.

Exercice 1 : /12 Exercice 2 : /08 Formulaire.

CADRE RÉSERVÉ A L’ETUDIANT(E) :

Merci de compléter ce cadre et votre numéro en haut de page à gauche :

NOM : Prénom : Classe :

/20

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2/11

Exercice 1 : Etude des pertes thermiques dans une paroi composite (12 points)

Une paroi simple de surface S = 15,50 m² sépare deux milieux, l’un intérieur à la température θi = 20°C et l’autre extérieur à la température θe= -10°C, d’épaisseur eb =15 cm, constituée de béton de conductivité thermique λb = 1,75 W.m^-1. K^-1.

Les coefficients d’échange convectifs sont respectivement pour l’intérieur et pour l’extérieur :

hi = 9,0 W.m^-2.K^-1 ; h e = 16,5 W.m^-2.K^-1.

On appellera respectivement θsi et θse les températures de surface pour l’intérieur et pour l’extérieur de la paroi.

.

A. Partie une : Paroi simple

1) Compléter la figure ci-dessus en y mettant toutes les données.

2) Représenter le schéma électrique détaillé équivalent.

3) Déterminer la valeur de chaque résistance thermique et en déduire la résistance totale.

4) Déterminer le flux thermique Φ traversant cette paroi simple ainsi que la densité de flux thermique φ.

5) Déterminer les températures de surface, respectivement θsi pour l’intérieur et θse pour l’extérieur.

6) Déterminer l’énergie E1 en kWh perdue par cette paroi pendant 24 h.

Que faut-il faire pour réduire les pertes thermiques à travers cette paroi ? B. Partie deux : Paroi composite

eb = 15 cm

hi = 9,0 W.m^-2.K^-1 h e = 16,5 W.m^-2.K^-1

θe= -10°C θi = 20°C

λb = 1,75 W.m -1. K -1

θsi

θse

(3)

3/11

On ajoute à la paroi simple une plaque de polystyrène d’épaisseur e^p = 4cm, de conductivité thermique λp = 0,047 W.m^-1. K^-1 côté intérieur.

Les températures intérieures et extérieures étant toujours égales à 20°C et -10°C, et les coefficients d’échanges superficiels hi et h^eà 9,0 W.m^-2.K^-1 et 16,5 W.m^-2.K^-1respectivement.

1) Déterminer la résistance thermique totale et la calculer.

2) Déterminer le flux thermique Φ traversant cette paroi simple ainsi que la densité de flux thermique φ.

3) Déterminer les températures de surface, respectivement θsi pour l’intérieur et θse

pour l’extérieur.

4) Déterminer l’énergie E2 en kWh perdue par cette paroi pendant 24 h.

C. Partie trois : Conclusion

1) Calculer le rapport des deux énergies perdues E1/E2.

2) Sachant que le prix du kWh est de 0,15 €, calculer la dépense dans les deux cas.

Conclusion.

Exercice 1 : Etude des pertes thermiques dans une paroi composite (Solution) A. Partie une : Paroi simple

1) Voir figure 2) Schéma électrique

3) Calcul des résistances thermiques : 𝑹_𝒕𝒉𝟏 = ^𝟏

𝒉_𝒊𝑺= ^𝟏

𝟗,𝟎∗𝟏𝟓,𝟓𝟎= 𝟕, 𝟏𝟕 𝟏𝟎^−𝟑 °𝑪 𝑾⁄

𝑹_𝒕𝒉𝟐 = 𝒆_𝒃

𝝀_𝒃𝑺= 𝟏𝟓, 𝟎. 𝟏𝟎^−𝟐

𝟏, 𝟕𝟓 ∗ 𝟏𝟓, 𝟓𝟎=𝟓, 𝟓𝟑 𝟏𝟎^−𝟑°𝑪

⁄𝑾

𝑹_𝒕𝒉𝟑 = 𝟏

𝒉_𝒆𝑺= 𝟏

𝟏𝟔, 𝟓 ∗ 𝟏𝟓, 𝟓𝟎= 𝟑, 𝟗𝟏 𝟏𝟎^−𝟑 °𝑪 𝑾⁄

𝑹_𝑻= 𝑹_𝒕𝒉𝟏+ 𝑹_𝒕𝒉𝟐+ 𝑹_𝒕𝒉𝟑 = (𝟕, 𝟏𝟕 + 𝟓, 𝟓𝟑 + 𝟑, 𝟗𝟏) 𝟏𝟎^−𝟑

𝑹

_𝑻

= 𝟏𝟔, 𝟔𝟐 𝟏𝟎

^−𝟑

°𝑪 𝑾 ⁄

4) Flux thermique

𝚽 = 𝚫𝑻/𝑹 = 𝜽_𝒊− 𝜽_𝒆

𝑹_𝑻 =𝟐𝟎 − (−𝟏𝟎)

