Chapitre 12 : Calcul intégral – correction exercice 12 Page 1 sur 1
Terminale S. – Lycée Desfontaines – Melle
Correction exercice 12
1. Après avoir étudié le sens de variation de la fonction h:t→ln(1+t)−t sur [0;+õ[, montrons que
┐tÃ0, ln(1+t)Ât.
┐tÃ0, 1+tÃ0 donc la fonction t→ln(1+t) est dérivable sur [0;+õ[ et donc la fonction h est dérivable sur [0;+õ[ et ┐t>0, h′(t)= 1
1+t −1=1−1−t
1+t =- t
1+t Â0 donc h est décroissante sur [0;+õ[ donc ┐tÃ0, h(t)Âh(0) càd h(t)Â0 donc ┐tÃ0, ln(1+t)Ât
2. Soit f la fonction définie sur [0;+õ[ par f(x)=ln
(
1+xe-x)
et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.On note A(λ) l’aire, en unités d’aires, du domaine limité par l’axe des abscisses, C et les droites d’équation x=0 et x=λ, λÃ0.
Déterminons le sens de variation de A sur [0;+õ[.
┐xÃ0, f(x)Ã0 et 0Âλ donc A(λ)=⌡⌠
0
λf(x)dx ua. A est donc l’unique primitive de f qui s’annule en 0.
D’où ┐λ☻[0;+õ[, A′(λ)=f(λ)=ln
(
1+λe-λ)
Or, ┐λÃ0, λe-λ Ã0 donc 1+λe-λÃ1 d’où ln
