Stanislas
DS n°00
Devoir Surveillé
2h MPSI / PCSI
07 septembre 2013
L'usage des calculatrices est interdit.
Un grand soin devra être apporté à la présentation et à la rédaction.
Si vous constatez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, signalez-le et poursuivez votre composition en expliquant les raisons des initiatives que vous serez amenés à prendre.
Exercice 1. (Entiers)
/4
Pour chacun des couples d'entiers suivants, déterminer celui qui est le plus grand. La réponse doit être argumentée.
/1 1. n1= 7(77) etn2 = (77)7. /1 2. m1 = 10100 etm2= 10010. Écrire les rationnels suivants sous forme de fractions irréductibles.
/1 3. q3 =
7 2
3 −
3 2 5 3
−154 . /1 4. q4 = 32− 197 −537. Exercice 2. (Nombres Complexes)
/6
Écrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants.
/1 1. z1= (2 + 5i)2. /1 2. z2= (3 + 2i)3.
/1 3. z3 = √2+3i
2−i. /1 4. z4 = 2+i1 −i−21 . Écrire les nombres suivants sous forme trigonométrique.
/1 5. z5= (3 +i√
3)4. /1 6. z6 = 1+i
√
√ 3 3−i. Exercice 3. (Équations)
/7
/1 1. Dans une ferme composée exclusivement de canards et de moutons sains (non estropiés ni transgéniques), on dénombre 100 têtes et 278 pattes. Déterminer le nombre de canards et le nombre de moutons dans cette ferme.
/1 2. Déterminer l'ensembleE2 des nombres complexesz tels que3z(z+i) =−iz.
/1 3. Soitaun nombre réel. Déterminer l'ensembleE3 des réelsxtels que||x−a| −2|=−√ x2+ 3. /2 4. Déterminer l'ensembleE4 des réelsλtels quez= (λ+i)(λ+ 5−i(λ−7))soit réel.
/2 5. Soit m un nombre complexe. Déterminer l'ensemble E5 des nombres complexes z tels que
mz
mz+1 =mz.
Exercice 4. (Résolution d’(in)équations) /11
/2 1. Déterminer l'ensembleF1 des réelsx tels que 1
1−x 6 xx+32−1. /3 2. Déterminer l'ensembleF2 des réelsx tels quex4+x2 66.
/6 3. Soitaun nombre réel. Déterminer l'ensembleF3 des réelsx tels que ax+3ax 64x.
Exercice 5. (Étude de fonctions) /4
Soit n un entier naturel. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer leur domaine de dénitionD, leur domaine de dérivabilité D0 et leur fonction dérivée.
Stanislas 1/3 MPSI / PCSI
/1+1 1. f1 : x7→ln(x+√
x). /1+1 2. f2 : x7→xn√
x, oùnest un entier naturel.
Stanislas 2/3 MPSI / PCSI
Exercice 6. (Calculs d’intégales) /8
Déterminer les intégrales suivantes. Les résultats devront être présentés sous forme la plus simple possible.
/1 1. I1 =
Z 1
0
(x−1)2dx.
/1 2. I2 =
Z π
2
π 4
cosx sin2x dx.
/1 3. I3 =
Z 1 0
e2x 1 +e2x dx.
/1 4. I4=
Z 1
0
√ 2x
1 +x2 dx.
/2 5. I5=
Z π
0
cos2x dx.
/2 6. I6=
Z 1 0
e2x 1 +ex dx.
Stanislas 3/3 MPSI / PCSI
