I. L’arithmétique (très) élémentaire

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Philippe TILLEUIL Le Monde Perdu S.B.P.M. — 27 août 2014 1 / 32

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I. L’arithmétique (très) élémentaire Les nombres de l’arithmétique élémentaire

I. Les nombres de l’arithmétique élémentaire

N : l’ensemble des nombres entiers naturels.

Deux opérations fondamentales(+,×), partout définies mais dont les opérations réciproques (−,÷) ne le sont quepartiellement.

Z : l’ensemble des nombres entiers, ou nombres entiers rationnels.

Trois ( !) opérations fondamentales (+,−,×), partout définies mais l’opération réciproque de la multiplication ne l’est que partiellement.

(Z; +,×) est un anneau commutatif(noté aussi (Z; +,·)).

En particulier, toutes les équations du premier degré à cœfficients dansZ, et dont le cœfficient du terme de plus haut degré égale 1, c’est-à-dire du type :

x+b=0 (b∈Z)

sont résolubles dansZ.

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I. L’arithmétique (très) élémentaire Les nombres de l’arithmétique élémentaire

Q : l’ensemble des nombres rationnels.

Les quatre ( !) opérations fondamentales sont partout définies (en dehors de la division par 0 . . . )

(Q; +,×) est un corps commutatif(noté aussi (Q; +,·)).

En particulier, toutes les équations du premier degré à cœfficients dansQ, c’est-à-dire du type :

a·x+b=0 (a,b∈Q) sont résolubles dansQ.

On a

(N; +,·)⊂(Z; +,·)⊂(Q; +,·)

De plus, il y a une relation d’ordre, notée<, compatible avec les opérations en question.

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I. L’arithmétique (très) élémentaire La division euclidienne

II. La division euclidienne

Dans l’anneauZ des nombres entiers, il n’y a plus que la division qui soit partiellement définie.

Définition. Sia,d etq ∈Z sont tels quea=q·d, on dit que a est un multiple de d.

Si d 6=0, on dit aussi que d divisea(ce qu’on note parfois d|a), ou que d est un diviseur dea.

Par exemple, 8 divise 120 parce que 120=15·8. On sait aussi que 8 n’est pas un diviseur de 123 et que 20 ne divise pas −3. Mais on a aussi :

123=15·8+3

−3= (−1)·20+17

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I. L’arithmétique (très) élémentaire La division euclidienne

Idée !

La division euclidienne, c’est faire plus, et mieux, que la division exacte, en introduisant la notion derested’une division !

Théorème

Soient aetd ∈Zavecd >0, alors il existe un et un seul nombreq∈Zet un et un seul nombrer ∈Ztels que :

1˚ 06r <d, 2˚ a=q·d+r.

Démonstration. Le nombrer — appelé restede la division euclidienne de apar d — est défini ici comme leplus petit nombrenatureldans l’ensemble

{a−z·d}_z∈

Z∩Z>0

Etc.

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I. L’arithmétique (très) élémentaire Le (bon) P.G.C.D.

III. Le (bon) P.G.C.D.

Idée !

Introduire le P.G.C.D. à partir decombinaisons linéaires(à cœfficients dansZ).

Théorème

Soient a,b,c, . . . un nombre fini d’éléments deZ6=0; on définit I(a,b,c, . . .) :={x ·a+y ·b+z·c +· · · }_x,y_,z,...∈

Z ⊂Z alors il existe un et un seul nombre naturel d strictement positif tel que I(a,b,c, . . .) est exactement l’ensemble des multiples ded.

Démonstration. Le nombred est défini comme le plus petitnombre naturel dans l’ensemble

I(a,b,c, . . .)∩Z>0

Etc.

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I. L’arithmétique (très) élémentaire Le (bon) P.G.C.D.

De plus,

d₀ divise a,b,c, . . .et I(a,b,c, . . .) =M·d

⇓

d₀ divise d

Définition. L’élémentd obtenu dans le théorème précédent s’appellele plus grand commun diviseur des élémentsa,b,c, . . .∈Z, et on le note P.G.C.D.(a,b,c, . . .).

