I. V ALEURS PROPRES , VECTEURS PROPRES

Réduction des matrices et des endomorphismes

I. V ALEURS PROPRES , VECTEURS PROPRES

1) RDonner un exemple d’un endomorphisme d’un espace vectoriel sur C qui n’admet aucune valeur propre.

2) Soitf un endomorphisme d’unK-espace vectoriel etn∈N^∗. On suppose que 0est valeur propre defⁿ. Montrer que0 est valeur propre def.

3) Soituun automorphisme d’unK-espace vectorielE. Montrer queSp u⁻¹

=

λ⁻¹, λ∈Sp (u) . 4) RSoit E=C^∞(R,R). On considère les endomorphismesD etP deE définis par

D(f) =f⁰ et P(f) =

x7→

Z x 0

f

Déterminer le noyau, l’image, les valeurs propres et les espaces propres deD,P,D◦P etP◦D.

5) SoitE=`^∞(R)l’espace des suites réelles bornées, et∆ etΘles endomorphismes deE définis par :

∆ (u) =v avecvn=un+1−un et Θ (u) =wavecw0=u0et wn =un+un−1

2 Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de∆et deΘ.

6) SoitE=R2n[X], oùn∈N^∗. Montrer que l’applicationP 7→ X²+ 1

P⁰−2nXP induit un endomorphisme f deE.

Déterminer les éléments propres def. On pourra, au choix :

• partir de la résolution de l’équation différentielle(E) : x²+ 1

y⁰−(2nx+λ)y= 0,

• ou raisonner sur les zéros des “polynômes propres”.

7) FRSoitE=Rn[X],A∈R[X], etB ∈R[X]de degrén+ 1, scindé surRà racines simples.

(a) Montrer que l’applicationf qui à un polynômeP associe le reste de la division euclidienne de AP parB est un endomorphisme deE.

(b) Déterminer les éléments propres def.

8) Soit la matriceCp,q =





Up,q (0) Up,q

(0) (0) (0) Up,q (0) Up,q



∈Mn(R), oùUp,qest la matrice deMp,q(R)dont tous les éléments sont égaux à1.

Chercher les éléments propres deCp,q.Cp,q est-elle diagonalisable ?

II. D IAGONALISATION

1) À quelles conditions les matrices suivantes sont-elles diagonalisables ?

A=









1 a b c 0 1 d e 0 0 1 f 0 0 0 1









B=









1 a b c 0 1 d e 0 0 2 f 0 0 0 2









2) Diagonaliser les matrices suivantes dansM_n(R):

A=





3 −1 1

0 2 0

1 −1 3



, B=





2 −2 1 2 −3 2

−1 2 0



, C=









1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1









3) FSoitA∈Mn(K), de rang1. Montrer queA²= tr (A). En déduire une condition nécessaire et suffisante pour queAsoit diagonalisable, et déterminer ses éléments propres.

4) FR Soit (a, b) ∈ R², et A =











a b . . . b b . .. ... ...

... . .. ... b b . . . b a











∈ Mn(R). Calculer A^k, pour k ∈ N, et éventuellement

k∈Z,

• en considérant Acomme combinaison linéaire de deux matrices commutant,

• en supposant queA^k est de la même forme queA, et en raisonnant par récurrence,

• en trouvant un polynôme annulateur simple deA.

5) FRMatrices circulantes

(a) Soit S ∈Mn(C)définie par Si,j = 1 si j−i= 1 ( modn),0 sinon. Montrer que S est diagonalisable dansMn(C).

(b) En déduire la diagonalisabilité de la matricecirculante: A=





a₀ a₁ a₂... an−1

an−1 a0 a1... an−2

an−2an−1a₀... an−3

... ... ... ...

a1 a2 a3... a0



∈Mn(C), et une factorisation de son déterminant.

6) (a) FRSoit A∈Mp(R)diagonalisable, etΛ =

λ₁ λ₁ λ₃ λ₄

diagonalisable.

Montrer queB=

λ1A λ1A λ₃A λ₄A

est diagonalisable.

