Première S2 Interrogation n ° 1 : exemple de corrigé. 2007 2008
E1 1 ) Résolvons l'équation 2x² + 3x − 14 = 0.
Le discriminant est ∆ = b² − 4ac = 3² − 4 × 2 × ( - 14 ) = 9 − ( - 112 ) = 121.
∆ > 0 donc il y a deux racines distinctes x1 =
a 2 b− ∆
− =
2 2
11 3×−
− = - 14
4 = - 3,5. Et x2 = a 2 b+ ∆
− =
4 11 3+
− = 8 4 = 2.
L'ensemble des solutions est { -3,5 ; 2 }.
2 ) Factorisons le trinôme A ( x ) = 2x² + 3x − 14.
D'après la formule A ( x ) = a ( x − x1 ) ( x − x2 ) = 2 ( x − ( -3,5 ) ) ( x − 2 ) = 2 ( x + 3,5 ) ( x − 2 ).
3 ) Déterminons le signe du trinôme A ( x ) en fonction des valeurs de x.
x −∞ -3,5 2 +∞
A ( x ) + 0 − 0 +
Si x ∈ ] - ∞ ; - 3,5 [ alors A ( x ) > 0. Si x ∈ ] - 3,5 ; 2 [ alors A ( x ) < 0.
Si x ∈ ] 2 ; + ∞ [ alors A ( x ) > 0. Si x = - 3,5 alors A ( x ) = 0.
Si x = 2 alors A ( x ) = 0.
4 ) Résolvons l'inéquation A ( x ) < 0.
D'après la question précédente l'ensemble des solutions est ] - 3,5 ; 2 [ . E2 Résolvons l'équation -3x² + 8x + 7 = 0
Le discriminant est ∆ = b² − 4ac = 8² − 4 × ( - 3 ) × 7 = 64 + 84 = 148.
∆ > 0 donc il y a deux racines distinctes x1 =
a 2 b− ∆
− =
6 148 8−−
− =
6 37 2 8−−
− =
3 37 4−−
− =
3 4+ 37 et x
2 = a 2 b+ ∆
− =
3 37 4+−
− =
3 4− 37 L'ensemble des solutions est {
3 4− 37 ;
3 4+ 37 }.
E3 1 ) Résolvons l'équation 5x² + 2x + 8 = 0
Le discriminant est ∆ = b² − 4ac = 2² − 4 × 5 × 8 = 4 − 160 = - 156.
∆ < 0 donc l'équation n'admet aucune solution réelle.
2 ) On pose B ( x ) = 5x² + 2x + 8. Déterminons le signe du trinôme B ( x ) en fonction des valeurs de x.
x −∞ +∞
B ( x ) +
Pour tout x ∈ , B ( x ) > 0.
3 ) Résolvons l'inéquation B ( x ) < 0.
D'après la question précédente l'inéquation n'admet aucune solution réelle.
E4 1 ) Résolvons l'équation 9x² + 42x + 49.
Le discriminant est ∆ = b² − 4ac = 42² − 4 × 9 × 49 = 1764 − 1764 = 0
∆ = 0 donc il y a une racine double x0 = a 2
−b = 18
−42 = - 7
3 . L'ensemble des solutions est { - 7 3 }.
2 ) Factorisons le trinôme C ( x ) = 9x² + 42x + 49
D'après la formule C ( x ) = a ( x − x0 )² = 9 × ( x − ( - 7
3 ) )² = 9 × ( x + 7 3 )² 3 ) Déterminons le signe du trinôme C ( x ) en fonction des valeurs de x.
x −∞ - 7/3 +∞
C ( x ) + 0 +
Si x ∈ ] - ∞ ; - 7
3 [ alors C ( x ) > 0.
Si x ∈ ] - 7
3 ; + ∞ [ alors C ( x ) > 0.
Si x = - 7
3 alors C ( x ) = 0.
4 ) Résolvons l'inéquation C ( x ) > 0.
D'après la question précédente l'ensemble des solutions est ] - ∞ ; - 7
3 [ U ] - 7
3 ; + ∞ [.
