Traitement des données. De l’acquisition des signaux et images jusqu’à leur interprétation

1

Traitement des données. De l’acquisition des signaux et images jusqu’à leur

interprétation

Didier VRAY, Denis FRIBOULET MASTER et École Doctorale MEGA

didier.vray@creatis.insa-lyon.fr

BIBLIOGRAPHIE 2

Ouvrages généraux

• Bernard MULGREW, "Digital Signal Processing, concepts and applications", Palgrave MacMillan, 2003

• Alan OPPENHEIM, A. SCHAFER, "Discrete-time Signal Processing", PRENTICE HALL, 1999

• Alan OPPENHEIM, A. WILLSKY, "Signals and Systems", PRENTICE HALL, 1997

• J. Mc CLELLAN, "DSP First, A multimedia approach", PRENTICE HALL, 1999

• François de COULON, "Théorie et traitement des signaux", DUNOD, 1984

• Murat KUNT, "Traitement Numérique des signaux", 1981

Applications ou pour aller plus loin

• J. MARS, J.-L. LACOUME, "Traitement du signal pour géologues et

géophysiciens", TECHNIP 2004, Tome 3 : Techniques avancées et Tome 2 : Techniques de base, Tome 1 : Prospection sismique

• M. BELLANGER, "Traitement numérique du signal : Théorie et pratique", 8ème édition, DUNOD, 2006

• S. MARPLE, "Digital spectral analysis", PRENTICE-HALL, 1987

3

Traitement du signal et applications Introduction

Denis Friboulet – Didier Vray

SIGNAL ? 4

 Domaines d’application :

• communication, aéronautique, astronautique, acoustique, contrôle de processus chimique, ingénierie biomédicale, traitement de la parole, économie, météorologie...

• information représentée sous forme de signal

 Signal :

• fonction de une ou plusieurs variables indépendantes : f(x,y,z)

• représente / contient information sur un phénomène (physique)

Signaux continus: f(t), t ∈ R Signaux discrets: f[n], n ∈ Z

 Types de signaux

 Dimension du signal :

• 1D : f(t) f[n]

• 2D :f(u,v) f[i,j]

• 3D : f(u,v,w) f[i,j,k]

• etc...

t

n

SIGNAL ? 5

 Mesures

• Capteur, statistiques....

• Développement des capteurs : microphone, céramiques piézoélectriques, antennes, capteurs CCD, de pression

 Acquisition numérique :

• Stockage

• Traitement numérique par ordinateur

• Perte d’information ?

• Importance des techniques numériques Capteur

t

Capteur Echantillonnage

t

EXEMPLES DE SIGNAUX 6

Signal de parole

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

Temps (s)

amplitude

‘e’

b on j ou r

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Temps (s)

amplitude

b on j ou r

EXEMPLES DE SIGNAUX 7

Évolution de la rente 5% sous le consulat et le 1

empire

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100%

1798 1799 1800 1801 1802 1803 1804 1805 1806 1807 1808 1809 1810 1811 1812 1813 1814 1815

Coup d’état du 18 brumaire Paix de Lunéville

L’Autriche attaque la Bavière

Victoire sur la Prusse à Iéna Victoire sur la Russie à Eylau Victoire sur la Russie à Friedland

Traité de Tilsit avec la Russie

Début de la campagne de Russie

Début de la retraite de Russie

Défaite de Vitoria.

L'Autriche se joint à la Prusse et à la Russie contre la France.

Défaite de Leipzig.

Défaites en Espagne et au Portugal

Abdication de Napoléon

Waterloo Napoléon débarque à Golfe Juan

Victoire sur l’Autriche à Ulm L’Angleterre

recherche la paix et l’obtient à

Amiens

© Le Monde 28/01/1997

EXEMPLES DE SIGNAUX 8

Évolution hebdomadaire du Dow Jones du 5 janvier 1929 au 4 janvier 1930

50 100 150 200 250 300 350 400

5 jan. 1929 4 jan. 1930

EXEMPLES DE SIGNAUX 9

Signaux ultrasonores

Signal réel

t

τ = 2d/c , c ≈ 1540 m/s (tissus biologiques) Émission

Réception d

t

Composante spéculaire Composante diffuse

EXEMPLES DE SIGNAUX 10

Images ultrasonores: échographie intravasculaire

EXEMPLES DE SIGNAUX 11

Images ultrasonores: échographie intravasculaire

Plaque artérielle

EXEMPLES DE SIGNAUX 12

Images cardiaques échographie ultrasonore et en IRM

EXEMPLES DE SIGNAUX 13

Tomographie X

EXEMPLES DE SIGNAUX 14

Tomographie par rayonnement X synchrotron

EXEMPLES DE SIGNAUX 15

Tomographie X

TRAITEMENT DU SIGNAL ? 16

 Buts :

• Modélisation : représentation d’un phénomène (caractérisation, prédiction...)