N.B.On décrit plus loin l’algorithme d’Euclidepour le calcul du P.G.C.D. de deux nombres, ainsi que l’application de ce qui précède à la résolution d’équations diophantiennes linéaires (l’« analyse indéterminée »).

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I. L’arithmétique (très) élémentaire Les nombres premiers entre eux

IV. Les nombres premiers entre eux

Définition. Des entiers rationnels a,b,c, . . . en nombre fini sont appelés premiers entre eux si leur P.G.C.D. égale 1 ou, de manière équivalente, si l’équation (de Bézout)

a·x+b·y +c ·z+· · ·=1

admet (au moins) une solution en nombres entiers rationnels.

Question

Est-il vrai que, si a,b et c sont des entiers rationnels tels que a et b sont premiers entre eux et a divise b·c, alors a divise nécessairement c ?

Solution.Commeaetb sont premiers entre eux, l’équationa·x+b·y =1 possède au moins une solution(x₀,y₀)∈Z², d’oùa·x₀+b·y₀=1 et donc

a·c·x₀+b·c·y₀ =c maisa diviseb·c . . .

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Question

Est-il vrai que, si a,b et c sont des entiers rationnels tels que a et b sont premiers entre eux et a et c sont aussi premiers entre eux, alors a est premier avec b·c ?

Solution.Comme a etb sont premiers entre eux, il existe (x₀,y₀)∈Z² tels que

a·x₀+b·y₀=1

Pareillement, puisquea etc sont premiers entre eux, il existe (u₀,v₀)∈Z² tels que

a·u₀+c ·v₀ =1

En multipliant membre-à-membre ces deux relations, on obtient a²·x0u0+ac·x0v0+ab·y0u0+bc·y0v0=1 d’où

a·(a·x₀u₀+c·x₀v₀+b·y₀u₀) +bc·y₀v₀ =1 et donc . . .

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Question

Est-il vrai que, si a,b et c sont des entiers rationnels tels que a et b sont premiers entre eux et a et b divisent c, alors a·b divise aussi c ?

Solution.Il existe des nombres entiers q₁ etq₂ tels que c =a·q₁ =b·q₂

Comme a etb sont premiers entre eux, il existe aussi (x₀,y₀)∈Z² tels que 1=a·x₀+b·y₀, d’où

c =a·c·x₀+b·c ·y₀

=a·b·q₂·x₀+b·a·q₁·y₀

=a·b·(q₂·x₀+q₁·y₀)

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I. L’arithmétique (très) élémentaire Les nombres premiers

V. Les nombres premiers

Définition. Un nombre entier naturel est appelé un nombrepremier s’il possède exactementdeux diviseurs (positifs).

De manière équivalente, un nombre entier naturel est appelé un nombre premier s’il est strictement plus grand que 1 et qu’il n’est divisible que par 1 et lui-même.

Question

Si p est un nombre premier et a est un nombre entier rationnel (non nul) quelconque, déterminez toutes les valeurs possibles deP.G.C.D.(p,a).

Solution.P.G.C.D.(p,a) =1 oup puisque ce sont les seuls diviseurs possibles dep, et P.G.C.D.(p,a) =p si et seulement si aest un multiple de p.

N.B.: si P.G.C.D.(p,a) =p, alors∀y ∈Z:a·1+p·y est un multiple dep.

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Question

Est-il vrai que, si p est un nombre premier qui divise un produit de nombres entiers rationnels, alors il divise au moins l’un des facteurs ?

Solution.Supposons que p divise le produit a·b de nombres entiers rationnels, et considérons les divisions euclidiennes parp :

a=p·q₁+r₁ avec 06r₁<p b =p·q₂+r₂ avec 06r₂ <p On raisonne par l’absurde. Si r1 et r2 6=0, alors

P.G.C.D.(p,r₁) = P.G.C.D.(p,r₂) =1 d’où

P.G.C.D.(p,r₁·r₂) =1 Mais alors p ne peut pas divisera·b . . .