(b) Généralisation : soitA= [ai,j]∈Mn(C),B ∈Mp(C). On noteA∗B=







a_1,1B . . . a_1,nB ... ... a_n,1B . . . a_n,nB





∈Mnp(C).

i. Montrer que(A∗B) (A⁰∗B⁰) = (AA⁰)∗(BB⁰). En déduire queA∗B est inversible si et seulement siAet Ble sont.

ii. Déterminer le spectre deA∗B, en déduire

χ

III. S OUS - ESPACES STABLES

1) (a) RSoientuetv deux endomorphismes d’unK-espace vectorielE. On suppose queuetvcommu- tent. Montrer queImuetKerusont stables parv. Réciproque ?

(b) R Soit p un projecteur et f un endomorphisme d’un K-espace vectoriel E. Montrer quep et f commutent si et seulement siImpetKerpsont stables parf.

2) Déterminer les sous-espaces vectoriels stables pour l’endomorphisme de dérivation dansK[X].

3) FSoit uet v deux endomorphismes d’unK-espace vectoriel E de dimensionn ∈N^∗. On suppose que u◦v=v◦u, et que vest nilpotent.

On désire montrer quedet (u+v) = detuen raisonnant par récurrence sur la dimensionn.

(a) Traiter le casn= 1et le casv= 0.

(b) Pour n > 2 et v 6= 0, former les matrices de u et v dans une base adaptée à Imv. Conclure en appliquant l’hypothèse de récurrence aux restrictions de uet v àImv(après avoir justifié que cela a un sens).

4) KSoit EunK-espace vectoriel muni d’une baseB,f ∈L(E)etH un hyperplan de E. (a) Déterminer la dimension du sous-espace vectoriel{u∈E^∗ / u(H) ={0}}.

(b) Montrer que si H a pour équation u(x) = 0, alors H est stable par f si et seulement siu◦f est colinéaire àu.

(c) SoitAet Lles matrices dansBde f etu. Montrer queH est stable par f si et seulement si^tL est vecteur propre de^tA.

(d) Application : déterminer les plans stables par l’endomorphisme deR³ dont la matrice dans la base canonique est

A=





3 −2 −4

−1 1 1

1 −2 −2





IV. E XERCICES PLUS THÉORIQUES

1) RMontrer qu’il n’existe pas de matrice A∈M5(R)telle queA⁴+A²+I5= 0.

2) SoitE={M ∈M2(Z)/ det (M) = 1}.

(a) Quelle est la structure deE ?

(b) Montrer que siA∈EvérifieA^p=I₂ pour un certainp∈N^∗, alorsA¹2 =I₂.

3) FRSoitE unK-espace vectoriel de dimension finien∈N^∗, de base(e₁, . . . , e_n). Siσest une permuta- tion de[[1, n]](un élément deSn, quoi !), on notefσ l’endomorphisme deE définie parf(ei) =e_σ(i)pour 16i6n.

Étudier les valeurs propres, les vecteurs propres et la diagonalisabilité defσ.

4) FSoit A∈Mn(C),ΦAet ΨA les endomorphismes deMn(C)définis parΦA(M) =AM etΨA(M) =M A.

(a) Montrer queAetΦA ont les mêmes valeurs propres, et préciser les sous-espaces propres deΦAen fonction de ceux deA.

(b) Déterminer les valeurs propres deΨ_A.

(c) Montrer queΦA etΨA sont diagonalisables si et seulement siAl’est.

5) FRSoitAetB deux matrices deMn(C). On souhaite établir l’égalité

χ

χ

(a) Montrer cette égalité dans le cas oùA∈GLn(C).

(b) PourA /∈GLn(C), justifier que pourp∈Nassez grand,A+¹_pIn ∈GLn(C). En déduire que l’égalité est encore vraie pour Anon inversible.

6) FFRéduction simultanée

(a) SoitAetB deux matrices deMn(C), diagonalisables et commutant (AB=BA). Montrer queAetB sont co-diagonalisables (i.e. il existeP ∈GLn(C)telle queP⁻¹AP etP⁻¹BP sont diagonales).

(b) Montrer que le résultat s’étend au cas d’une famille(Ai)_i∈I de matrices diagonalisables et commu- tant deux-à-deux (on pourra raisonner par récurrence soit sur la dimension des matrices, soit sur la dimension de l’espace engendré par la famille de matrices).

(c) KDémontrer un résultat similaire lorsqu’on remplace “diagonalisable” par “trigonalisable”.

7) SoientA,B etM trois matrices deM_n(C)telles qu’il existe λetµcomplexes vérifiant : (∀k∈ {1,2,3}) M^k=λ^kA+µ^kB

(a) Montrer queM est diagonalisable.

