Résoudre l’équation différentielle :

PanaMaths Mars 2016

Résoudre l’équation différentielle :

2 3

'' '

y − − y e y e =

Indication : on effectuera le changement de variable x = ln u .

Analyse

Nous avons affaire à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients non constants et second membre non nul. Le changement de variable proposé permet de se ramener à une équation différentielle nettement plus simple…

Résolution

On a : x=lnu⇔ =u e^x puis : ' dy du dy ^x dy dy

y e u

dx dx du du du

= = × = × = × et

2 2

2

2 2

'' d dy du d dy dy d y dy d y

y u u u u u

dx dx dx du du du du du du

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝ ⎟⎠= × ⎜⎝ × ⎟⎠= ×⎜⎝ + × ⎟⎠= × + × .

Il vient alors, en tenant compte de u≠0 :

2 3

'' ' ^{x x}

y y e y e u dy

du

− − =

⇔ × ² d y²₂ dy

u u

du du

+ × − × ^{2 3}

2 2

u y u d y y u

du

− × =

⇔ − =

Nous nous sommes ainsi ramenés à une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants dont l’équation caractéristique s’écrit : r²− =1 0. Ses solutions étant

−1 et 1, les solutions de l’équation homogène

2

2 0

d y y

du − = sont les fonctions u6αe^u+βe^−u où α et β sont deux constantes réelles.

On note que la fonction u6−u est solution de

2 2

d y y u du − = . Les solutions de l’équation

2 2

d y y u

du − = sont donc les fonctions de la forme :

u u

u6− +u αe +βe⁻ où α et β sont deux constantes réelles.

PanaMaths Mars 2016

En revenant à la variable initiale, on conclut finalement que l’équation y''− −y' e y^2x =e^3x admet pour solutions les fonctions :

x x

x e e

x6− +e αe +βe⁻ où α et β sont deux constantes réelles.

Résultat final

Les solutions de l’équation y''− −y' e y^2x =e^3x sont les fonctions :

x x

x e e

x6− +e αe +βe⁻

où α et β sont deux constantes réelles.