LA BOUCLE A VERROUILLAGE DE PHASE
Une boucle à verrouillage de phase, ou circuit d’asservissement de phase, ou PLL (phase locked loop) est un circuit bouclé avec, un détecteur de phase, un filtre passe-bas, un amplificateur et un OCT (oscillateur commandé en tension) appelé aussi VCO (voltage controlled oscillator). .
Rappel
L’expression générale d’un signal sinusoïdal s’écrit : )
t ( cos S ) t (
s = ϕ
) t
ϕ( est appelé phase instantanée du signal, dt
) t ( ) d t
( = ϕ
ω est appelé pulsation instantanée du signal,
dt ) t ( d 2
1 2
) t ) ( t (
f ϕ
= π π
=ω est appelé fréquence instantanée du signal.
Remarques :
- Pour un signal de pulsation constante ω0 : s(t)=Scos( 0t+ϕ0), la pulsation instantanée s’identifie bien à 0 0 0
dt ) t (
d ω +ϕ =ω .
- Dans le cas d’un signal non sinusoïdal, par exemple de forme carrée, on parle de pulsation, fréquence et phase en faisant référence au terme fondamental (premier terme de la décomposition en série harmonique).
1. L’oscillateur commandé, VCO.
Le VCO délivre un signal périodique dont la fréquence dépend de la tension u2(t) appliquée à son entrée.
Si ϕs(t) représente la phase instantanée de la composante fondamentale du signal, le fonctionnement du VCO est défini par la relation :
[
u (t)]
dt f ) t ( ) d
t
( s 2
s = ϕ =
ω fe(t)
ouϕe(t)
Comparateur
de phase Filtre
Passe-bas Amplificateur à
courant continu VCO fs(t)
ouϕs(t)
U1(t) U2(t)
La dérivée
[
2]
0 2k ) t ( u du f
d = s’appelle sensibilité du VCO (unité = rad/V.s).
Si la sensibilité est constante, on peut écrire :
) t ( u dt k
) t ( ) d
t
( s 0 0 2
s = ϕ =ω +
ω
ω0=constante, est la pulsation de repos (ou pulsation libre) du VCO.
2. Le comparateur de phase.
Il délivre un signal lié à la différence entre les phases instantanées ϕe(t) et ϕs(t).
Cette relation dépend de la forme d’onde des signaux, de leur amplitude et de la nature du comparateur.
Si ϕe(t) et ϕs(t) sont les phases des composantes fondamentales de ces deux signaux, le fonctionnement du comparateur est défini par la relation :
[
(t) (t)]
g ) t (
u1 = ϕe −ϕs
La dérivée
[
e s]
D1 k
) t ( ) t ( d
) t (
du =
ϕ
−
ϕ s’appelle sensibilité du comparateur de phase (unité = V/rad).
Si la sensibilité est constante, on peut écrire :
[
(t) (t)]
k( )
t k(t)
u1 = Dϕe −ϕs = D ϕ
Remarque : u1(t) est une fonction nécessairement périodique, de période égale à 2π ou bien un sous- multiple de 2π.
3. Le filtre de boucle.
Le filtre est nécessairement un passe-bas, il définit la plage de capture.
Il est indispensable pour que l’asservissement soit stable, et définit aussi la précision de la boucle.
De plus, les caractéristiques de ce filtre déterminent les performances de la boucle en régime harmonique et en régime transitoire.
4. Plage de verrouillage – Plage d’accrochage (ou de capture).
f
sf
ef
0f
0f
V1f
C1f
C2f
V2f
s= f
eSupposons que la boucle soit attaquée par un signal sinusoïdal. Lorsque la pulsation de sortie ωs de l’oscillateur est égale à la pulsation instantanée ωe du signal d’entrée, on dit que la boucle est verrouillée.
La plage de fréquences de verrouillage de la boucle est évidemment limitée par la plage de fréquences couverte par le VCO.
En l’absence de signal d’entrée, le VCO oscille librement à la pulsation ω0. Lorsqu’on applique brusquement un signal sinusoïdal de pulsation ωe, le signal de sortie u1(t) du comparateur de phase est un battement de pulsation égale à ∆ω=ωe−ωs.
