L.S Marsa.Elriadh
Série 51
Mr Zribi3 ème Maths Exercices
Exercice 1:
1/ soit la fonction définie sur ]- , [ par:
1 cos x
f ( x ) si x 0
sin x f ( 0 ) 0
a) étudier la continuité de f en 0.
b) Montrer que f est dérivable sur ]- , [.
2/ a) calculer f'(x) puis étudier son signe sur ]- , [.
b) déterminer
x x
lim f ( x ) et lim f ( x )
puis dresser le tableau de
variations de f.
Exercice 2:
soit la fonction f définie par:
2 2 cos 2s
f ( x ) cos x si x
cos x 2
f ( ) 2 2
1/ déterminer le domaine de définition de la fonction f.
2/ étudier la continuité de f en 2
.
3/ la droite d'équation y= -x+2+
2
est-elle la tangente à la courbe
représentative de g à gauche en 2
.
Exercice 3:
Soit u(x)= 1+cosx- 3sinx.
1/ chercher r et tel que u(x)=rcos(x+ )+1.
2/ étudier le signe de (x) sur [0,2 ].
3/ soit f la fonction définie par f(x)= 1 u( x ). a) déterminer le domaine de définition de f.
b) étudier le sens de variations de f sur ]0,2 [-{ }.
4/ calculer
x x
3
lim f ( x ) et lim f ( x )
5/ déterminer les extremums de f.
6/ déterminer le signe de f.
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Exercice 1 :
Soit g la fonction définie sur IR par g(x)=cos2x-2cosx+1.
1) montrer que g(x)=2cosx(cosx-1).
2) Soit f la fonction définie par
( ) ² , {0}
( ) 2 2
(0) 1
f x x si x
g x f
a) étudier la continuité de f en 0.
b) Etudier la dérivabilité de f en 0.
3) soit h la fonction définie sur [0,] par h(x)=1
2sin2x-2sinx+x.
a) déterminer la période de h et en déduire son domaine d’étude . b) dresser le tableau de variations de h.
c) tracer la courbe de h.
Exercice 2:
Soit f la fonction définie sur [-, [ 3
par
¨ ( ) sin 0
sin 3 cos 3
(0)
f x x si x
x x
f a
1) déterminer a pour que f soit continue en 0.
2) On prend dans la suite a=1.
a) montrer que f est dérivable en 0 et calculer f’(0).
b) Etudier la dérivabilité de f en
3
. 3) dresser le tableau de variations de f.
4) tracer la courbe de f.
Exercice 3:
on considère la fonction h(x)=x-sinx.
1) étudier la parité de h puis les variations de h sur [-,] ; en déduire le signe de h(x) pour x [-,].
2) Soit k(x)=1 ² 1 cos
2x x ; x[-,]. Dresser le tableau de variations de k.
c) prouver que cosx≥ 1-1
2x² ; pour x[-,].
3)soit la fonction f définie sur [ , 2 2
] par f(x)=sinx 1 cos 2
sin x x
si x≠0 et f(0)= 2.
a) étudier la continuité de f en 0.
b) étudier la dérivabilité de f en 0
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exercice :
soit la fonction f définie par f(x)= cos 2
(1 sin )² x
x , on désigne par sa courbe représentative.
1) déterminer le domaine de définition de f.
2) a) montrer que la droite :x=
2
est un axe de symétrie de . b) en déduire qu’il suffit d’étudier f sur ]- ,
2 2
].
3) a) montrer que f est dérivable sur Df et que f’(x)= 2 cos (1 2sin )3 (1 sin )
x x
x
.
b) dresser le tableau de variation de f sur DE. 4) a) calculer (0); ( ) ( )
4 4
f f et f
. b) tracer .
5) soit g(x)=f(x+
2
)+1 ; on désigne par ’ sa courbe ;montrer que ’ est l’image de par une translation que l’on précisera.
Exercice :
On considère la fonction f définie sur IR par f(x)=cos(x-
6
), on désigne par sa courbe dans un repère ( , , )O i j .
1) a) donner la période de f.
c) montrer que la droite x=7
6
un axe de symétrie de .
d) déterminer le point d’inflexion I de dont l’abscisse est un élément de [ ,7
6 6
].
e) Déterminer une équation cartésienne de la tangente à en I.
f) Montrer que I est un centre de symétrie pour . 2) dresser le tableau de variations de f sur [ ,2
6 3
], puis construire .
3) Soit la fonction g définie sur [0,] par
2 cos(2 ) 1
¨ ( ) 3
2(2 cos( ) 1) 2 6 ( ) 1
2
x
g x si x
x g
a) montrer qu’il existe une constante réelle a que l’on déterminera telle que g(x)=f(x)+a ; pour x[0,].
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b) Construire la courbe ’ de g dans ( , , )O i j