𝟏𝟔, 𝟔𝟐 𝟏𝟎^−𝟑 =𝟏𝟖𝟎𝟓 𝑾

R

th2

R

th3

R

th1

θ

i

θ

si

θ

se

θ

e

Φ Φ

0.5

0.5 **0.25*2**

**0.252 0.252**

**0.25*2**

(4)

4/11 𝝋 = 𝜱

𝑺 = 𝟏𝟏𝟔, 𝟒𝟔 𝑾/𝒎

^𝟐

5) Température à la surface de la paroi

𝚽 =𝚫𝜽

𝑹 =𝜽_𝒊− 𝜽_𝒆

𝑹_𝑻 = 𝜽_𝒊− 𝜽_𝒔𝒊

𝑹_𝒕𝒉𝟏 =𝜽_𝒔𝒊− 𝜽_𝒔𝒆

𝑹_𝒕𝒉𝟐 =𝜽_𝒔𝒆− 𝜽_𝒆 𝑹_𝒕𝒉𝟑 𝚽 =𝚫𝜽

𝑹 = 𝜽_𝒊− 𝜽_𝒔𝒊 𝑹_𝒕𝒉𝟏 𝜽_𝒔𝒊= 𝜽_𝒊− 𝑹_𝒕𝒉𝟏𝚽 𝜽_𝒔𝒊 = 𝟐𝟎 − 𝟕, 𝟏𝟕 𝟏𝟎^−𝟑∗ 𝟏𝟖𝟎𝟓

𝛉_𝐬𝐢 = 𝟕, 𝟎𝟔 °𝐂 𝚽 =𝚫𝜽

𝑹 =𝜽_𝒔𝒆− 𝜽_𝒆 𝑹_𝒕𝒉𝟑 𝜽_𝒔𝒆= 𝜽_𝒆+ 𝑹_𝒕𝒉𝟑𝚽

𝜽_𝒔𝒆= −𝟏𝟎 + 𝟑, 𝟗𝟏 𝟏𝟎^−𝟑∗ 𝟏𝟖𝟎𝟓 𝛉_𝐬𝐞 = −𝟐, 𝟗𝟒 °𝐂

6) 𝑷 = 𝚽 =^𝑬

𝒕 et donc l’énergie perdue par cette cloison en 24 h est égale à 𝐸₁ = 𝑃 ∗ 𝑡 = Φ ∗ t ⟹ E₁ = 1,805 ∗ 24 =𝟒𝟑, 𝟑𝟐 𝐤𝐖𝐡

Il faut isoler pour diminuer les déperditions.

B. Partie deux : Paroi composite 1) Calcul de la résistance de l’isolant : 𝑹_{𝒕𝒉 𝒑} = 𝒆_𝒑

𝝀_𝒑𝑺= 𝟒, 𝟎. 𝟏𝟎^−𝟐

𝟎, 𝟎𝟒𝟕 ∗ 𝟏𝟓, 𝟓𝟎=𝟓𝟒, 𝟗𝟏 𝟏𝟎^−𝟑°𝑪

⁄𝑾

La résistance totale est égale à la résistance calculée dans la partie une + la résistance de l’isolant

𝑹

_𝑻

= (𝟏𝟔, 𝟔𝟐 + 𝟓𝟒, 𝟗𝟏) 𝟏𝟎

^−𝟑

= 𝟕𝟏, 𝟓𝟑 𝟏𝟎

^−𝟑

°𝑪 𝑾 ⁄

2) Flux thermique

𝚽 = 𝚫𝑻/𝑹 =𝜽_𝒊− 𝜽_𝒆

𝑹_𝑻 =𝟐𝟎 − (−𝟏𝟎)

