Boucle à verrouillage de phase : structure, modèle non linéaire, équilibre statique, modèle linéaire.

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équilibre statique, modèle linéaire

BETTYCARLE –betty.carle@ens-cachan.fr

Table des matières

1 Introduction : Principes et notations 1

1.1 Notations . . . 1

1.2 Structure de la boucle . . . 1

1.2.1 principe . . . 1

1.2.2 Structure globale . . . 2

1.2.3 Utilisation . . . 2

2 Etude de la PLL : Structure et caractéristiques 2 2.1 Comparateur de phase . . . 2

2.2 Oscillateur contôlé en tension . . . 3

2.3 Caractéristiques de la boucle. . . 3

2.3.1 Plage de capture . . . 3

2.3.2 Plage de verrouillage . . . 3

3 Etude des non-linéarités 4 4 Modélisation linéaire de la boucle 4 4.1 Linéarisation . . . 4

4.1.1 Hypothèses d’étude. . . 4

4.1.2 Schémas-bloc . . . 5

4.2 Précision : erreur statique en fréquence et comparateur avec intégration . . . 5

1 Introduction : Principes et notations

1.1 Notations

Soit un signals(t) =Smcos(Φ(t)), on appelleΦ(t)la phase instantanée. On peut alors définir la pulsa- tion insantanéeΩ(t) = ^dΦ(t)_dt et la fréquence instantanée :

fi(t) = 1 2π

dΦ(t)

dt (1)

NB SiΦ(t) =ωt+φ(sinal sinuoÏdal) avecφ=constante, on a directementΩ(t) =ω

1.2 Structure de la boucle

1.2.1 principe

Le but de la PLL est d’asservir la phase instantanée issue de l’oscillateurΦs(t)à celle du signal d’entrée Φe(t). On pourra aussi parler d’asservissement de fréquence instantanée (fs(t)asservie àfe(t)).

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1.2.2 Structure globale

M ultiplieur e(t)

p(t)

P asse−bas

d(t)

V.C.O

s(t)

Le multiplieur et le filtre constitue le comparateur de phase.

1.2.3 Utilisation

On peut se poser la question : «Pourquoi ne pas utiliser un fil ?» Il convient donc de faire le point sur les applications de la PLL qui peut détecter de très faibles variation de fréquence :

– modulation de fréquence – démodulation de fréquence – synthétiseur de fréquence

2 Etude de la PLL : Structure et caractéristiques

2.1 Comparateur de phase

Le but de cet élément est de réaliser une transposition en fréquence. On suppose qu’on a :

(e(t) =E_msin(2πf_et+φ_e) s(t) =Smsin(2πfst+φs)

p(t) =K_{M U L}.e(t).s(t) = EmSmKM U L

2 (cos(2π(f_e+f_s)t+φ_e+φ_s) + cos(2π(f_e−f_s)t+φ_e−φ_s)) (2)

NB Il est important de noter que, pour un bon fonctionnement de la PLL, il faut que les fréquences

d’entrée et de sortie soient voisines :f_e'f_s. On peut alors parler de déphasage.p(t) =^E^m^S^m₂^K^{M U L}(cos(2π(2f_e)t+

φ_e+φ_s) + cos(φ_e−φ_s))

On a donc ici un terme basse fréquence :K_dcos(φ_e−φ_s) et un terme à2fe:Kdcos(2π(2fe)t+φe+φs)

Le filtre passe-bas (RC par exemple) vient récupérer la composante basse fréquence de p(t) avec une fréquence de coupurefB.

NB La bande passante du filtre détermine le temps de réaction de la boucle. soitBla BP etT_rle temps de réponse, on a

Tr' 1 B .

NB Le filtre remplit également la fontion de correcteur(il assure le bon fonctionnement de la boucle).

C’est en effet un des seuls composants de la boucle qu’il est possible de paramétrer ; les autres, vis-à-vis de leurs contraintes technologiques, sont figés.

Cette caractéristique est non-linéaire mais reste correcte pour des signaux de fréquences voisines (courbe linéarisable).

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FIGURE1 –Caractéristique du comparateur de phase

2.2 Oscillateur contôlé en tension

Le but de cet élément est de transformer le signal BF issu du filtre en une tension caractérisée par sa fréquencefsproportionnelle à la tension BF. Un VCO est caractérisé par :

– sa penteKV CO

– sa fréquence centralefV CO

On peut écrire :

uV CO=Kcos(2π(fV CO+KV COd(t))t+φK) (3)

2.3 Caractéristiques de la boucle

2.3.1 Plage de capture

La sortie du comparateur de phase est un signal proportionnel à(Φ_e−Φ_s)et attaque le VCO. Lorsque la PLL n’est pas accrochée,i.e.que la phase instantanéeΦs(t)ne suit pas celle de l’entréeΦe(t), le VCO oscille à sa fréquence centrale.

