Chapitre n°10 : « Les triangles » Chapitre n°10 : « Les triangles »
I. Rappels
Vocabulaire
• A, B et C sont les sommets.
• [AB], [BC] et [AC] sont les trois côtés du triangle.
• BAC, BCA et ABC sont les trois angles du triangle.
• Le point C est opposé au côté [BA]. De même, [BC] est opposé à A. Triangles particuliers
• Un triangle isocèle est un triangle qui a deux côtés de même longueur.
Dans ce triangle, [AB] est la base et C est le sommet principal.
• Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit.
Le côté situé en face de l'angle droit est appelé l'hypoténuse. C'est le côté le plus long.
• Un triangle équilatéral est un triangle qui possède trois côtés de même longueur.
• Un triangle quelconque est un triangle qui n'est pas isocèle, rectangle ou équilatéral.
II. Inégalité triangulaire ; constructions de triangle
1/ Inégalité triangulaire
D'après le schéma ci-contre, on peut dire que :
• la distance Sarcelles/Saint-Denis est inférieure à la distance Saint-Denis/Gonesse plus
Gonesse/Sarcelles.
On considère maintenant un triangle IJK. En raisonnant de la même façon, on trouve que :
• IJIKKJ
• IKIJJK
• KJKIIJ
Ces trois inégalités sont appelés les inégalités triangulaire.
2/ Construction connaissant les trois côtés
Construis le triangle ABC tel que AB=5cm, BC=3,8 cm et CA=6,5 cm.
• Il y a quatre triangles possibles. On remarque qu'il y a des symétries.
• Par rapport à AC : ABC et AB ' C ; A1B1C1 et A1B '1C1.
• Par rapport à la médiatrice de [AC] : ABC et A1B1C1 ;
AB ' C et A1B '1C1.
• Par rapport au point O : ABC et A1B '1C1 ; A1B1C1 et AB ' C.
Méthode
• On commence par tracer le côté le plus long.
• A l'aide du compas, on trace deux arcs de cercle qui se croisent, avec les deux autres longueurs.
• On relie pour former le triangle complet.
3/ Construction connaissant deux côtés et un angle
Construire un triangle ABC tel que AB=7,9cm, AC=3,8 cm et BAC=55°.
Méthode
• On commence par le côté le plus long.
• A l'aide du rapporteur, on construit l'angle dont la mesure est donnée.
• A l'aide du compas, on prend la 2ème longueur, on fait un arc de cercle sur le 2ème côté de l'angle.
• On relie pour former le triangle complet.
III. Somme des angles d'un triangle
Activité
Trace un « grand » triangle puis mesure le plus précisément possible ses trois angles.
Après avoir mesurer, faisons la somme des mesures des angles :
BACBCAABC=1162044=180
A 1° près, on trouve un résultat proche de 180°. On admet la propriété suivante...
Propriété
Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à 180°. Application
Cette propriété permet de calculer des mesures d'angles dans un triangle.
Dans le cas général, il faut connaître au moins deux mesures.
• Dans le triangle ci-contre, calcule la mesure manquante :
SOL=180–4823
SOL=180–71
SOL=109°
(oublié... à intégrer dans le II)
4/ Connaissant un côté et ses deux angles adjacents
Construire un triangle ABC tel que AB=7,5cm, CAB=42° et CBA=55°.
Méthode
• On commence par tracer le côté dont on connaît la longueur.
• A ses extrémités, on construit les angles de mesure donnée.
IV. Triangles particuliers
1/ Isocèle
Vocabulaire
Les angles à la base sont les deux angles construits à l'aide de la base.
Exemple
Dans le triangle ci-contre, les angles à la base sont FAI et
FIA
Propriété
Dans un triangle isocèle, les angles à la base sont de même mesure.
Application
On considère un triangle IJK isocèle en K tel que IJK=47°. Calcule la mesure des deux autres angles.
• KIJ =47° car KIJ et KJI sont les deux angles à la base.
• IKJ=180–4747=180–94=86° Car la somme des angles est égale à 180°.
Application bis
On considère un triangle TSF isocèle en T tel que SFT=50°. K
I J
47°
F
T S
50°
• Les deux angles à la base FTS et FST sont de même mesure, donc...
• FST=FTS=180–50÷2=130÷2=65°
2/ Triangle rectangle
Rappel
Deux angles sont dits complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à 90°. Propriété
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires.
Exemple
RSA est un triangle rectangle en R tel que RAS=32°. Donne les mesures manquantes.
• SRA=90°
• RSA=90–32=58° car les deux angles sont complémentaires !
3/ Triangle équilatéral
Propriété
Les trois angles d'un triangle équilatéral mesurent 60°.
R A
S
32°
V. Droites remarquables dans un triangle
1/ Médiatrices et cercle circonscrit
Rappels
La médiatrice d'un segment est la droite qui passe par le milieu du segment et qui est perpendiculaire.
Application au triangle
Pour mardi 8/06
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• n°52 p 180 Pour mercredi 9/06 Contrôle !!