• Analyse : extraction d’information (mesure, compression, détection, reconnaissance...)

• Filtrage, restauration : transformation du signal (minimisation du bruit, suppression de parasite...)

• Etc.

 Notion de système de traitement :

 Notion de domaine de représentation :

• Transformée de Fourier

• Modèles autorégressifs, transformée de Laplace, transformée de Wigner, transformée en ondelettes, transformée cosinus....

Système de Traitement

t t

EXEMPLES DE TRAITEMENT 17

Imagerie ultrasonore

Image ?

N Signaux

EXEMPLES DE TRAITEMENT 18

Signaux acquis

Image Compressée Détection

d'enveloppe

Compression logarithmique

Enveloppe

EXEMPLES DE TRAITEMENT 19

Signal de parole : analyse ?

b on j ou r

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

Temps (s)

amplitude

b on j ou r

EXEMPLES DE TRAITEMENT 20

Domaine de représentation : temps-fréquence

EXEMPLES DE TRAITEMENT 21

Détection de rupture

Cas idéal

0 5 10 15 20

-2 -1 0 1 2

0 50 100 150 200 250

-2 -1 0 1 2

Cas réel avec bruit gaussien (σ = 0.4)

0 50 100 150 200 250

-2 -1 0 1 2

Opérateur différentiel : [ 1 -1 ]

0 5 10 15 20

-2 -1 0 1 2

Opérateur différentiel : [ 1 -1 ]

EXEMPLES DE TRAITEMENT 22

Détection de rupture

Opérateur différentiel : [ 1 -1 ] Opérateur optimisé : Canny[86] – Deriche[87]

Cas réel avec bruit gaussien (σ = 0.4)

0 50 100 150 200 250

-2 -1 0 1 2

0 50 100 150 200 250

-2 -1 0 1 2

0 50 100 150 200 250

-1 0 1 2 3 4

EXEMPLES DE TRAITEMENT 23

Détection de rupture

0 50 100 150 200 250

-4 -2 0 2 4

0 50 100 150 200 250

-4 -2 0 2 4 6

Cas réel avec bruit gaussien (σ = 1.0) Cas réel avec bruit gaussien (σ = 1.2)

0 50 100 150 200 250

-4 -2 0 2 4

0 50 100 150 200 250

-4 -2 0 2 4

Opérateur optimisé :

EXEMPLES DE TRAITEMENT 24

Image : Détection de contours

Bords horizontaux Bords verticaux

Norme du gradient Seuillage

||2

EXEMPLES DE TRAITEMENT 25

Détection de contour par ensemble de niveau basé sur les dérivées (gradient)

Ensemble de niveau:

Principe d’évolution Evolution basée sur le

gradient d’une image IRM

EXEMPLES DE TRAITEMENT 26

Détection de contour par ensemble de niveau basé sur les statistiques

Histogramme

Sang

Histogramme Muscle

EXEMPLES DE TRAITEMENT 27

Détection de contour par ensemble de niveau basé sur les statistiques

EXEMPLES DE TRAITEMENT 28

 Visualisation de l’information ?

EXEMPLES DE TRAITEMENT 29

 Visualisation : Rendu de volume par lancer de rayon

Plan de visualisation

1. Intersection avec l’objet : Tracé incrémental d’un rayon dans le volume discret

2. Estimation de la normale à l’objet : opérateur différentiel discret dans les 3 directions

N

α L

N

3. Calcul de la lumière émise au point d’intersection : modèle de diffusion

 Id = Ip (N . L)

4. Application des étapes 1, 2 et 3 à l'ensemble des rayons partant du plan de visualisation

EXEMPLES DE TRAITEMENT 30

© Joe Kniss, Utah

EXEMPLES DE TRAITEMENT 31

32

Signaux de base

Opération élémentaires sur les signaux

TRANSFORMATIONS DE LA VARIABLE INDEPENDANTE 33

 Retournement

f(t) f(-t)

f[n] f[-n]