𝟕𝟏, 𝟓𝟑 𝟏𝟎^−𝟑 = 𝟒𝟏𝟗, 𝟒 𝑾

𝝋 = 𝜱

𝑺 = 𝟐𝟕, 𝟎𝟔 𝑾/𝒎

^𝟐

3) Température à la surface interne et externe

𝚽 =𝜽_𝒊− 𝜽_𝒔𝒊 𝑹_𝒕𝒉𝟏 𝜽_𝒔𝒊= 𝜽_𝒊− 𝑹_𝒕𝒉𝟏𝚽

𝜽_𝒔𝒊 = 𝟐𝟎 − 𝟕, 𝟏𝟕 𝟏𝟎^−𝟑∗ 𝟒𝟏𝟗, 𝟒 = 𝟏𝟔, 𝟗𝟗 °𝒄

𝚽 =𝚫𝜽

𝑹 =𝜽_𝒔𝒆− 𝜽_𝒆 𝑹_𝒕𝒉𝟑 𝜽_𝒔𝒆= 𝜽_𝒆+ 𝑹_𝒕𝒉𝟑𝚽

𝜽_𝒔𝒆= −𝟏𝟎 + 𝟑, 𝟗𝟏 𝟏𝟎^−𝟑∗ 𝟒𝟏𝟗, 𝟒 𝛉_𝐬𝐞 = −𝟖, 𝟑𝟔 °𝐂

4) Energie perdue E2. 𝑷 = 𝚽 =^𝑬

𝒕 et donc l’énergie perdue par cette cloison en 24 h est égale à 𝐸₂ = 𝑃 ∗ 𝑡 = Φ ∗ t ⟹ E = 0,419 ∗ 24 = 𝟏𝟎, 𝟎𝟔 𝐤𝐖𝐡

**0.25*2**

**0.5*2**

0.5 **0.25*2**

**0.252 0.252**

**0.50*2**

0.5 **0.25*2**

**0.50*2**

(5)

5/11

C. Partie trois : Conclusion 1) Rapport des énergies

E₁

𝐸₂ =𝟒𝟑, 𝟑𝟐

𝟏𝟎, 𝟎𝟔 = 𝟒, 𝟑 2) 1^er cas : 𝟒𝟑, 𝟑𝟐 𝐤𝐖𝐡 ∗𝟎, 𝟏𝟓 €/𝐤𝐖𝐡 = 𝟔, 𝟓 €

2^ème cas : 𝟏𝟎, 𝟎𝟔 𝐤𝐖𝐡 ∗𝟎, 𝟏𝟓 €/𝐤𝐖𝐡 = 𝟏, 𝟓 €

0.5

(6)

6/11

Exercice 2 : Conduction dans une sphère avec source de chaleur (10 points )

Une sphère de rayon R et de conductivité λ est le siège d’une source de chaleur répartie uniformément sur tout le volume. On note 𝑸̇_𝑽 la puissance volumique de cette source (W/m³). La sphère échange avec l’extérieur par convection, le coefficient de transfert de la chaleur par convection est noté h, La température loin de la sphère est notée TE.

a) Déterminer l’expression du profil de température dans la sphère. On détaillera les calculs.

b) Afin de déterminer les deux constantes qui apparaissent dans le profil de température, on utilise les deux conditions aux frontières suivantes :

✓ En r = 0, la température doit être finie.

✓ En r = R, La chaleur qui arrive par conduction à la surface est cédé à l’extérieur par convection.

Déterminer ces deux constantes.

c) Ecrire l’expression de la température dans la sphère sous forme simplifiée.

d) Déterminer la température à la surface de la sphère.

e) Déterminer la température au centre de la sphère.

f) Donner l’allure de la température en fonction de r.

Exercice 2 : Conduction dans une sphère avec source de chaleur ( Réponse ) a) Expression du profil de température

L’équation de la chaleur avec source s’écrit :

𝚫𝑻 + 𝑸̇

_𝑽

𝝀 = 𝟎

Le Laplacien en coordonnées sphériques est donné par :

