Chapitres 14 et 15 : Fonctions réelles de deux variables réelles et Fonctions continues

Université Paris Dauphine Année universitaire 2013-2014

Première année DEGEAD Cours-TD de MR. BEY

Analyse Réelle, Optimisation libre et sous contrainte Groupes 12 & 17

Cours 11 : 04/11/2013

Chapitres 14 et 15 : Fonctions réelles de deux variables réelles et Fonctions continues

1. Fonctions de deux variables : Fonctions partielles, Graphe d’une fonction de deux va- riables.

2. Exemples fondamentaux : Exemples économiques, Exemples mathématiques (Fonc- tion affine, Projections, Fonctions polynômes).

3. Relation d’ordre : Sur les images et les variables.

4. Représentations graphiques.

5. Opérations algébriques et composition.

Chapitre 16 : Dérivées partielles du premier ordre

1. Fonctions de deux variables : Fonctions partielles, Graphe d’une fonction de deux va- riables.

2. Opérations sur les dérivées partielles.

3. Fonctions de classe C¹.

Solutions TD 11

D´eriv´ees partielles du premier ordre Exercice 1.50

a) f(x, y) = ^x−y_x+y 1.

Df ={(x, y)∈R² : x+y 6= 0} (1) 2. f estC¹car les fractions rationnelles (c’est-`a-dir les quotients de deux polynˆomes)

sont de classe C¹ sur le sous-ensemble de R² o`u leur d´nominateur ne s’annule pas.

3.

∂

∂xf(x, y) = 1

x+y − x−y (x+y)²

∂

∂yf(x, y) =− x−y

(x+y)² − 1 x+y

(2)

b) f(x, y) = Ax^αy^β =Ae^αln((x)e^βln((y), (α, β ∈R, α >0, β > 0) 1.

D_f ={(x, y)∈R² : x >0, y > 0} (3) 2. f est C¹ car produit de fonctions d’une variable (g(x) = x^α et h(y) = y^β) de

classe C¹ (Lemme d’extension).

3.

∂

∂xf(x, y) =Aαx^α−1y^β

∂

∂yf(x, y) = Aβx^αy^β−1

(4)

c) f(x, y) = ln

xy x²+y²

1.

D_f ={(x, y)∈ R² : x6= 0, y 6= 0, xy > 0} (5) 2. f est C¹ car compos´ee f = g ◦φ de g(u) = ln (u) fonction de classe C¹ sur R^∗+ et de φ(x, y) = _x2^xy+y² fonction de classe C¹ sur R^2∗, donc sur D_f, telles que l’image φ(R²+^∗) ⊂ R^∗+, on peut donc appliquer le corollaire 16.11, et en d´enduire que f est de classe C¹ sur D_f =R²+^∗.

3.

∂

∂xf(x, y) = x²+y² xy

− 2x²y

(x²+y²)² + y x²+y²

∂

∂yf(x, y) = x²+y² xy

− 2xy²

(x²+y²)² + x x²+y²

(6)

1

d) f(x, y) = (y+ 2)^x+1 =e(x+1) ln (y+2)

1.

D_f ={(x, y) ∈R² :y + 2>0} (7) 2. Posons g(y) = ln (y+ 2),h(x) =x+1,g2(x, y) = ln (y+ 2),h1(x, y) = (x+1), φ(x, y) = (x+ 1) ln (y+ 2) et F(u) = e^u. La fonction g est de classe C¹ sur ]−2,+∞[ et la fonctionhest de classe C¹ surR; ce sont des fonctions usuelles d’une variable. On en d´eduit, par application du lemme d’extension, que:

• la fonction g2 est de classe C¹ sur R×]−2,+∞[=Df

• la fonction h₁ est de classe C¹ sur R² donc sur D_f

De plus φ = h₁g₂ donc φ est de classe C¹ sur D_f comme produit de deux fonctions de est de classe C¹ sur D_f. Enfin on constate que f = F ◦φ. La fonction exponentielle est de classe C¹ sur R et la fonction φ est de classe C¹ sur D_f. En outre φ(D_f) ⊂ R, on peut donc appliquer le corollaire 16.11, et en d´enduire que f est de classe C¹ sur D_f.

3.

∂

∂xf(x, y) = (y+ 2)^x+1log(y+ 2)

∂

∂yf(x, y) = (1 +x)(2 +y)^x

(8)

2