Remédiation - Corrigé Compétence F08

(1)

Remédiation - Corrigé

Compétence F08

Exercice 1 :

Soit f la fonction définie sur Ë par f(x)=(x−3)².

1. Conjecturer les sens de variations de f sur Ë à l’aide de votre calculatrice graphique :

D’après la calculatrice graphique, f est décroissante sur ]-õ;3]

et croissante sur [3;+õ[.

2. Le but de l’exercice est de valider la conjecture ci-dessus cad de déterminer les variations de f sur Ë.

(a) Montrer que pour tous réels x1 et x2 , f

( )

^x¹ ⁻^f

( )

^x² ⁼

(

^x¹^−x²

) (

^x¹^+x²^{−6 :}

)

Pour tous réels x1 et x2 , f

( )

^x¹ ⁻^f

( )

^x² ⁼

(

^x¹⁻³

)

²⁻

(

^x²⁻³

)

²⁼

(

^x¹^−3+x²⁻³

) (

^x¹^−3−x²⁺³

)

=

(

^x¹^+x²⁻⁶

) (

^x¹⁻^x²

)

(b) En déduire que f est décroissante sur ]-õ;3] et que f est croissante sur [3;+õ[ : Soient x₁ et x₂ deux réels de l’intervalle ]-õ;3] tels que x₁<x₂ , alors

x1<x2 donc x1 −x2 <0

x1<3 et x2<3 donc x1+x2<6 d’où x1+x2−6<0

Donc f

( )

^x¹ ^−f

( )

^x² >0 càd f

( )

^x¹ ^>^f

( )

^x² donc, par définition, f est décroissante sur ]-õ;3]

Soient x1 et x2 deux réels de l’intervalle [3;+õ[ tels que x1<x2 , alors x1<x2 donc x1 −x2 <0

x₁>3 et x₂>3 donc x₁+x₂>6 d’où x₁+x₂−6>0

Donc f

( )

^x¹ ^−f

( )

^x² <0 càd f

( )

^x¹ ^<^f

( )

^x² donc, par définition, f est croissante sur [3;+õ[

(c) Dresser le tableau de variation de f sur Ë.

f(3)=(3−3)²=0

x −∞ 3 +∞

f

0

2 3 4 5 6

2 3 4 5

0 1

1

x y

(2)

Exercice 2 :

Soit g la fonction définie sur Ë par g(x)=x²+5. Déterminer les variations de g sur Ë

Conjecturons les sens de variations de g sur Ë à l’aide de votre calculatrice graphique :

D’après la calculatrice graphique, g est décroissante sur ]-õ;0] et croissante sur [0;+õ[.

Montrer que pour tous réels x1 et x2 , g

( )

^x¹ ⁻^g

( )

^x² ⁼

(

^x¹^−x²

) (

^x¹⁺^x²^{−6 :}

)

Pour tous réels x1 et x2 , g

( )

^x¹ ⁻^g

( )

^x² ⁼^x¹²^+5−x²²^{−5 = x}¹²^−x²²⁼

(

^x¹^+x²

) (

^x¹⁻^x²

)

Déduisons en que g est décroissante sur ]-õ;0] et que g est croissante sur [0;+õ[ : Soient x₁ et x₂ deux réels de l’intervalle ]-õ;0] tels que x₁<x₂ , alors

x1<x2 donc x1 −x2 <0 x1<0 et x2<0 donc x1+x2<0

Donc g

( )

^x¹ ⁻^g

( )

^x² >0 càd g

( )

^x¹ ^>^g

( )

^x² donc, par définition, g est décroissante sur ]-õ;0]

Soient x₁ et x₂ deux réels de l’intervalle [0;+õ[ tels que x1<x2 , alors x1<x2 donc x1 −x2 <0

x1>0 et x2>0 donc x1+x2>0

Donc g

( )

^x¹ ⁻^g

( )

^x² <0 càd g

( )

^x¹ ^<^g

( )

^x² donc, par définition, g est croissante sur [0;+õ[

(d) Dresser le tableau de variation de g sur Ë.

g(3)= 0²+5=5

x −∞ 0 +∞

g

5

2 3

-1 -2 -3

2 3 4 5 6 7 8 9

0 1

1

x y