L.S.Marsa Elriadh
Epreuve 6
M : Zribi
4
èmeSc
Révision1/3
09/10
Exercice 1 :
Pour chaque question une seule réponse est exacte. Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal (O i j k; , , ), on donne le point S(1 ; −2 ; 0) et le plan P d’équation
3 4 0
x y z .
1. Une représentation paramétrique de la droite (D) passant par le point S et perpendiculaire au plan P est :
A :
1 1 2
3
x t
y t
z
B :
2 1 1 3
x t
y t
z t
C :
1 2 2 3
x t
y t
z t
D :
2 1 3 3
x t
y t
z t
(t réel).
2. Les coordonnées du point d’intersection H de la droite( D) avec le plan P sont : A : (−4 ; 0 ; 0) B : 6; 9; 3
5 5 5
C : 7; 2 1;
9 3 3
D : 8 ; 25; 9
11 11 11
3. La distance du point S au plan P est égale à : A : 11
3 B : 3
11 C : 9
11 D : 9
11
4. On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L’intersection de la sphère S et du plan P est égale :
A : au point I(1 ; −5 ; 0) B : au cercle de centre H et de rayon
3 10 r 11
C : au cercle de centre S et de rayon 2 D : au cercle de centre H et de rayon
3 10 r 11
Exercice 2:
On considère le polynôme P défini par : P(z) = z4 – 6z3 + 24 z2 – 18z + 63.
1°) Calculer P(i 3) et P(–i 3), puis montrer qu’il existe un polynôme Q du second degré à coefficients réels, que l’on déterminera, tel que, pour tout zC, on ait :
P(z) = (z2 + 3) Q(z).
2°) Résoudre dans C l’équation P(z) = 0.
3°) Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal (O ; u v
, ), on considère les points A et d’affixes respectives zA = i 3 et z = –3.
On construit les points :
B symétrique de A par rapport à l’axe des réels,
C image de A par l’homothétie de centre et de rapport 2,
D image de C par la translation de vecteur 2AB.
L.S.Marsa Elriadh
Epreuve 6
M : Zribi
4
èmeSc
Révision2/3
09/10
a) Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure.
b) Déterminer les affixes zB, zC et zD des points B, C et D.
c) Démontrer que le triangle ACD est rectangle en A.
d) Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle.
4°) On note E le symétrique de D par rapport à O. Montrer que :
3 B E
B C
i
z e z
z
z
puis déterminer la nature du triangle BEC.
Exercice 3 :
On considère les deux suites (un) et (vn) définies, pour tout entier naturel n, par : u0 = 3 et un+1 =
2
n
n v
u
; v0 = 4 et vn+1 = 2
1 n
n v
u . 1°) Calculer u1, v1, u2 et v2.
2°) Soit la suite (wn) définie, pour tout entier naturel n, par : wn = vn – un.
a) Montrer que la suite (wn) est une suite géométrique de raison 4 1. b) Exprimer wn en fonction de n et préciser la limite de la suite (wn).
3°) Après avoir étudié le sens de variation des suites (un) et (vn), démontrer que ces suites sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?
4°) On considère à présent la suite (tn) définie, pour tout entier naturel n, par : tn =
3 2 n
n v
u .
a) Démontrer que la suite (tn) est constante.
b) En déduire la limite des suites (un) et (vn).
L.S.Marsa Elriadh
Epreuve 6
M : Zribi
4
èmeSc
Révision3/3
09/10
Exercice 4 :
Soit f la fonction numérique de la variable réelle x définie sur R* par : 1
) 2
( xx e x e x
f .
On désigne par (C) sa courbe représentative dans le repère orthonormal (O,i j
, ), l’unité est le centimètre.
1) Démontrer que le point I(0 ; -1) est centre de symétrie de (C).
Que peut-on en déduire pour l’étude de la fonction ? 2) Calculer les limites de f en 0 et +.
3) Montrer que la droite d’équation y = x – 2 est asymptote à (C) en +.
Préciser la position de (C) par rapport à .
En déduire une équation de l’asymptote à (C) en –.
4) Etudier les variations de f.
5) Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution réelle sur ]0 ; +[ . 6) Tracer (C) ainsi que ses asymptotes.
7) Calculer l’aire du domaine limité par (C), l’axe des ordonnées et les droites x=1 et x=2.