 Opérations de base sur les signaux:

• Retournement, décalage, changement d’échelle, etc.

 transformation de la variable indépendante

TRANSFORMATIONS DE LA VARIABLE INDEPENDANTE 34

 Changement d’échelle

f(t) f(2t)

f[n] f[2n]

TRANSFORMATIONS DE LA VARIABLE INDEPENDANTE 35

 Décalage temporel

f(t) f(t-t₀)

 Retard

f[n]

f(t+t₀)

 Avance

f[n-n₀]

 Retard

f[n+n₀]

 Avance

t ₀

-t ₀

-n 0

n ₀

TRANSFORMATIONS DE LA VARIABLE INDEPENDANTE 36

 Signaux pairs : invariance par retournement

f(-t) = f(t) f[-n] = f[n]

f[-n] = - f[n]

 Signaux impairs : symétrie par retournement

f(-t) = - f(t)

SIGNAUX DE BASE CONTINUS 37

 Signal sinusoïdal :

f t ( ) = A cos(2 π f t

+ φ )

A AcosΦ

T 0 = 1 / f 0

A : amplitude φ : phase f

: fréquence T

: période

 Variation de la fréquence f₀ :

f

f

f

f

< f

< f

SIGNAUX DE BASE CONTINUS 38

 Exponentielle complexe

e

= cos 2 π f

t + j sin 2 π f

t

 Interprétation

Partie réelle

t f e

) cos 2

Re(

= π

t f e

) sin 2

Im(

= π

) 2 (

2 1

cos π f

t = e

+ e

) 2 (

2 1

sin

e

e

t j

f

π = −

Partie imaginaire

 Exponentielles harmoniques

f _k ( t ) = e ^{j 2 π kf}

^t , k ∈ Z

f₀ : fréquence fondamentale f₀: vitesse de rotation

sin 2πf₀t

t

Re Im

cos 2πf₀t

SIGNAUX DE BASE CONTINUS 39

 Échelon unité

 Impulsion unité (ou Dirac) :

δ

 Représentation u(t) = 0 si t < 0

1 si t > 0

1

( ) t dt 1

+∞

δ

−∞

∫ =

on veut avec

∆ u_∆(t) 1

∆

1/∆

δ

Aire = 1

δ(t) = lim δ

(t) ∆ → 0

1

δ

C

C

δ

δ

t₀

dt t t du ( )

)

( =

δ

SIGNAUX DE BASE CONTINUS 40

 Dirac : interprétation

δ

t ⁰

τ

Intervalle d’intégration

1 u(t) 0

)

( =

∫

− t

d

τ τ

δ

t

τ

0

Intervalle d’intégration

δ

1 )

( =

∫

− t

d

τ τ

δ

 L’aire du Dirac est "concentrée" en un point

SIGNAUX DE BASE CONTINUS 41

 Dirac : Propriété

 Dirac : Propriété

x(t) δ(t) = x(0) δ(t)  Dirac de poids x(0)

x(t)

δ

x(0)

δ

( ) t dt 1

+∞ δ

−∞

∫ =

 Dirac : Propriété

x(t) δ(t-t

) = x(t

) δ(t-t

)

x(t)

δ

x(t)

x(t₀)

δ

t₀

SIGNAUX DE BASE CONTINUS 42

0 0

( ) ( ) ( )

x t δ t t dt x t

+∞

−∞

− =

∫

 Dirac : Propriété

 Dirac : Propriété

^+∞ x t ( ) ( ) δ t dt x (0)

−∞

∫ =

SIGNAUX DE BASE CONTINUS 43

2

1

2

( , )

( )

t s

t

E t t = ∫ s t dt

 Énergie et puissance moyennes d’un signal continu s(t)

• Énergie moyenne calculée sur l’intervalle [t

, t

] :

2

1

2 1 2

2 1

( , ) 1 ( )

t s

t

P t t s t dt

t t

= − ∫

• Puissance moyenne calculée sur l’intervalle [t

, t

] :

 Interprétation : énergie dissipée par unité de temps

SIGNAUX DE BASE DISCRETS 44

 Échelon unité

 Impulsion unité : on définit

 Propriétés

u[n] = 0 si n < 0 1 si n ≥ 0

[ ] [ ]

n m

u n δ m

=−∞

= ∑

 conséquences et

δ [ ] n = u n [ ] − u n [ − 1]

x[n]

δ

δ

x[n]

δ

δ

[ ] 1

n

δ n

+∞

=−∞

∑ =

0 0

[ ] [ ] [ ]

n

x n δ n n x n

+∞

=−∞

− =

∑

[ ] [ ] [0]

n

x n δ n x

+∞

=−∞

∑ =

0 1

...