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Théorème (fondamental)

Tout nombre entier (strictement plus grand que 1) s’écrit d’une et d’une seule manière — à l’ordre des facteurs près — comme produit de nombres premiers.

Démonstration. L’existence se règle par récurrence.

L’unicité résulte de la solution de la question précédente.

N.B.: C’est un des deux théorèmes fondamentaux de l’arithmétique élémentaire, suivant H. Hasse. . .

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I. L’arithmétique (très) élémentaire Il y a beaucoup de nombres premiers . . .

VI. Il y a beaucoup de nombres premiers . . .

Théorème

Il y a une infinité de nombres premiers.

Ça se démontre par l’absurde : on suppose qu’il n’y a qu’un nombre finide nombres premiers, notésp₁,p₂,p₃, . . . ,p_`.

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Preuve 1.On définit :

N :=p₁·p₂·p₃· · ·p_`+1

Suivant le théorème fondamental,N est premier puisqu’aucun desp_i

(16i 6`) ne diviseN.

A cause de la finitude, il existeun plus grand nombre premier — disons p_` — d’où

N 6p_`

Par construction :

N >p_`

Contradiction !

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Question

On considère les`premiers nombres premiers rangés par ordre croissant : p1=2, p2=3, p3=5, . . . , p_`.

Est-il vrai que, quelle que soit la valeur de`, le nombre N:=p1·p2·p3· · ·p_`+1

est un nombre premier ?

Solution.Au début, oui . . . :

2+1=3 2·3+1=7 2·3·5+1=31 2·3·5·7+1=211 2·3·5·7·11+1=2311 mais

2·3·5·7·11·13+1=30031=59·509

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Preuve 2.On considère : E:= Y

16i6`

1 1− 1

p_i

= 1

1− 1 p₁

· 1

1− 1 p₂

· · · 1 1− 1

p_`

A cause de la finitude,E est un nombre rationnel (fini).

On calcule Eautrement :

Y

16i6`

1 1− 1

pi

=

1+ 1 p1

+ 1 p₁² +· · ·

·

1+ 1 p2

+ 1 p²₂ +· · ·

· · ·

1+ 1 p`

+ 1 p_`² +· · ·

= X

k_i>0 16i6`

1 p₁^k¹ · 1

p^k₂²· · · 1 p_`^k^` =X

n>0

1 n

suivant le théorème fondamental.

Cette dernière somme diverge ! Contradiction !

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N.B.

Dans les calculs de la deuxième preuve, les séries sont des séries géométriques à termes strictement plus petits que 1 en valeur absolue, ce sont donc des séries absolument convergentes, etc . . . (tout est premis !)

L’intérêt de la preuve 2 est de mettre en scène unavatarde la célébrissime fonction

ζ(s) := X

n∈Z>0

1 n^s

de Riemann (s:=σ+i·τ∈Cetσ >1), pour laquelle on démontre pareillement :

ζ(s) =Y

p∈P

1 1− 1

p^s oùPest l’ensemble des nombres premiers.

Laconjecture de Riemannpeut rapporter (très) gros !

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I. L’arithmétique (très) élémentaire . . . Mais ils sont bizarrement répartis

VII. . . . Mais ils sont bizarrement répartis

On s’intéresse à la distribution des nombres premiers.

La première chose à faire est certainement demanipuler des tables de nombres premiers ; on y revient plus loin.

Quand on étudie ce genre de question, la conclusion qui s’impose assez vite est que la distribution des nombres premiers est à la fois

très régulière, et aussi très irrégulière.

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1. Les nombres premiers dans une progression arithmétique

Question

Est-il vrai que, dans toute progression arithmétique 1˚ de terme initial a=3et de raison r=4,

ou

2˚ de terme initial a=5et de raison r=6 il existe une infinité de nombre premier ?

Solution.Décalquer la première preuve du cas (connu) où le terme initial a=1 et la raisonr =1, en utilisant respectivement :

N :=4·p₁·p₂·p₃· · ·p_`+3 ou

N :=6·p₁·p₂·p₃· · ·p_`+5 Etc.

