Seconde Période 3 Soutien maths n /2017 Travail sur les notions vues en cours pour mieux les comprendre et savoir les utiliser.

Seconde Période 3 Soutien maths n°1 2016/2017 Travail sur les notions vues en cours pour mieux les comprendre et savoir les utiliser

Vecteurs

Exercice 1 :

1. Donner, par lecture graphique, les coordonnées des vecteurs 

u ,  v et 

w 2. Tracer le vecteur 

t ayant pour coordonnées 

 4 1

Exercice 2 :

Sur la figure ci-contre on a placé des points A, B et C.

1. Placer les points E et F tels que :

CE = 

BA et 

FB = 

BC

2. Montrer, en utilisant des vecteurs, que le quadrilatère AEBF est un parallélogramme.

Exercice 3:

Soit un carré ABCD de centre O, construire les points M, N et P tels que : 1. AM = ^ AO + ^ AB ^

2. DN = ^ CO ‒ ^ AD ^

3. CP = ^ DC + ^ AD + ^ CO ^

Exercice 4 :

Dans le plan muni d’un repère, on considère les points A (3 ; 5), B (‒ 2 ; 1), R (4 ; 2) et T (9 ; 6) 1. Déterminer par le calcul les coordonnées des vecteurs AB et ^ TR . ^

2. Que peut-on en déduire pour un certain quadrilatère dont vous préciserez le nom ? Justifier.

Exercice 5 :

Dans un repère du plan, on considère les points A (1 ; 3), B (0 ; 4) et C (5 ; 0)

Problème de synthèse sur le repérage et les vecteurs :

Dans le repère orthonormal (O ;  i , 

j ) ci-contre, soient les points : A (– 2,5 ; 2,5), B (2 ; 3), C (– 2 ; – 2) et D (2,5 ; – 1,5)

1. Faire une figure que vous complèterez au fur et à mesure de l’exercice.

2. Montrer que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

3. On a AD = 41 a) Calculer BC.

b) Que peut-on en déduire pour le parallélogramme ABDC.

4. Déterminer les coordonnées du centre M du cercle circonscrit au quadrilatère ABDC.

5. Calculer les coordonnées du point E, image de B par la translation de vecteur 

OD . 6. Construire le point F tel que 

DF = 

OA + 

OC – 

DO .

Seconde Période 3 Soutien maths n°1 2016/2017 Travail sur les notions vues en cours pour mieux les comprendre et savoir les utiliser

Eléments de correction

Exercice 1 :

1. Donner, par lecture graphique, les coordonnées des vecteurs 

u ,  v et 

w

u

 

 

‒ 4

2  v

 

 

0 2 

w

 

 

1

‒ 3 2. Tracer le vecteur 

t ayant pour coordonnées 

 4 1

Exercice 2 :

Sur la figure ci-contre on a placé des points A, B et C.

1. Placer les points E et F tels que :

CE = 

BA et 

FB = 

BC

2. Montrer, en utilisant des vecteurs, que le quadrilatère AEBF est un parallélogramme.

On sait que : 

CE = 

BA donc CEAB est un parallélogramme

Donc



AE = 

BC

Or



BC = 

FB

On en déduit que



AE = 

FB et don c que AEBF est un parallélogramme

Exercice 3:

Soit un carré ABCD de centre O, construire les points M, N et P tels que :

1. AM = ^ AO + ^ AB ^

2. DN = ^ CO ‒ ^ AD = ^ CO + ^ DA ^

3. CP = ^ DC + ^ AD + ^ CO ^

Exercice 4 :

Dans le plan muni d’un repère, on considère les points A ( 3 ; 5 ), B( ‒ 2 ; 1) , R ( 4 ; 2) et T ( 9 ; 6) 1. Déterminer par le calcul les coordonnées des vecteurs 

AB et 

TR .

