Ch9: Asservissements numériques

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Ch9: Asservissements numériques

1. fonction de transfert en z

1. structure de l'asservissement

On considère un système analogique (par exemple un moteur) de transmittance G(p).

On le pilote à l'aide d'une commande numérique : xn

Rappel: xn correspond à un signal analogique x(t) échantillonné avec une période d'échantillonnage Te  xn = x(nTe)

• xn doit donc être convertie en signal analogique via un CNA pour pouvoir commander le système.

• le signal retour y(t) doit à son tour être échantillonné via un CAN pour pouvoir être comparé à la commande xn. On obtient le signal numérique yn en sortie du CAN.

2. Fonction de transfert associée au CNA

Le CNA admet pour fonction de transfert : 𝐵 𝑝 =^𝑌_𝑌^2(𝑝)

1(𝑝)=^1−𝑒_𝑝^{−𝑝 𝑇𝑒}

Démonstration (HP) : y1(t) = y(nTe)δ(t-nTe) ^𝑇.𝐿. Y1(p) = y(nTe) e^{-p nTe}

y2(t) ^𝑇.𝐿. Y2(p) =y(nTe) ^{𝑒−𝑝𝑛𝑇𝑒−𝑒}−𝑝 𝑛 +1 𝑇𝑒 𝑝

La fonction de transfert analogique du système échantillonné devient donc H(p) = B(p)G(p)

 𝐻 𝑝 = ^1−𝑒_𝑝^{−𝑝 𝑇𝑒}𝐺(𝑝) CNA B(p)

Système G(p)

CAN E*(p)

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3. transmittance numérique (de la partie analogique)

La fonction de transfert peut exister sous forme numérique avant le CNA et après le CAN, c'est-à- dire entre E*(p) et Y*(p).

On peut alors définir la transmittance en z du système en boucle ouverte : 𝐻 𝑧 =^𝑌(𝑧)_𝐸(𝑧) avec : Y*(p) ↔ Y(z) et E*(p) ↔ E(z)

Calcul de H(z) :

On obtient la transmittance en z du système à partir de sa transformée en p : H(p) = B(p)G(p) = (1 − 𝑒^{−𝑝𝑇𝑒})^𝐺(𝑝)_𝑝 ↔ H(z) = (1-z^-1)F(z)

 On trouve F(z) à partir de la fonction de transfert en p 𝐹 𝑝 = ^𝐺(𝑝)_𝑝 , en utilisant les tables de transformée en z

exemple : On considère un moteur de fonction de transfert 𝐺 𝑝 =_1+0.1𝑝^0.5 que l'on veut contrôler par asservissement numérique. Déterminer la transmittance en z du système.

𝐺 𝑝

𝑝 =_{𝑝(1+0.1𝑝)}^0.5 =^0.5_𝑝 −_1+0.1𝑝^0.05 =^0.5_𝑝 −_10+𝑝^0.5 ↔ 𝐹 𝑧 = 𝑇. 𝑍. [^{𝐺 𝑝} _𝑝 ] = 0.5_𝑧−1^𝑧 − 0.5 _{𝑧−𝑒−10𝑇𝑒}^𝑧

 𝐻 𝑧 = 1 − 𝑧⁻¹ 𝐹 𝑧 = 0.5^1−𝑒_{𝑧−𝑒−10𝑇𝑒}^{−10𝑇𝑒} Remarque: les coefficients de H(z) dépendent de la période d'échantillonnage Te

4. transmittance en boucle fermée

On peut représenter le système en boucle fermé entièrement sous la forme de transmittances en z:

Comme pour un asservissement analogique, la transmittance en boucle fermée s'écrit :

𝑇_𝐵𝐹 𝑧 = 𝐻(𝑧) 1 + 𝐻(𝑧)

X(z) Y(z)

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2. Caractéristiques de l'asservissement numérique

1. précision

La précision représente l'erreur entre la sortie et l'entrée en régime établi :

𝜀 = 𝑆_∞ − 𝐸_∞

• erreur statique : c'est l'erreur observée pour une réponse indicielle e(t) = u(t) ↔ 𝐸 𝑧 = 𝐸_𝑧−1^𝑧

calcul théorique :

théorème de la valeur finale (HP) : lim_𝑡→∞𝑠 𝑡 = lim_𝑧→1(𝑧 − 1) 𝑆 𝑧

 𝑆∞= lim𝑧→1 𝑧 − 1 _𝑧−1^𝑧 𝐸 𝐻 𝑧 = 𝐸 𝐻(𝑧 = 1)

En régime stabilisé, la réponse indicielle d'un système en BF est donnée par 𝑆∞= 𝐸 𝑇𝐵𝐹(𝑧 = 1)

• erreur de trainage :

elle correspond à l'erreur observée lorsque la commande est une rampe de tension.

