MPSIA 2012/2013
Programme de colles de math´ematiques, semaine 29 (du lundi 10 au vendredi 14 juin)
lyc´ee Chaptal
Fonctions de deux variables r´ eelles Int´ egrales doubles
D´efinition de l’int´egrale d’une fonction de deux variables continue sur un rectangle : fonctions en escaliers, fonctions continues, th´eor`eme de Fubini.
D´efinition d’un domainehhsimpleii(qui peut ˆetre d´ecrit par des relationsa6x6bet α(x)6y 6β(x) ou par des relations similaires inversant x et y). Int´egrale d’une fonction continue sur un tel domaine, th´eor`eme de Fubini. Exemples, calculs d’aires, de moments d’inertie.
Changement de variables dans les int´egrales doubles : affine (u=u0+ax+byet v=v0+cx+dy) et polaires. Exemples.
Formule donnant l’aire d´elimit´ee par une courbe ferm´ee orient´ee (d´efinie en coordonn´ees param´etriques ou par une ´equation polaireρ=ρ(θ)).
Exercices, avec des exemples d’int´egrales triples.
R´ evision : trac´ e des arcs param` etres plan Questions de cours
Q.1 D´emontrer qu’une fonction continue sur un rectangle [a, b]×[c, d] est born´ee et atteint ses bornes.
Q.2 [facultatif]D´emontrer le th´eor`eme Heine pour une fonction continue sur une partie ferm´ee et born´ee de R2. Q.3 D´emontrer que siI est un intervalle deRet f est continue surI×[a, b], alorsx7→
Z b
a
f(x, t) dt est continue surI.
Q.4 [facultatif]D´emontrer le th´eor`eme de Fubini pour l’int´egration d’une fonction continue sur un pav´e [a, b]×[c, d].
Q.5 Calcul deI= Z Z
D
e−y2 dxdy, o`uD={(x, y)∈R2|06x63 et x3 6y61}.
Q.6 Calcul deI= Z Z
D
xy dxdy, o`uD={(x, y)∈R2|16x+y62 et −16x−y62}.
Q.7 Calcul de l’aire d´elimit´ee par la cardio¨ıde (et trac´e de la courbe !)ρ(θ) =a(1 + cos(θ)).
Q.8 Calcul de trois fa¸cons diff´erentes de l’aire d´elimit´ee par une ellipse.
Q.9 D´eterminer le volume de la boule euclidienne deR3.
Q.10 [facultatif]D´eterminer le volume d´efini par un ellipso¨ıde : x2 a2 +y2
b2 +z2 c2 61.
A venir : propri´` et´es m´etriques des courbes param´etr´ees, ellipse.
