Partie II. Cercles de Ford.

(1)

MPSI B 2008-2009 Énoncé du DM 7 29 juin 2019

Problème 1

Un sous groupe (additif) de (R,+) est une partie deRcontenant 0 et stable pour l'ad- dition et la symétrisation. Autrement dit,G⊂Rest un sous-groupe si et seulement si

0∈G, ∀(x, y)∈G²:x+y∈G, ∀x∈G:−x∈G

Cela entraîne en particulier que pour tout x ∈ G et n ∈ Z, ng ∈ G car il peut s'écrire comme une somme dexou de−x.

SoientAet B deux parties deR. On dit queAest dense dansB si et seulement si

∀b∈B,∀ε >0 : ]b−ε, b+ε[ ∩ A6=∅

SoitGun sous groupe de (R,+), on dira queGest discret si et seulement si

∃α >0 tel que G∩]0, α[=∅

L'objet de ce problème est d'étudier les sous-groupes additifs deR. Dans toute la suite,G désigne un tel sous-groupe.

1. Formuler une proposition traduisant que Gn'est pas discret. Montrer que si Gn'est pas discret alors :

∀x∈R,∀α >0, G∩[x, x+α[6=∅

2. Dans cette question, on suppose que G 6= {0} est discret. Il existe alors un réel α strictement positif tel queG∩ ]0, α[ =∅.

a. SoitIun intervalle de longueur ^α₂. Montrer queG∩Icontient au plus un élément.

Que peut-on en déduire pour l'intersection deGavec un intervalle quelconque de longueur nie ?

b. Montrer queG∩R^∗+ admet un plus petit élément que l'on noteram. c. Montrer queG={km, k∈Z}. Un tel ensemble sera notéZm 3. Soitxet ydeux réels strictement positifs, on pose

X=Zx={kx, k∈Z}, Y =Zy={ky, k∈Z}, S=

mx+ny,(m, n)∈Z² a. Vérier que X, Y et S sont des sous-groupes de (R,+). On dira que X est le

sous-groupe engendré parx, queY est le sous-groupe engendré par y et que S est le sous-groupe engendré parxet y.

b. Montrer queS est discret si et seulement si ^x_y ∈Q.

4. Soitxety deux réels strictement positifs, tels que ^x_y ∈/ Q. Notons A={kx, k∈Z^∗}, B={ky, k∈Z^∗}.

a. Montrer queA∩B =∅. b. Montrer que

inf{|a−b|,(a, b)∈A×B}= 0.

5. En considérant un certain sous-groupe additif et en admettant queπ est irrationnel, montrer que{cosn, n∈Z} est dense dans[−1,1].

Problème 2 (facultatif) Notations

Le représentant irréductible d'un nombre rationnelxest une fraction ^p_q telle que x= ^p_q avecp∈Z,q∈N^∗,petq sans diviseur commun. On dira alors quepest le numérateur et qle dénominateur dex.

On convient que ⁰₁ est le représentant irréductible de 0et ¹₁ celui de1.

Si ^p_q et ^p_q⁰0 sont des représentants irréductibles de nombres rationnels, on dénit le médian de ces nombres (notéµ(^p_q,^p_q0⁰)) en posant

µ(p q,p⁰

q⁰) =p+p⁰ q+q⁰

Question préliminaire

Montrer que ^p_q <^p_q⁰0 entraine ^p_q < µ(^p_q,^p_q⁰0)<^p_q⁰0

Partie I. Médians et suites de Farey

Pour tout entiern, on dénit par récurrence un ensembleM_n de la manière suivante : M0={0,1}

Mn+1 s'obtient à partir de Mn en ajoutant le médian entre deux termes consé- cutifs.

Par exemple

M1=

0,1 2,1

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M0807E

(2)

On dénit aussi (pour tout entier n) l'ensemble Fn des rationnels écrits sous forme irré- ductible par :

p

q ∈ Fn ⇔0≤p≤q≤n

1. a. PréciserM2,M3,M4 et les 10 premiers éléments deM5.

b. Dans chacune des listes précédentes, pour chaqueM_icorrespondant, entourer les éléments deF_i−1.

c. Quel est le nombre d'éléments deMn?