𝚫𝐓 = 𝟏 𝒓

^𝟐

𝝏

𝝏𝒓 (𝒓

^𝟐

𝝏𝑻

𝝏𝒓 ) 𝟏

𝒓

^𝟐

𝝏

𝝏𝒓 (𝒓

^𝟐

𝝏𝑻

𝝏𝒓 ) + 𝑸̇

_𝑽

𝝀 = 𝟎 𝟏

𝒓

^𝟐

𝝏

𝝏𝒓 (𝒓

^𝟐

𝝏𝑻

𝝏𝒓 ) = − 𝑸̇

_𝑽

𝝀

𝝏

𝝏𝒓 (𝒓

^𝟐

𝝏𝑻

𝝏𝒓 ) = − 𝑸̇

_𝑽

𝝀 𝒓

^𝟐

𝒓

^𝟐

𝝏𝑻

𝝏𝒓 = − 𝑸̇

_𝑽

𝝀

𝒓

^𝟑

𝟑 + 𝒂

R

𝑸̇

_𝑽

λ

h

T

E

0.5

(7)

7/11

𝝏𝑻

𝝏𝒓 = − 𝑸̇

_𝑽

𝝀

𝒓

^𝟑

𝟑𝒓

^𝟐

+ 𝒂

𝒓

^𝟐

= − 𝑸̇

_𝑽

𝟑𝝀 𝒓 + 𝒂 𝒓

^𝟐

𝑻(𝒓) = −

^𝑸̇^𝑽

𝟔𝝀

𝒓

^𝟐

−

^𝒂

𝒓

+ 𝒃

a) En r = 0, la température doit garder une valeur finie.

𝒂 = 𝟎

En r = R

−𝝀𝑺 (

^𝝏𝑻

𝝏𝒓

)

𝒓=𝑹

= 𝒉𝑺 (𝑻(𝒓 = 𝑹) − 𝑻

_𝑬

)

−𝝀𝑺 [− 𝑸̇

_𝑽

𝟑𝝀 𝑹] = 𝒉𝑺 (− 𝑸̇

_𝑽

𝟔𝝀 𝑹

^𝟐

+ 𝒃 − 𝑻

_𝑬

)

𝒃 = 𝑸̇

_𝑽

𝟔𝝀 𝑹

^𝟐

+ 𝑸̇

_𝑽

𝟑𝒉 𝑹 + +𝑻

_𝑬

b) Expression de la température

𝑻(𝒓) = − 𝑸̇

_𝑽

𝟔𝝀 𝒓

^𝟐

+ 𝝀 𝒉 [ 𝑸̇

_𝑽

𝟑𝝀 𝑹] + 𝑸̇

_𝑽

𝟔𝝀 𝑹

^𝟐

+ 𝑻

_𝑬

𝑻(𝒓) = − 𝑸̇

_𝑽

𝟔𝝀 (𝒓

^𝟐

− 𝑹

^𝟐

) + 𝑸̇

_𝑽

𝟑𝒉 𝑹 + 𝑻

_𝑬

c) Expression de la température en r = R

𝑻(𝒓 = 𝑹) = 𝑸̇

_𝑽

𝟑𝒉 𝑹 + 𝑻

_𝑬

d) Température au centre de la sphère

𝑻(𝒓 = 𝟎) = 𝑸̇

_𝑽

𝟔𝝀 𝑹

^𝟐

+ 𝑸̇

_𝑽

𝟑𝒉 𝑹 + 𝑻

_𝑬

e) Allure parabole

**0.5*2 0.5**

0.5 **0.5*2**

**0.5*2**

*2

**0.5*2**

0 R r

𝑻(𝒓 = 𝟎)

𝑻(𝒓 )

𝑻(𝒓 = 𝑹)

(8)

8/11

(9)

9/11

(10)

10/11

(11)

11/11 FORMULAIRE

Formules de transfert thermique

Conduction et convection Flux de conduction (Loi de Fourier)

𝚽 = −𝝀 𝑺 𝝏𝑻

𝝏𝒙 Densité de flux de conduction (Loi de

Fourier) 𝛗 = −𝝀 𝝏𝑻

𝝏𝒙 Flux de convection (Loi de Newton) 𝚽 = 𝒉 𝑺 (𝑻 − 𝑻

_𝒇

) Densité de flux de convection (Loi de

Newton)

𝛗 = 𝒉 (𝑻 − 𝑻

_𝒇

) Résistance thermique de conduction d’une

paroi d’épaisseur e 𝑹 = 𝒆

𝝀 𝑺 Résistance de convection

𝑹 = 𝟏 𝒉 𝑺 Flux de chaleur

Densité de flux

𝚽 = 𝚫𝑻 𝑹 𝛗 = 𝚫𝑻

𝑹𝑺 Equation de la chaleur sans source 𝚫𝑻 = 𝟎 Equation de la chaleur avec source

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