Si ∆ωest supérieur à la pulsation de coupure du filtre, l’oscillateur oscille alors à la pulsation libre du VCO, ω0.
Par contre, lorsque ∆ω est inférieur à la pulsation de coupure du filtre, la réponse de ce dernier agit sur l’oscillateur pour que la phase instantanée ϕs(t) de celui-ci s’asservisse sur la phase instantanée
) t
e(
ϕ du signal d’entrée. On dit alors qu’il y a accrochage de la boucle, et s = e.
La plage de fréquences d’accrochage (ou de capture) est symétrique par rapport à ω0 de l’oscillateur, et est toujours incluse dans la plage de verrouillage.
5. Analyse mathématique.
5.1. Etude statique. (fe constant)
Pour étudier le régime statique, on peut considérer la boucle incomplète suivante :
Cette boucle ne possède pas de filtre, ce qui facilite sa mise en équation, tout en conservant sa réponse permanente à un signal sinusoïdal identique à celle d’une boucle pourvue d’un filtre passe-
Plage de verrouillage ω0 (f0)
Plage de capture
fe(t) ouϕe(t)
Comparateur
de phase Amplificateur à
courant continu VCO fs(t)
ouϕs(t)
(
(t) (t))
k (t)k ) t (
u1 = D ϕe −ϕs = D∆ϕ (eq.1)
(t) u dt k
(t) d
2 0 s 0
s = ϕ = + (eq.2)
) t ( u k ) t (
u2 = A 1 (eq.3)
[ ]
e 0 D
0
A dt
) t ( ) d
t ( k k dt k
) t (
d∆ϕ + ∆ϕ = ϕ −ω
Dans le cas d’un signal sinusoïdal à ωe constant,
e e e(t)=ω t+ϕ ϕ
d’où l’expression de ∆ϕ(t):
t k k k D
0 A
0
e Ce A 0 D
k k ) k t
( = ω −ω + − ϕ
∆
et celle de ϕs(t) :
t k k k D
0 A
0 e e
s Ce A 0 D
k k (t) k
(t)=ϕ − − − −
ϕ
On voit apparaître le terme kAk0kD. Ce terme représente le gain de boucle.
La réponse permanente de la boucle à un signal de pulsation ωe est un signal de même pulsation et déphasé par rapport au signal d’entrée de la quantité :
D 0 A
0 e
k k k
= −
ϕ .
Le déphasage varie linéairement avec la pulsation d’entrée ωe, et sa valeur est d’autant plus faible que le gain de boucle est élevé.
5.2. Etude dynamique.
Pour étudier le régime dynamique, on doit prendre en compte la structure du filtre. Pour que les équations restent simples, on va considérer un simple filtre passe-bas de type RC. La fonction de transfert de ce filtre est donc égale à :
RCp 1 ) 1 p (
F = +
(
(t) (t))
k (t) k) t (
u1 = D ϕe −ϕs = D∆ϕ (eq.1)
) t ( u dt k
) t ( d
2 0
s =ω0 +
ϕ (eq.2)
F(p) (p)k u (p)
u2 = 1 A (eq.3)
Posons ϕe(t)=ω0t+ϕ'e(t) et ϕs(t)=ω0t+ϕ's(t)
dt ) t ( d dt
) t (
d 's
s 0 ϕ
+ ω ϕ =
(
(t) (t))
k(
(t) (t))
k ) t (
u1 = D ϕe −ϕs = D ϕ'e −ϕ's (éq.4) )
t ( u dt k
) t ( d
2 0 '
s =
ϕ (éq.5)
L’équation 3 devient (notation de Laplace) : )
p ( F k ) p ( U ) p (
U2 = 1 A (éq.6)
L’application de la transformée de Laplace sur les équations 4 et 5 donne :
(
(p) (p))
k ) p (
U1 = D φ'e −φ's (éq.7)
) p ( U k ) p (
pφ's = 0 2 (éq.8)
Eliminer U1(p) et U2(p) dans les équations 6-8 donne :
(
(p) (p))
F(p)k k k ) p (
pφ's = 0 A D φ'e −φs'
2p 2
p 2
D A 0 D A 0 D
A 0
D A 0 'e
's
p z p
2 1
1 k p
k k
RC k
k k 1 p
1 RCp
1 k 1 k k p
RCp 1 k 1 k k ) p (
) p (
+ω + ω
≡ +
+
= + +
= + φ φ
pulsation propre,
RC k k k0 A D
p = ω coefficient d’amortissement :
RC k k k 2 z 1
D A 0
=
ωp et z définissent les caractérisques de la boucle en régime harmonique et transitoire.