AB

 

  x

B

^{‒ x}A

y

B

‒ y_A 

AB

 

 

(‒ 2)

‒ 3

1

‒ 5 

AB

 

 

‒ 5

‒ 4

TR

 

  x

R

‒ xT

y

R

‒ y_T 

TR

 

 

4

‒ 9

2

‒ 6

TR

 

 

‒ 5

‒ 4

2. Que peut-on en déduire pour un certain quadrilatère dont vous préciserez le nom ? Justifier.

AB

 

 

‒ 5

‒ 4 et

TR

 

 

‒ 5

‒ 4 Les deux vecteurs 

AB et 

TR ont les mêmes coordonnées donc les vecteurs 

AB et

TR sont égaux.

On en déduit que le quadrilatère ABRT est un parallélogramme

Exercice 5 :

Dans un repère du plan, on considère les points A (1 ; 3), B (0 ; 4) et C (5 ; 0) Déterminer les coordonnées du point H tel que 

AH + 

BH = 

AC AH  

 









A H

A H

y y

x

x et BH ^ 

 









B H

B H

y y

x

x AC ^ 

 









A C

A C

y y

x

x

AH  



 







 3 1

H H

y

x et BH ^ 



 







 4 0

H H

y

x AC ^ 

 







 3 0

1 5

AH +  BH ^ 

 

















) 4 ( ) 3 (

) 0 ( ) 1 (

H H

H H

y y

x

x AC ^ 

 





3 4

AH +  BH ^ 



 







 7 2

1 2

H H

y x

AH +  BH = ^ AC équivaut à ^













 3 7 2

4 1 2

H H

y x







 4 2

5 2

H H

y

x







 2

5 , 2

H H

y

x donc H(2,5 ; 2)

Problème de synthèse sur le repérage et les vecteurs :

Dans le repère orthonormal (O ;  i , 

j ) ci-contre, soient les points : A (– 2,5 ; 2,5), B (2 ; 3), C (– 2 ; – 2) et D (2,5 ; – 1,5)

1. Faire une figure que vous complèterez au fur et à mesure de l’exercice.

2. Montrer que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme.

AB

 

 

2 – ( 2,5)

3 – 2,5 donc 

AB

 

 

4,5

0,5

CD

 

 

2,5 – ( 2)

 1,5 – ( 2) donc 

CD

 

 

4,5

0,5 Les vecteurs 

AB et 

CD ont les mêmes coordonnées donc ils sont égaux.

Donc ABDC est un parallélogramme.

3. On a AD = 41 a) Calculer BC.

BC = = = = . Donc BC = AD b) Que peut-on en déduire pour le parallélogramme ABDC.

ABDC est un parallélogramme ayant ses diagonales de même longueur donc ABDC est un rectangle.

4. Déterminer les coordonnées du centre M du cercle circonscrit au quadrilatère ABDC.

ABDC est un rectangle, donc le centre de son cercle circonscrit est le milieu de ses diagonales.

M est le milieu du segment [AD],







 

 

2 2

D A M

D A M

y y y

x x x









 



 

2 ) 5 , 1 ( 5 ,

2 2

5 , 2 5 , 2

M M

y x











2 1 0

M M

y x

Autre rédaction possible :M

 

 

xA + xD

2 ; yA + yD

2 M

 

 

– 2,5 + 2,5

2 ; 2,5 + (‒ 1,5)

2 M (0 ; 1

2) 5. Calculer les coordonnées du point E, image de B par la translation de vecteur 

OD On sait que E est l' image de B par la translation de vecteur 

OD donc 

BE = 

OD Or 

BE 



 









B E

B E

y y

x

x et 

OD 

 









O D

O D

y y

x x

BE 



 







 3 2

E E

y

x et 

OD 



 









 0 5 , 1

0 5 , 2

BE = 

OD équivaut à















5 , 1 3

5 , 2 2

E E

y x

x_E 22,5

6. Construire le point F tel que 

DF = 

OA + 

OC – 

DO . 

DF = 

OA + 

OC + 

OD .