δ

0

1

SIGNAUX DE BASE DISCRETS 45

 Sinusoïdes discrètes : cos 2πf₀n



0 10 20 30

0 0.5 1

fréquence = 0

0 10 20 30

-1 0 1

fréquence = 1/16

0 10 20 30

-1 0 1

fréquence = 1/8

0 10 20 30

-1 0 1

fréquence = 1/4

0 10 20 30

-1 0 1

fréquence = 1/2

0 10 20 30

-1 0 1

fréquence = 3/4

0 10 20 30

-1 0 1

fréquence = 7/8

0 10 20 30

-1 0 1

fréquence = 15/16

0 10 20 30

0 0.5 1

fréquence = 1

SIGNAUX DE BASE DISCRETS 46

 Exponentielles discrètes



n f j

n f

e

^π

= cos 2 π

+ sin 2 π

SIGNAUX DE BASE DISCRETS 47

 Énergie et puissance d’un signal discret s[n]

2

1

[ ] 2 n

n n

s n

∑ =

2

1

2

2 1

1 [ ]

n n n

n − n ∑ ₌ s n

• Énergie moyenne :

• Puissance moyenne :

48

Les Systèmes Linéaires Invariants

Notion de Système 49

 Définition :

• Un système est un modèle mathématique d’un processus physique qui relie un signal d’entrée à un signal de sortie

• Un système est un dispositif de traitement du signal

• En entrée : e(t) signal d’entrée

• En sortie : s(t) signal de sortie

 Exemples :

• Amplificateur, système audio, téléphone, système vidéo

• Un système complexe peut être vu comme l’interconnexion de plusieurs systèmes dont les fonctions sont plus simples

 Questions

• Quelles sont les propriétés intéressantes des systèmes ?

• Comment caractériser un système ?

=

Comment modéliser la relation entre entrée et sortie ?

Représentation des Systèmes 50

 Représentation sous forme de schéma bloc

e(t) s(t)

S

e[n] s[n]

S

s(t) = S{e(t)}

s[n] = S{e[n]}

 Interconnections des systèmes

• Série / Cascade

• Parallèle

• Série / Parallèle

• Feed-back

Système 1 Système 2

Input Output

Système 1

Système 2

+ ^Output

Input

Système 1

Système 3

+ ^Output

Input

Système 2

Système 4

PROPRIETES DES SYSTEMES 51

ETUDE DE 2 PROPRIETES FONDAMENTALES (système continu ou discret):

LINEARITE

INVARIANCE EN TEMPS

LINEARITE (Propriété de superposition)

Soit y₁[n]=S{x₁[n]} et y₂(t)=S{x₂[n]} ALORS a y₁[n]+ b y₂[n] = S{a x₁[n]+b x₂[n]}

Conséquence : une entrée nulle produit une sortie nulle

INVARIANCE EN TEMPS

Soit y[n]=S{x[n]} ALORS y[n-n₀]=S{x[n-n₀]}

La sortie du système ne dépend pas de l'origine des temps

La sortie du système ne dépend pas de l’instant où est appliquée l’entrée

On notera SLIT un système Linéaire et Invariant en Temps

52

x(t)

t

0 1 2

y(t)

t

0 1 2

EXEMPLES - linéarité et invariance en temps des systèmes suivants : y[n] = 2x[n], y(t) = x(t-2) -2x(t-19)

y[n] = x[-n], y(t) = sin(6t) x(t) y[n] = 2x[n]+3, y(t) = a exp(x(t))

UTILISATION DES PROPRIETES :

Soit un système LINEAIRE et INVARIANT EN TEMPS qui a en sortie y(t) lorsque l’entrée est x(t) :

Quelle est la réponse du système lorsque l’entrée est x

(t)

x₁(t)

t

0 1

4 3

2

LIT

L

IT

RAPPEL DE QUELQUES PROPRIETES DE L’IMPULSION UNITE 53

δ ( ) t dt =

−∞

+∞

∫ ¹

[ ] 1 n

+∞

δ

−∞

∑ =

x t ( ) ( ) δ t dt = x ( )

