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BTSA 2006 / Options : TV, PH, PA, IAA, GF, VO, TC, SER, GPN
CORRECTION DE L’ÉPREUVE A DU DEUXIÈME GROUPE
EXERCICE 1
1. On construit le nuage de points de la série (x ;i yi) dans un plan muni d’un repère orthogonal.
2. On donne une équation de la droite d’ajustement de Y en X obtenue à l’aide la méthode des moindres carrés :
755 , 59 214 ,
1 −
≈ X
Y
(L’occasion nous est donnée avec cette correction de rappeler qu’avec un tableur, il est rapide d’obtenir cette équation à partir du nuage de points : par exemple avec Excel effectuer un clic droit sur l’un des points du nuage, choisir Ajouter une courbe de tendance avec le type linéaire et l’option afficher l’équation sur le graphique. Ce qui donne :
Par ailleurs l’utilisation de l’Utilitaire d’analyse (Macro complémentaire des Outils d’Excel) ou encore la fonction DROITEREG donnent également les coefficients de cette équation.
3. Étude des résidus
a. Les résidus e sont définis par i ei = yi −yˆi où yˆ est la valeur estimée dei y à i partir de l’équation de la droite de régression. On effectue donc les calculs :
) 755 , 59 214 , 1
( −
−
= i i
i y x
e . Cela donne le tableau :
Nuage de points
15 20 25 30 35 40 45 50
60 70 80 90
X Y
Droite d'ajustement de Y en X
y = 1,214x - 59,755
15 20 25 30 35 40 45 50
60 70 80 90
X Y
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xi yi ei
65 22 2,8
67 19 -2,6
69 22 -2,0
70 28 2,8
72 27 -0,7
76 30 -2,5
77 35 1,3
80 33 -4,4
81 39 0,4
81 43 4,4
86 45 0,4
89 48 -0,3
b. Représentation graphique des résidus :
4. Étude de la variance résiduelle
a. On détermine Vres.Ce verbe d’action ne sous-entend pas l’utilisation d’un calcul et donc sous-entend que l’étudiant a pu directement donner la valeur extraite du menu de statistique de sa calculatrice
17 , 6 )² 483053676 ,
2 ( )²
( = ≈
= res
Vres σ . Nous donnerons cependant le calcul car
il est dit en préambule à cette épreuve : « Il sera tenu le plus grand compte lors de la correction du soin apporté à la justification des raisonnements et des calculs effectués… ».
)² 12 (
12
1 2
e e
V i
i
res = ∑ −
= soit
2
12 033 , 0 12
74
−
−
res =
V ce qui donne : Vres ≈6,17. Aucune précision sur l’arrondi n’était donnée.
Remarque importante : Les calculs avec les valeurs non arrondies donnerait bien sûr e =0 et ∑ei2 =73.84 alors Vres ≈6,15.
Représentation graphique des résidus
-6 -4 -2 0 2 4 6
60 70 80 90
X E
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b. Mêmes remarques pour la variance de Y : )²
12 (
12
1 2
y y
V i
i
Y = ∑ −
= soit ²
12 391 12
13755
−
Y =
V ce qui donne : VY ≈84,58.
c. 84,58
17 ,
= 6
Y res
V
V soit : ≈0,07
Y res
V
V . La condition de pertinence de l’ajustement,
3 ,
<0
Y res
V
V est donc vérifiée dans le cas présent.
5. Si X =93 alors Y =1,214×93−59,755=53,147. On peut estimer la masse d’un mouton de 93 cm à 53 kg.
EXERCICE 2
Partie A
• On détermine la moyenne x et l’écart-type s observés sur l’échantillon : g
x ≈249,33 et s≈4,12g
• On réalise ensuite un test de conformité de la moyenne µ à la masse nominale 250 (en g).
On émet les hypothèses : H0 : « µ =250 » et H1 : « µ <250 ».
Le test de conformité est ainsi unilatéral à gauche.
On constate que l’écart-type de la population σ est inconnu.
Alors, sous l’hypothèse H0, la variable
29 250 S
T = X − suit la loi de Student à
1 30−
ν = degrés de liberté, c’est-à-dire ν =29 ddl.
Le seuil de risque étant fixé, α =0,05, on note t la valeur (critique) telle α que : P(T <tα)=0,05.
On représente le schéma de décision :
La lecture dans la table donne :t1−α =2,05 donc tα =−2,05 . Règle de décision : Notons t0bsla valeur observée de T .
- Si t0bs <−2,05 alors on rejette H0. - Si t0bs ≥−2,05 alors on accepteH0.
-3 -2 -1 0 1 2 3
tα T
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Calcul de la valeur observée :
29 12 , 4
250 33 , 249 29
250
0
= −
= − s
t bs x alors tObs ≈−0,88.
Décision : tα <tobs alors on ne rejette pas H . 0 Conclusion :
On ne peut pas considérer, au seuil de risque de 5%, que la masse moyenne nette µ des pots de cette fabrication est inférieure à 250g.
Remarque : La loi de T aurait pu être ici approchée par la loi normale centrée réduite (l’échantillon étant de taille n=30) ; la valeur critique aurait valu uα =−1,645, les conclusions auraient été similaires.
Partie B
1. a) On extrait au hasard un pot de la production et on regarde s’il présente un défaut de masse. Alors deux issues sont possibles :
- soit il présente un défaut de masse (sa masse est inférieure à 245,5g) avec la probabilité
100 5 ,
= 2
p ou p=0,025.
- Soit il ne présente pas le défaut de masse avec la probabilité 975
, 0 1− =
= p
q .
C’est une épreuve de Bernoulli.
On répète n=30 fois de façon indépendante cette même épreuve de Bernoulli.
Alors la variable aléatoire Y prenant pour valeur, sur un échantillon de taille 30, le nombre de pots présentant un défaut de masse, suit la loi binomiale de paramètres
=30
n et p=0,025.
b) P(Y ≥3)=1−[P(Y =0)+P(Y =1)+P(Y =2)]
× ×
+
×
×
+
−
=
≥ 30 29 0,0252 0,97528
2 975 30
, 0 025 , 1 0 975 30
, 0 1 ) 3 (Y
P alors
038 , 0 ) 3 (Y ≥ ≈
P .
2. Trois masses parmi les 30 sont inférieures à 245,5 : 242,2, 239,9 et 242,6.
La production n’est donc pas conforme au cahier des charges.
EXERCICE 3
Formule en E3 : =B3*$F$10+C3*$F$11+D3*$F$12
Formule en F3 : =SI(E3<=500;0;SI(E3>=1000;E3*0,1;E3*0,05)) plusieurs possibilités Formule en G3 : =(E3-F3)*1,196 ou =ARRONDI((E3-F3)*1,196;2) si on veut arrondir au centime d’euro.
On recopie en une fois les trois formules sur les trois lignes suivantes : 4, 5 et 6.
Formule en F7 : =NB.SI(F3:F6;“>0”) Formule en B10 : =SOMME(B3:B6) Formule en B11 : = SOMME(C3:C6) Formule en B12 : = SOMME(D3:D6)
Formule en C10 : = SI(ET(F10>=80;B10<=15);"OUI";"NON") Cette formule sera recopiée en C11 et C12.