(b) Montrer que pour toutn∈N,Mⁿ=λⁿA+µⁿB.

8) FMatrices stochastiques Soit A= (a_i,j)₁

6i,j6n ∈M_n(R)telle que a_i,j >0 pour tout couple(i, j), et

n

X

j=1

a_i,j = 1 pour tout indice i. Une telle matrice est ditestochastique.

(a) Montrer que1est valeur propre deA.

(b) Soitλune valeur propre complexe deA. Montrer que|λ|61, et que siλ6= 1, alorsλest une racine de l’unité.

Indication : considérer la composante de valeur absolue maximale d’un vecteur propre deAassocié à la valeur propreλ.

(c) K On suppose que a_i,j >0 pour tout couple (i, j). Montrer que toutes les valeurs propres réelles ou complexes de A sont dans un disque fermé de rayon strictement plus petit que 1, et tangent intérieurement en1au cercle trigonométrique.

9) FUne démonstration du théorème de Cayley-Hamilton

On considère unK-espace vectorielE de dimension finien >0 et un endomorphismeudeE.

(a) Soit x∈E\{0}. On lui associeFx= Vect uⁱ(x)

i∈N et on dit queFx est lesous-espace cycliquedeE associé àuet engendré parx.

On notek_x= max

r∈N^∗ / x, u(x), . . . , u^r−1(x)

est libre .

i. Montrer queFxadmet une baseex= uⁱ(x)

06i6kx et qu’il est stable paru.

ii. Exprimer le polynôme caractéristique de l’endomorphismevxdeFxinduit paruen utilisant les coordonnées de u^kx(x) dans la baseex. Le comparer au polynôme normaliséµx qui engendre l’idéal I_x={P ∈K[X]/ P(u) (x) = 0}deK[X].

(b) Déduire de ce qui précède une démonstration du théorème de Cayley-Hamilton : le polynôme caractéristique deuannuleu.

V. R TD : UN EXEMPLE D ’ UTILISATION DE LA DIAGONALISATION

SoitE un espace vectoriel de dimension4,B= (e1, e2, e3, e4)une base deE, etf l’endomorphisme deE dont la matrice dans la baseBest :

A=









−2 1 −5 4

−3 2 −5 4

−3 1 −4 4

−3 2 −7 6









1) Étude def

(a) Calculer le polynôme caractéristique deA. En déduire les valeurs propres def. Peut-on à ce stade déterminer sif est diagonalisable ?

(b) Déterminer les espaces propres def. En déduire quef est diagonalisable.

(c) CalculerAⁿ pour toutn∈Z.

2) Application 1 : suites récurrentes

Soit(un),(vn),(wn)et (xn)quatre suites deC, vérifiant

(∀n∈N)











un+1=−2un+ vn−5wn+ 4xn

v_n+1=−3un+ 2v_n−5w_n+ 4x_n w_n+1=−3u_n+ v_n−4w_n+ 4x_n xn+1=−3un+ 2vn−7wn+ 6xn

(a) Calculeru_n,v_n,w_n etx_n en fonction deu₀,v₀,w₀,x₀etn. (b) À quelle condition portant suru0,v0,w0etx0ces suites

• restent-elles bornées ?

• convergent ? vers0?

3) Application 2 : système différentiel

Soitu,v,wetxquatre fonctions deRdansRdérivables vérifiant

(∀n∈N)











u⁰ =−2u+ v−5w+ 4x v⁰ =−3u+ 2v−5w+ 4x w⁰ =−3u+ v−4w+ 4x x⁰ =−3u+ 2v−7w+ 6x

(a) Montrer queu,v,wetxsont en fait de classeC^∞surR.

(b) Trouver la solution générale de ce système différentiel, puis montrer qu’il en existe une et une seule vérifiantu(0) =u0,v(0) =v0,w(0) =w0et x(0) =x0.

4) Application 3 : commutant deA

SoitC(A) ={B∈M4(C), AB=BA}lecommutant deA.

(a) Montrer queC(A)est un sous-espace vectoriel deM₄(C)contenantR[A] ={P(A), P ∈R[X]}. Quelle en est la dimension ? Peut-on en déduire queR[A](C(A)?

(b) Trouver un élémentB deC(A)qui ne soit pas un polynôme enA.