– Sife−fs> fB, le VCO ne reçoit aucune consigne et oscille àfV CO.

– Sife−fs< fB, le VCO reçoit une consigned(t)non nulle et vient corrigerfspour avoirfe=fs.

NB Il est donc primordial que la fréquence d’entrée du montage soit comprise dans la plage de fonctionnement du VCO.

La PLL est accrochée et se verrouille pourfe−fs< fB. La plage de capture est donc égale à2fB (dans le cas d’un filtre idéal). Elle est donc directement liée au filtre.

2.3.2 Plage de verrouillage

Le verrouillage apparaît lorsque la PLL est accrochée. La fréquence d’entrée varie lentement, et à tout instant, l’équilibref_e'f_sest conservé. Ceci n’est valable que sif_e∈[f_L₁;f_L₂], intervalle appelé plage de verrouillage. En dehors de cet intervalle, la PLL décroche et on cesse d’avoirf 'f .

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FIGURE2 –Caractéristique statique du VCO

3 Etude des non-linéarités

La perte du verrouillage de la boucle est due à la manifestation d’une non-linéarité du comparateur de phase ou du VCO qui remettent en cause les hypothèses de l’étude linéaire. Essayons d’envisager les deux cas et d’expliquer pour chacun pourquoi la PLL se déverrouille.

– Si la non-linéarité vient du VCO, lorsqu’on prend un point de fonctionnement P, on peut imaginer ce qui se passe lorsque la tension d’entrée augmente.d(t)croît et on arrive au bout de la plage linéaire de la caractéristique (juste avant la saturation). A ce moment précis,fsne peut plus augmenter pour suivref_eet l’écart se creuse entre les deux :f_e'f_sn’est plus valable et la PLL décroche.

– Si la non-linéarité qui limite la plage de verrouillage vient du comparateur de phase à présent (ce qui arrive le plus souvent), on part d’un point où la PLL est verrouillée et à nouveau, on augmentef_eet f_ssuit tant que le déphasage reste inférieur àπ. Au-delà, la caractéristique du comparateur s’inverse etf_sdiminue quandf_ecroît, l’écart se creuse et la PLL décroche.

4 Modélisation linéaire de la boucle

4.1 Linéarisation

4.1.1 Hypothèses d’étude

On suppose que la PLL est accrochée,e(t)ets(t)ont des phases instantanées voisines et des fréquences quasi-égale. On travaille par ailleurs autour d’un point de fonctionnement et on linéarise les caractéris- tiques de chaque élément :

fs=KV CO.ue,V CO (4)

us,CP =KD.(Φe−Φs) (5)

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4.1.2 Schémas-bloc

On peut alors établir les schémas blocs :

+− fe

Kcomp 2π

p H(p) KV CO

fs

Ce schéma montre le fonctionnement de la PLL sur la fréquence. Il a cependant le désavantage de laisser à penser que le VCO ne reçoit plus de commande (il devrait revenir àf0) lorsque la boucle est accrochée (fe−fs= 0grâce à l’intégrateur dans la chaîne directe) alors qu’il reçoit une consigne proportionnelle au déphasage, d’où le schéma suivant plus juste (attention à la différenceΦ/φ) :

+− φe

Kcomp

Φ_e−Φ_s

H(p) KV CO 2π

p

φs

On écrit donc :

HBO(p) =2πKV CO

p .Kd.Hf iltre(p) (6)

4.2 Précision : erreur statique en fréquence et comparateur avec intégration

Si la PLL est accrochée, l’erreur en fréquence s’exprime : =fe−fs

Or on peut écrire :

fs= HBO(p) 1 +H_BO(p)fe

D’où

=fe(1− H_BO(p)

1 +HBO(p)) =fe( p

p+ 2πKV COKDHf iltre(p))

Théorème de la valeur finale : Soit un signal d’entrée dont la fréquence varie suivant un échelon fe(p) =^∆f_p

_∞= lim

p→0

p∆f

p+ 2πK_{V CO}K_DH_{f iltre}(p) = 0 L’erreur statique en fréquence est bien nulle siHf iltre(p) = _{1+τ p}¹