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Fiche d’approfondissement 01 :
Equation différentielle linéaire d’ordre un à coefficients constants avec second membre dépendant du temps
Lorsqu’un système est soumis à une tension d’entrée e(t), la modélisation aboutie à une équation différentielle de la forme :
𝑑𝑠 𝑑𝑡+𝑠
𝜏 = 𝐻!×𝑒 𝑡 𝜏
Equation différentielle linéaire du premier ordre à coefficient constant avec second membre dépendant du temps.
𝐻! : Amplification statique, sans unité
𝜏 : Constante de temps et a donc pour unité la seconde.
𝑒 𝑡 étant un échelon de tension, on obtient pour 𝑡 > 0𝑠 : 𝑑𝑠
𝑑𝑡+𝑠
𝜏 =𝐻!×𝐸 𝜏 Régime transitoire et régime permanent :
La solution de l’équation différentielle est la somme de deux termes : 𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 +𝑠! 𝑡
• 𝑠! 𝑡 : solution générale de l’équation homogène associée !!!"!+!!!= 0 qui a pour forme :
𝑠! 𝑡 =𝐴×exp −𝑡
𝜏 , 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐴:𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 à 𝑑é𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒𝑟
• 𝑠! 𝑡 : solution particulière de l’équation complète. Pour un échelon de tension e(t), on a une
solution continue :
𝑠! 𝑡 =𝐻!×𝐸 La solution générale devient alors
𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 +𝑠! 𝑡 𝑠 𝑡 = 𝐴×exp −𝑡
𝜏 +𝐻!×𝐸 Pour un filtre passe d’ordre 1 :
Dans la plupart des cas, le signal de sortie à 𝑡=0𝑠 est nul : 𝑠 𝑡 =0 = 𝐴×exp −0
𝜏 +𝐻!×𝐸 =0 𝐴×1+𝐻!×𝐸 =0
Donc, on obtient : 𝐴 =−𝐻!×𝐸 La solution générale devient alors
𝑠 𝑡 = 𝐴×exp −𝑡
𝜏 +𝐻!×𝐸 𝑠 𝑡 = −𝐻!×𝐸×exp −𝑡
𝜏 +𝐻!×𝐸 On factorise par 𝐻!×𝐸 et on obtient la solution de l’équation différentielle :
𝑠 𝑡 = 𝐻!×𝐸(1−exp −𝑡 𝜏 )
2 Graphiquement, on obtient :
𝑠 𝑡 est représentée en trait plein.
𝑒 𝑡 est représentée en pointillé.
On distingue deux régimes :
• Régime transitoire : t < 3𝜏, 𝑠 𝑡 = 𝑠! 𝑡 +𝑠! 𝑡
• Régime permanent (continu): t > 3𝜏, 𝑠! 𝑡 +𝑠! 𝑡 ≈𝑠! 𝑡 = 𝑠 𝑡 = 𝐻!×𝐸 RT RP