2. Soient ^p_q, ^p_q⁰0, ^p_q⁰⁰00 des représentants irréductibles de nombres rationnels tels que p⁰q− pq⁰= 1.

a. Montrer que

p q < p⁰⁰

q⁰⁰ <p⁰

q⁰ ⇒q+q⁰≤q⁰⁰ b. Soitn≥max(q, q⁰), montrer que si

p q,p⁰

q⁰

∩ Fn=∅

c'est à dire ^p_q et ^p_q⁰0 sont consécutifs dansFn, alors p

q,p⁰ q⁰

∩ Fn+1⊂

µ(p q,p⁰

q⁰)

3. Soitx < ydeux éléments consécutifs deFn+1. a. Montrer quex6∈ Fn et y6∈ Fn est impossible.

b. Montrer que si x∈ Fn et y ∈ Fn+1, il existe alorsz ∈ Fn tel que xet z soient consécutifs dansFn ety=µ(x, z). Quels sont les autres cas possibles ?

4. Montrer la proposition suivante notéePn pour tout entiern≥2. Soitx < ydeux éléments consécutifs deFn :

il existe un entieri < ntel quexety sont consécutifs dansM_i x=^p_q etx= ^p_q⁰0 entrainep⁰q−pq⁰ = 1

On peut remarquer que cela entraineF_n ⊂ M_n−1. 5. Soient ^p_q et ^p_q⁰0 consécutifs dansFn.

a. Montrer que ^p_q et ^p_q⁰⁰ sont consécutifs dans tous lesFrtels que max(q, q⁰)≤r≤q+q⁰−1

b. Montrer que

p q,p⁰

q⁰

∩ Fq+q⁰ =

µ(p q,p⁰

q⁰)

6. Soient ^p_q et ^p_q⁰0 tels quep⁰q−pq⁰ = 1, montrer qu'ils sont consécutifs dans tous lesFr

pour

max(q, q⁰)≤r≤q+q⁰−1

Partie II. Cercles de Ford.

SoitC un cercle de centreC de coordonnées(x, y)et C⁰ un cercle de centre C⁰ de coor- données(x⁰, y⁰). On pourra utiliser queCetC⁰sont tangents si et seulement siCC⁰=r+r⁰ c'est à dire

(x−x⁰)²+ (y−y⁰)²= (r+r⁰)²

On s'intéresse aux cercles tangents à l'axe desxet situés au dessous de cet axe. Siuest l'abcisse du point de contact et sirest le rayon du cercle alors les coordonnées du centre sont(u,−r).

On dira qu'un tel cercle est un cercle de Ford.

Plus particulièrement, si ^p_q est le représentant irréductible d'un nombre rationnelx, le cercle Cxest déni par son centre et son rayonle cercle de centre de coordonnées

centreCx: p

q,−1 q²

, rayon : 1 2q²

Dans cette partie, ^p_q et ^p_q0⁰ avec ^p_q < ^p_q⁰0 sont les représentants irréductibles de deux nombres rationnels.

1. Donner une condition nécessaire et susante assurant queC^p

q et Cp0

q0 sont tangents.

2. Préciser les cercles de Ford tangents àC^p

q et Cp0

q0 (donner les coordonnées du centre) 3. On suppose queC^p

q etCp0

q0 sont tangents, préciser le cercle de Ford tangent àC^p

q etCp0 q0

et dont le point de contact avec l'axe desxest entre ^p_q et ^p_q⁰0. 4. Comment se présentent les cerclesCx pourx∈ Fn?

Partie III. Approximation de Dirichlet

Soitxun nombre irrationnel etQun entier naturel non nul. En considérant les approxi- mations par excès et par défaut de x dans FQ, montrer qu'il existe un rationnel ^a_q tel

(3)

que

q≤Qet

x−a q

≤ 1

q(Q+ 1)