2. stabilité

Un système numérique bouclé est stable si sa transmittance en boucle fermée TBF(z) a tous ses pôles de modules inférieurs à 1.

Rappel : les pôles sont les valeurs de z qui annulent le dénominateur de TBF(z) 𝑇_𝐵𝐹 𝑧 =_1+𝐻(𝑧)^𝐻(𝑧)  les pôles z_i se calculent en résolvant 1+H(z) = 0

exemples :  On considère un système de fonction de transfert en BO 𝐻 𝑧 =_𝑧−0,5³ Le système bouclé est-il stable ?

 même question pour si H(z) = _{1+𝑧+0,5𝑧²}¹

3. influence de T_e

La transmittance en z d'un système numérique dépend de la période d'échantillonnage (voir l'exemple du 1.3)  la stabilité du système dépend donc aussi de T_e.

Une période d'échantillonnage trop élevée peut entrainer l'instabilité de l'asservissement.

3. Correcteurs

ε(z)

4 1. correcteur proportionnel

Soit un système analogique de fonction de transfert G(p) = ₁₊¹_{ 𝑝}

On l'insère dans un asservissement numérique, avec une période d'échantillonnage Te.

𝐺 𝑝

𝑝 =_𝑝(1+¹_{ 𝑝)}=_𝑝¹−₁₊^_𝑝

𝑇.𝑍. 𝐹(𝑧) = _𝑧−1^𝑧 − ^𝑧

𝑧−𝑒^{−𝑇𝑒}

Après échantillonnage (et en tenant compte du CNA), la transmittance en z de la boucle ouverte s'écrit : 𝐻 𝑧 = 1 − 𝑧⁻¹ 𝐹 𝑧 =^1−𝑒−

𝑇𝑒 𝑧−𝑒^{−𝑇𝑒}

On introduit un correcteur proportionnel C(z) = K.

La transmittance en boucle fermée devient alors : 𝑇_𝐵𝐹 𝑧 = 𝐾𝐻(𝑧)

1 + 𝐾𝐻(𝑧)= 𝐾(1 − 𝑒^{−𝑇𝑒}) 𝑧 − 𝑒^{−𝑇𝑒} + 𝐾(1 − 𝑒^{−𝑇𝑒}) Il existe un pôle unique z0 qui dépend de K :

𝑧₀ = 𝑒^{−𝑇𝑒} − 𝐾(1 − 𝑒^{−𝑇𝑒})

exemple :  Calcul de la stabilité sans correcteur, pour T_e = 

 z₀ = -0,26 |z0|<1 donc le système est stable  Calcul de la stabilité sans correcteur, pour Te = 10

 z₀ = -1 on est en limite de stabilité

 Calcul de la stabilité pour T_e = 10, avec un correcteur proportionnel C(z)=0,5

 z₀ = -0,5 le système est à nouveau stable

Un correcteur proportionnel permet de stabiliser le système (en prenant K<1) 2. correcteur Intégral

Un correcteur intégral numérique est de la forme 𝐶 𝑧 =_𝐸^𝜀(𝑧)

𝑟(𝑧)= 𝑎 _𝑧−1^𝑧

On montre que l'action intégrale permet d'augmenter la précision, c'est-à-dire en pratique d'annuler l'erreur de position.

implémentation: il faut revenir à l'équation de récurrence 𝐶 𝑧 =_𝐸^𝜀(𝑧)

𝑟(𝑧)= 𝑎 _1−𝑧¹₋₁  ε(z)(1-z^-1) = a Er(z)

 εn - εn-1 = a Er n  εn = εn-1 + a Er n

comme pour un filtre numérique récursif, un correcteur numérique s'implémente à l'aide de fonctions retards.