−∞

+∞

∫ ⁰

[ ] [ ] [0]

x n δ n x

+∞

−∞

∑ =

x t ( ) ( δ t − t dt ) = x t ( )

−∞

+∞

∫

x n [ ] [ δ n − n ] = x n [ ]

−∞

∑

δ τ τ ( ) d u t ( )

t

=

−∞

∫

δ [ ] k u n [ ]

k

n

=

∑

( ) ( ) (0) ( ) x t δ t = x δ t [ ] [ ] [0] [ ]

x n δ n = x δ n

0 0 0

( ) ( ) ( ) ( )

x t δ t − t = x t δ t − t

0 0 0

[ ] [ ] [ ] [ ]

x n δ n n − = x n δ n n −

REPRESENTATION DES SIGNAUX EN SOMME D’IMPULSIONS 54

 Exemple de la représentation d’un signal discret en terme d’impulsions retardées

 Généralisation :

• Tout signal discret peut être décrit comme une somme d’impulsions de Dirac retardées et pondérées par

l’amplitude de ce signal :

 Décomposition équivalente pour les signaux continus :

x n x k n k

k

[ ] = [ ] [ − ]

=−∞

∑ +∞ ^δ

x t ( ) = x ( ) ( t − ) d

−∞

+∞

∫ ^{τ δ τ τ}

[ ] x n

[ 2] [ 2]

x − δ n+

[0] [ ] x δ n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-4 -1 2 3

-3 -2 0 1 4

2 -4 -3 -2 -1 0 1 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

-1

-4 -3 -2 0 1 2 3 4

[ 1] [ 1]

x − δ n+

[1] [ 1]

x δ n−

[2] [ 2]

x δ n− n

n

n

n

n

NOTION DE REPONSE IMPULSIONNELLE 55

 La réponse impulsionnelle h[n] d’un système est la réponse du système lorsque le signal d’entrée est l’impulsion de Dirac δ[n] :

 Dans le cas des systèmes linéaires et invariant en temps (SLIT), la réponse impulsionnelle h[n] permet de caractériser totalement le système.

La Transformée de Fourier ou la transformée en z de la réponse impulsionnelle permettent de déduire :

• La réponse en fréquence ou gain complexe H(f)

• Le gain en fonction de fréquence |H(f)| ou la phase arg(H(f)

• La fonction de transfert H(z)

δ[n] h[n]

S

EQUATION DE CONVOLUTION 56

 Considérons un système S linéaire et invariant en temps (LTI) de réponse impulsionnelle h[n]. Nous pouvons donc écrire :

entrée

S

δ[n] h[n]

δ[n-k] h[n-k]

x[k] δ[n-k] x[k] h[n-k]

x[n]

S

 D’où l’équation de convolution discrète qui lie signal d’entrée, signal de sortie et réponse impulsionnelle d’un système LIT :

[ ] [ ]

k

x k δ n k

+∞

=−∞

∑ − ^{[ ] [ ]}

k

x k h n k

+∞

=−∞

∑ −

[ ] [ ] [ ]

k

y n x k h n k

+∞

=−∞

= ∑ −

EQUATION DE CONVOLUTION 57

 Un changement de variable permet de convertir l’équation de convolution sous une autre forme:

 Notation de la convolution

 L’équation de convolution permet de calculer la sortie du système pour n’importe quelle entrée x[n]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

k k

y n x k h n k h k x n k

+∞ +∞

=−∞ =−∞

= ∑ − = ∑ −

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

y n = x n ∗ h n = h n ∗ x n

CALCUL PRATIQUE DE LA CONVOLUTION 58

y[n] ?

x[n]

h[n]

S

y[n] = x[n] * h[n]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

x[k]

0 4 k

0 k

k

0

0 k

0 k

0 k

h[n-k]

h[n-k]

h[n-k]

h[n-k]

h[n-k]

n-6 n

n-6

n-6

n-6

n-6 n<0

n n

n n 0<n<4

4<n<6

6<n<10

n>10

x[n]

0 1 2 3 4 5

1

0 1 2 3 4 5 6 7

h[n]

1 2 4 8 16

32 64

CALCUL PRATIQUE DE LA CONVOLUTION 59

 Cas usuel :

• soit x de durée N, h de durée M, avec N≥M (signaux à durée finie)

• x et h ont des amplitudes nulles pour les temps (indices) négatifs (signaux causaux) alors l’équation de convolution se simplifie :

 On note que la durée de y[n] est N+M-1 : la convolution ‘allonge’ les signaux

[0] [0] [0]

[1] [0] [1] [1] [0]

[2] [0] [2] [1] [1] [2] [0]

...