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Il n’y a pas de preuve (raisonnablement) élémentaire du résultatgénéral suivant, conjecturé par A.-M. Legendre (1752-1833) et dont la première démonstration remonte à G. P. Lejeune-Dirichlet (1805-1859).

Théorème

Sia etr sont deux nombres entiers naturels premiers entre eux, il y a toujours une infinité de nombres premiers dans la progression arithmétique de raisonr et de terme initiala.

Ce résultat plaide plutôt en faveur d’une certaine régularité . . .

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2. Les nombres premiers jumeaux

Définition. Deux nombres premiers p<q sont appelés nombres premiers jumeaux si q−p=2.

A première vue, il y en a beaucoup : 3 et 5, 5 et 7, 11 et 13, 17 et 19, 29 et 31,

etc.

On en trouve 35 parmi les 168 nombres premiers inférieurs à 1000.

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On note Pl’ensemble (infini) des nombres premiers, etPJ l’ensemble des nombres premiers jumeaux.

C’est un problème ouvert que de savoir s’il y a une infinité de nombres premiers jumeaux.

Théorème 1˚ La sommeP

p∈P 1

p diverge.

2˚ La sommeP

p∈PJ 1

p converge.

Le 1˚ se démontre en utilisantgrosso modo les idées de la deuxième preuve de l’infinité d’éléments dans P.

Le 2˚ est dû à V. Brun (1885-1978).

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Le théorème de Brun suggère que si l’ensemble des nombres premiers jumeaux est infini — ce qui est la croyance générale — c’est un « petit » infini !

Depuis mai 2013, quelques progrès spectaculaires sur une question très proche ont été obtenus.

Théorème

1˚ Il existe une infinité de paires de nombres premiers de la forme (p,p+h) avech670000000.

2˚ Il existe une infinité de paires de nombres premiers de la forme (p,p+h) avech6600.

Le 1˚ est dû à Y. Zhang (1955 - ), le 2˚ à J. Maynard ( ? - ).

N.B.Ce qui est remarquable, c’est surtout le fait de disposer de méthodes nouvelles pour attaquer des questions qui semblaient totalement hors de portée jusqu’il y a un peu plus d’un an !

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3. Les petits trous et les grands trous dans la distribution des nombres premiers

Définitions. 1˚ Un nombre premierp >2 est appelé un nombre premier isolé sip−2 etp+2 ne sont pas premiers.

2˚ Deux nombres premiers sont appelés des nombres premiers consécutifssi tout nombre entier strictement compris entre eux n’est jamais premier ; par extension (ou convention), on admet souvent que 2 et 3 sont consécutifs.

Par exemple, 23 est un nombre premier isolé, puisque 21 et 25 ne sont pas premiers ; c’est même le premier nombre premier isolé.

Les nombres premiers 1637 et 1657 sont des nombres premiers consécutifs : 1639=11·149, 1641=3·547, 1643=31·53, 1647=9·183,

1649=17·97, 1651=13·127 et 1653=3·19·29.

N.B.Deux nombres premiers jumeaux sont consécutifs. La réciproque est fausse !

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Théorème

Il existe une infinité de nombres premiers isolés.

Preuve.Le nombre premier 23 est isolé.

On prend un diviseur de 23−2=21 — par exemple 3 — et un diviseur de 23+2=25 — par exemple 5 — et on forme leur produit, c’est-à-dire 15.

Suivant le théorème de Dirichlet, l’ensemble {23+15·k}_k∈

Z

contient une infinité de nombres premiers, et ils sont tous isolés par construction.

N.B.On peut multiplier (sic!) les constructions de ce genre.

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Théorème

Il existe des nombres premiers consécutifs arbitrairement éloignés l’un de l’autre.

Preuve.Il faut montrer que, quel que soit l’entier N >1, il existe des nombres premiers p<q consécutifs tels queq−p >N.

Si N >3, on considère :

q⁰ := (N+1)!−1 p⁰ := (N+1)!−(N+2)

On aq⁰−p⁰ =N +1>N, et tous les nombres entiers strictement compris entre p⁰ et q⁰ sont non premiers par construction.