6. Réalisation pratique d’une boucle à verrouillage de phase.
6.1. Comparateur de phase.
Soient s1(t) et s2(t) deux signaux sinusoïdaux de même pulsation ω , ce qui est le cas lorsque la boucle est verrouillée.
) t cos(
a ) t (
s1 = 1 ω +θ1 ) t cos(
a ) t (
s2 = 2 ω +θ2
Le produit de ces deux signaux s’écrit :
π ∆φ -π
-a1a2
a1a2
S1S2
Il est donc possible de réaliser un comparateur de phase avec un multiplieur analogique et un filtre passe-bas de pulsation de coupure inférieure à ω.
La caractéristique de ce comparateur est sinusoïdale et sa sensibilité, au voisinage des déphasages égaux à
)2 1 p 2
( + π, est égale à 2
a a1 2
.
On remarque que l’information ‘déphasage’ est contenue dans la valeur moyenne de s1s.2 à condition que a1.a2soit constant, ce qui necessite des amplitudes de signaux d’entrées constantes.
Remarque : Si les signaux s1(t) et s2(t) sont carrées, de valeur moyenne nulle, et de même pulsation ω, on peut montrer que le comparateur de phase à multiplieur analogique possède alors une caractéristique linéaire sur un intervalle d'amplitude π. La sensibilité du comparateur est égale à
π1 2 a a
2 .
Autres types de comparateur de phase : - Comparateur à ‘OU EXCLUSIF’, - Comparateur à flip-flop,
- Comparateur à échantillonneur-bloqueur.
6.2. Le VCO.
Le choix de l’oscillateur est fait en fonction de ses caractéristiques, notamment, la linéarité de modulation, l’importance de la plage d’excursion, la forme du signal délivrée et de son taux de distorsion, et de la simplicité de mise en œuvre.
S2(t)
S1(t) Multiplieur
analogique Filtre
Passe-bas
6.3. Choix du filtre de boucle.
Plusieurs structures de filtre passe-bas peuvent être utilisées.
Le choix du filtre se fait en fonction de sa simplicité de mise en œuvre, et de la stabilité de la boucle et de la précision souhaitée (voir cours d’AUTOMATIQUE).
6.3. Exemples de réalisations industrielles :
LM 565 XR 215
7. Exemples d’applications.
6.1. Multiplicateur de fréquence.
Lorsque la boucle est verrouillée, on a : ω1
= ω
or n
1 s
= ω ω donc ωs =nω
6.2. Synthèse de fréquence (voir TD).
6.3. Modulation de fréquence.
6.4. Démodulation d’un signal modulé en fréquence.
Le signal modulé FM capté par le récepteur est appliqué à l’entrée de la PLL ; celle-ci se verrouille et suit les variations de fréquence dues à la modulation. Le filtre passe bas est calculé pour laisser passer les fréquences du signal modulant (ex. : audiofréquences), ainsi on recueille le signal u(t) (sortie du filtre et commande du VCO) qui est l’image du signal modulant de départ (il existe d’autres façons de démoduler la FM).
6.5. Extraction d’une porteuse dans un signal noyé dans du bruit, ou dans un signal AM/FM.
ω1 ωs
e(t) pulsation ω
Comparateur
de phase Filtre
Passe-bas Amplificateur à
courant continu VCO S(t)
Diviseur par n