[ ] [ 1] [ 1] .... [ ] [ ] ... [ ] [0]

...

[ 2] [ 1] [ 1]

y x h

y x h x h

y x h x h x h

y i x i M h M x i M j h M j x i h

y N M x N h M

=

= +

= + +

= − + − + + − + − + +

+ − = − −

1 1

0 0

0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

N M

k k

N M

y n x k h n k h k x n k pour n à

− −

= =

+ −

= ∑ − = ∑ − =

ILLUSTRATION DE LA CONVOLUTION DE SIGNAUX CONTINUS 60

( ) ( ) * ( )

( ) ( )

( ) ( ) y t x t h t

x h t d

h x t d

τ τ τ

τ τ τ

+∞

−∞

+∞

−∞

=

= −

= −

∫

∫

τ h(τ)

τ h(t₀-τ)

t₀>0

t₀

0 0

( ) ( ) ( )

y t ^+∞x τ h t τ τd

−∞

=

∫

τ x(τ)h(t₀-τ)

t

( ) ( ) * ( )

y t x t h t

=

t₀

τ x(τ)

t₀

y(t) ?

x(t)

S

h(t)

PROPRIETES DE LA CONVOLUTION 61

 Commutativité

 Mise en cascade

 Distributivité

 Élément neutre, définition de la réponse impulsionnelle d’un système LIT

 Attention, ces propriétés ne sont valables que pour les systèmes LIT

[ ] [ ] [ ] [ ] x n ∗ h n = h n ∗ x n

1 2 1 2

[ ] { [ ] [ ]} { [ ] [ ]} [ ] x n ∗ h n ∗ h n = x n ∗ h n ∗ h n

1 2 1 2

[ ] { [ ] [ ]} { [ ] [ ]} { [ ] [ ]}

x n ∗ h n + h n = x n ∗ h n + x n ∗ h n

[ ] n h n [ ] h n [ ]

δ ^{∗ =}

PROPRIETES DE LA CONVOLUTION 62

 Fonction propre d’un système LIT

Soit un système LIT de réponse impulsionnelle h(t)

Considérons le signal d’entrée x(t) exponentielle complexe (phaseur pur) :

Calculons la sortie correspondante à ce système:

H(f₀) est une constante complexe dont la valeur ne dépend que de f₀ et de la réponse impulsionnelle du système

Résultat extrêmement important

On dit que l’exponentielle complexe est une fonction propre des systèmes SLIT

0 0

( )

x

t = e

2 0( )

( ) ( ) ( ) ( )

y t x t h t

h τ e

d τ

−∞

= ∗ = ∫

0 0 0

2 2 2

( ) (

)

jf t jf jf t

e

h τ e

d τ e

H f

−∞

= ∫ =

EXEMPLES DE SYSTEMES LIT 63

 RETARD PUR

 On déduit que la réponse impulsionnelle de ce système est

x[n] y[n]=x(n-n₀)

retard n₀

0 0

[ ] [ ] [ ] [ ]

y n = x n n − = x n ∗ δ n n −

h[n]

0 n

n

1

h[n]=δ[n-n

]

EXEMPLES DE SYSTEMES LIT 64

 MOYENNEUR TEMPOREL

 On déduit que la réponse impulsionnelle de ce système est

x[n] Moyenneur sur y[n]

M échantillons

1

0

[ ] [ ]

k M

k

h n

δ n k

=

= ∑ −

0 1

M-1

h[n]

1 1 1

0 0 0

[ ] [ ] [ 1] [ 2] .... [ 1]

[ ] [ ] [ ] [ ]* [ ]

k M k M k M

k k k

y n x n x n x n x n M

x n k x n δ n k x n δ n k

= − = − = −

= = =

= + − + − + + − +

= ∑ − = ∑ ∗ − = ∑ −

PROPRIETES DES SYSTEMES 65

 LINEARITE

 INVARIANCE EN TEMPS

 CAUSALITE

Définition générale : La sortie d’un système causal ne dépend que des valeurs présentes ou passées de l’entrée