N.B.Les nombres ainsi construits ne sont pas les plus petits possibles, loin de là : cfr.

pourN=19 le cas de 1637 et 1657.

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I. L’arithmétique (très) élémentaire Un exemple, étrange et . . . utile, mais plus tard

VIII. Un exemple, étrange et . . . utile, mais plus tard

La meilleure manière de comprendre une théorie, c’est souvent d’essayer de la refaire . . . autrement.

Question

On considère l’ensemble

H:={. . . ,−27,−23,−19,−15,−11,−7,−3,1,5,9,13,17,21,25,29,33,37,41,45,49,53, . . .}

de tous les nombres dont le reste dans la division par 4 égale 1. C’est manifestement un sous-ensemble de l’ensembleZdes nombres entiers.

1˚ Cet ensemble est-il fermé pour les opérations fondamentales, c’est-à-dire la somme, ou la différence, ou le produit de deux éléments de cet ensemble est-il toujours encore un élément de cet ensemble ?

2˚ Les notions et les théorèmes de l’arithmétique élémentaire — restreints à cet ensemble — sont-ils encore vrais ? Jusqu’à quel(s) point(s) ?

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Solution.On utilise surH la structure induite deH ⊂Z. Il n’y a pas d’addition (ou de soustraction) dansH, puisque

(4k+1) + (4`+1) =4(k+`) +2 Il y a une multiplication dans H, puisque

(4k+1)·(4`+1) =4(4k`+k+`) +1 Il y a donc une notion de diviseur.

Il n’y a pas de division euclidienne dansH, puisqu’il n’y a pas d’addition dansH. De manière équivalente

4a+1= (4d+1)·(4q+1) +4r+1 est impossible.

Il n’y a pas de notion de P.G.C.D. De manière équivalente

I(4a+1,4b+1)n’est pas défini, puisqu’il n’y a pas d’addition dansH.

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Il y a une notion de nombre premier dansH puisqu’il y a une notion de diviseur. On trouve

P(H) ={5,9,13,17,21,29,33, . . .}

Le théorème de Dirichlet implique qu’il y a une infinité de nombres premiers dansH.

La décomposition en facteurs (éventuellement premiers) est . . . bizarre.

Par exemple

9= (−3)·(−3) mais 9∈P(H).

Et on a même

693=21·33=9·77 alors que 9, 21, 33 et 77∈P(H).

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N.B.L’unicité de la décomposition en facteurs premiers peut être restaurée de la manière suivante. Siαetβ∈ H, on pose

I⁰(α, β) :={x·α+y·β}_x,y∈

Z∩ H

Quels que soientαetβ∈ H,I⁰(α, β)est un sous-ensemble (infini) explicite deH. Par exemple :

I⁰(9,21) ={. . . ,−27,−15,−3,9,21,33, . . .} ≡3·Z∩ H I⁰(9,33) ={. . . ,−27,−15,−3,9,21,33, . . .} ≡3·Z∩ H I⁰(21,77) ={. . . ,−35,−7,21,49,77,105, . . .} ≡7·Z∩ H I⁰(33,77) ={. . . ,−55,−11,33,77,121,165, . . .} ≡11·Z∩ H On définit encore une « multiplication » :

I⁰(α, β)·I⁰(γ, δ) :=I⁰(α·γ, α·δ, β·γ, β·δ) On peut alors vérifier que

I⁰(693) =I⁰(9,21)·I⁰(9,33)·I⁰(21,77)·I⁰(33,77) ce qui correspond, dansZà

693=3·3·7·11

(32)

N.B.(suite et fin). On a ainsi restauré la décomposition en « facteurs premiers idéaux » en restant dansH(pourvu qu’on vérifie encore que les différents ensemblesI⁰(α, β) introduits soientirréductiblesen un sens à préciser . . . )

Cet exemple est dû à D. Hilbert (1862 - 1943).

La notion de nombres premiers idéaux est due à E. E. Kummer (1810 - 1893) et la conception d’un idéal comme ensemble de nombres est dû à R.

Dedekind (1831 - 1916).