 STABILITE

Définition générale: Un système est stable si à toute entrée d’amplitude bornée correspond une sortie bornée

DESCRIPTION DES SYSTEMES EQUATIONS AUX DIFFERENCES 66

 L’expression la plus générale reliant entrée x[n] et sortie y[n] d’un système LIT est de la forme :

 Si on considère un système causal d’ordre N, l’expression peut s’écrire :

 Exemple d’un système du 1^er ordre : y[n]=x[n] +Ky[n-1]

 Exemple d’un système du 2^ème ordre : y[n]=x[n] +a1y[n-1]+ a2y[n-2]

[ ] [ ]

k k

k k

b x n k a y n k

+∞ +∞

=−∞ =−∞

− = −

∑ ∑

0 1

[ ] [ ] [ ]

M N

k k

k k

y n b x n k a y n k

= =

= ∑ − − ∑ −

67

Transformée de Fourier des signaux continus

TRANSFORMÉE DE FOURIER DES SIGNAUX CONTINUS 68

 Principe : représenter un signal continu comme la combinaison linéaire de signaux de base (pour faciliter l'analyse des signaux et des systèmes)

 Choix des signaux de base

• Ils doivent pouvoir représenter une large classe de signaux

• La réponse d'un système linéaire invariant à un signal de base doit être simple

 Signaux de base :

• Ensemble des exponentielles complexes de la forme:

• Elle constituent les fonctions propres des systèmes linéaires invariants

ft

e j ^{2 π}

x(t) h(t) y(t)

2 2 2

j ft

( )

e

h τ e

d τ He

−∞

∫ =

2 ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

y t x t h t

h τ x t τ τ d

h τ e

d τ

−∞ −∞

= ∗ = ∫ − = ∫ =

 Conséquence - interprétation :

• un système linéaire invariant ne change pas la fréquence d'une sinusoïde

 On a donc: y(t) = H x(t)

x(t) h(t) y(t)

SERIES DE FOURIER 69

 Exemple

• x(t) fréquence fondamentale f₀,

a₀ = 1, A₁=1/2, A₂=1, A₃=2/3 et A_k=0 pour k > 3 Θ_k = 0 ∀ k

 Rappel sur les séries de Fourier :

• x(t) : signal réel, périodique, de période T₀ = 1/f₀ (vérifiant les conditions de Dirichlet)

• x(t) peut s'écrire sous la forme :

( ) cos( 2

)

1

0 k

k

k

kf t

A a

t

x = + ∑

π + θ

=

 Interprétation:

• Équivalence des représentations dans le domaine temporel et dans le domaine de Fourier

1 1

1/2 2/3

0 f 0 2 f 0 3 f 0 A _k

f

=

0 20 40 60 80 100 120

-1 0 1 2 3 4

SERIES DE FOURIER 70

1

0

2 cos(6 )

3 π f t

cos(4 π f t 0 )

-60 -40 -20 0 20 40 60

0 1 2

-60 -40 -20 0 20 40 60

-0.5 0 0.5

-60 -40 -20 0 20 40 60

-1 0 1

-60 -40 -20 0 20 40 60

-1 0 1

-60 -40 -20 0 20 40 60

-2 0 2 4

0

1 cos(2 )

2 π f t

=

x(t) +

+ +

1 1

1/2 2/3

0 f 0 2 f 0 3 f 0 A _k

f

SERIES DE FOURIER 71

 Equivalence des formulations

 Ecriture des séries de Fourier sous forme d'exponentielles complexes harmoniques:

• x(t) : signal réel, périodique, de période T₀ = 1/f₀ (vérifiant les conditions de Dirichlet)

• x(t) peut s'écrire sous la forme : où les a_k sont les coefficients complexes de la série

t kf j k

k

e a t

x ( )

∑

−∞

=

=

t kf j k

t k kf j k

ke a e

a t

x ( )

∑

∑

−∞

=

∗− +∞ −

−∞

=

∗

∗ = =

t kf j k

ke a t

x( )

∑

−∞

=

=

)

( )

( t x t x

=

a/ x(t) réel:

k

k a

a^∗₋ = a_k^∗ = a_−k

donc et (1)

] [

)

( ^{0 2 0 2 0}

1

2 0 j kf t

t k kf j k

t k kf j k

ke a a e a e

a t

x ^{π π} ₋ ^{− π}

+∞

= +∞

−∞

=

+ +

=

=

∑ ∑

b/ Réécriture de x(t) (2)

) (

2 )

( ^{2 0}

1

0 j kf t

k

ke a a

t

x

∑

=

ℜ +

= c/ (1) dans (2):

j k

k

k A e

a ^θ

2

= 1

( ) cos( 2

)

1

0 k

k

k

kf t

A a

t

x = + ∑

π + θ

=

d/ en posant on retrouve:

SERIES DE FOURIER 72

 Calcul des coefficients de la série :

 Exemple

Parties réelles et imaginaire

Re(a_k)

a_k

0 0

0 0

Module et Phase

a₂ a₁

a₀ a_-1

a_-2

2

4 (1− j) 1 ²

4 (1+ j) 2 j

1+1 j

2 1−1

1 ₄

2 1 ^jπ

4 e 2 1 ^jπ

e

− jπ

e ^0.15 2

5 ₋ π

e^0.15j

2 5

Im(a_k)

Θ(a_k)

||a_k||

x(t)

t kf j k

k

e a t

x ( ) ∑

−∞

=

= x t e dt

a T

k T ⁰

0

2 0

)

1 (

∫

=

SERIES DE FOURIER 73

 Influence de la période :

2 T0

− 2

T0

T1

− T₁ T₀ T0

− 2T₀

2T0

−

1 0 4T T =

1 0 8T T =

1 0 16 T T =

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

-1 0 1 2

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

-1 0 1 2

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

-1 0 1 2

a

a

a

TRANSFORMÉE DE FOURIER DES SIGNAUX CONTINUS 74

 Définitions

dt e

t x f

X ^+∞ ∫ ^{j ft}

∞

−

= ( ) − ^{2 π}

)

( x t ^+∞ ∫ X f e ^{j ft} df

∞

−

= ( ) ^{2 π} )

(

Transformée de Fourier Transformée de Fourier inverse

 Représentation fréquentielle d’un signal x(t) par X(f), ou « spectre » du signal

 Notations – conventions

X(f) = TF[x(t)] et x(t) = TF

[X(f)]

x(t) TF X(f)

 Conditions de convergence = Conditions de Dirichlet:

1. x(t) est absolument intégrable

2. x(t) a un nombre fini de maxima et de minima dans tout intervalle fini

3. x(t) a un nombre fini de discontinuités dans tout intervalle fini. De plus, chacune de ces discontinuités doit être finie.

∞

∫ <

+∞

∞

−

dt

t

x ( )

TRANSFORMÉE DE FOURIER DES SIGNAUX CONTINUS 75

 Exemple : e^-at u(t)

 Transformée de Fourier:

1

f j f a

X 2

π

) 1

( = +

Im(X(f)) Re(X(f))

f

f

Θ(X(f))

||X(f)||

f

π

−

π

f

1/a 1/a

TRANSFORMÉE DE FOURIER DES SIGNAUX CONTINUS 76

 Contenu fréquentiel

Cas 2

TF

||X(f)||

-50 0 50

0 2 4 6 8 10 12

||X(f)||

-100 -50 0 50 100

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x(t)

Cas 1

TF

-20 -10 0 10 20

0 1 2 3 4 5 6

-100 -50 0 50 100

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

x(t) ||X(f)||

TRANSFORMÉE DE FOURIER : PROPRIETES 77

 Symétries :

• Si x(t) est un signal réel, on a X(-f) = X*(f), d’où les propriété suivantes

Re[X(-f)] = Re[X(f)] Paire

Im[X(-f)] = - Im[X(f)] Impaire Θ[X(-f)] = -Θ[X(f)] Impaire

||X(-f)|| = ||X(f)|| Paire

• Si de plus x(t) est un signal pair, alors X(f) est purement réelle

Exemple: e^-at u(t)

Exemple: e^-a|t|

 Décalage temporel :

ft0

e

 Conséquence : un décalage temporel n'affecte pas le module de la T.F.

Exemples: δ(t) et δ(t-t₀)

x(t-t

) TF X(f)

 Linéarité

x(t) TF X(f)

y(t) TF Y(f)

ax(t)+by(t) TF aX(f)+bY(f)

Si et on a :

 Changement d’échelle :





 



 a X f a TF 1

x(at)