Examen intra Examen final x
Sigle Groupe Trimestre
ECO4272 50 20171
Titre Introduction `a l’´econom´etrie
Enseignant(e) Steve Ambler
Consignes importants
1. Ecrivez lisiblement.´
2. Justifiez vos r´eponses. La majorit´e des points seront attribu´ees pour le raisonnement.
3. Je ne pourrai accorder des pointspour une mauvaise r´eponse sans justification. Voir le point 2.
4. La documentation n’est pas permise.
5. Ne simplifiez pas vos r´eponses. Cela va me permettre de suivre plus facilement votre raisonnement. Voir le point 2.
6. Les calculatrices ne sont pas permises. Voir le point 5.
7. Si je vous demande si une statistique calcul´ee est significative,sans consulter les tables, vous pouvez donner une r´eponse approximataive. Je vous donne par contre les ´egalit´es suivantes :Φ (−1.645)≈0.05
Φ (−1.96) ≈0.025etΦ (−2.57)≈0.005, o`u la fonctionΦ (·)est la loi normale centr´ee r´eduite cumul´ee.
1 R´eponses courtes (20 points)
1. Voici un exemple d’hypoth`ese jointe pour un mod`ele de r´egression multiple aveck = 6:
H0 :β2 = 1 , β3 =β4−2β5, .
Est-ce que cette hypoth`ese jointe peut ˆetre test´ee avec une statistiqueF ? Expliquez clairement pourquoi ou pourquoi pas.
2. Vous lisez un article qui donne les r´esultats d’estimation d’un mod`ele de r´egression multiple. Le tableau de r´esultats donne les valeurs estim´ees des coefficients avec leurs ´ecarts types individuels. Vous voulez effectuer un test d’hypoth`ese concernant la significativit´e d’un sous-ensemble de ces coefficients. Est-ce qu’il est possible de construire une statistiqueF pour effectuer le test ? Expliquez. Expliquez comment vous pourriez faire pour effectuer ce test.
3. Lors de l’ajout d’une variable explicative suppl´ementaire `a un mod`ele de r´egression, la mesure de l’ajustementR2peut augmenter ou diminuer.
Est-ce que cet ´enonc´e est vrai, faux ou incertain ?Expliquez clairement.
4. L’omission d’une variable explicative significative d’un mod`ele de r´egression multiple a forc´ement pour r´esultat que les coefficients de toutes les autres variables explicatives sont biais´es. Vrai ou faux ? Expliquez en d´etail. (De quels facteurs d´epend le biais dans le cas d’une variable omise ?)
2 Propri´et´es d’estimateurs (25 points)
Soit l’estimateurβ˜d’un vecteur de param`etresβ d’un mod`ele de r´egression lin´eaire multiple.
1. Si l’estimateurβ˜est non biais´e, cela veut dire en notation math´ematique que . . .
2. Expliquez en mots ce que veut dire la notation suivante : β˜−→p β.
3. Par rapport `a la sous-question pr´ec´edente, si on r´eussit `a montrer que l’estimateurβ˜est non biais´e et que sa variance tend vers z´ero lorsque la taille de l’´echantillon de donn´ees tend vers l’infini, est-ce que ceci est suffisant pour montrer que
β˜−→p β?
4. Expliquez en mots la diff´erence entre β˜−→p β
et
β˜−→d N
β,Σ˜β . o`uΣ˜β est la matrice variance-covariance deβ.˜
5. Donnez la d´efinition (alg´ebrique) de l’erreur quadratique moyenne d’un estimateur.
6. Expliquez en mots pourquoi au lieu de montrer que β˜−→d N
β,Σ˜β il est plus habituel de montrer plutˆot que
√n
β˜−β d
−
→N
0, nΣ˜β ,
o`unest le nombre d’observations dans l’´echantillon utilis´e pour calculer l’estimateurβ.˜
7. D´ecrivez en mots ce que voudrait dire l’efficience de l’estimateurβ˜dans le contexte de la r´egression multiple.
8. Sous quelles conditions est-ce que l’estimateur MCO deβest efficient dans le mod`ele de r´egression multiple ? Est-ce que ces conditions font partie des hypoth`eses de base du mod`ele de r´egression multiple, au moins la version du mod`ele pr´esent´ee dans le chapitre 6 du manuel ?
3 Mod`ele de r´egression multiple (35 points)
Soit le mod`ele de r´egression multiple estim´e avec des donn´ees sur 872 magasins.
Les variables sont :
— Y : la variable d´ependante, la quantit´e de caf´e vendue en logs.
— X1: le log du prix du caf´e.
— X2: le log du prix du th´e.
— X3: le log des ventes totales du magasin.
— X4: le prix moyen des maisons dans le quartier du magasin, en logs.
— X5: le revenu moyen des individus dans le quartier du magasin, en logs.
Le mod`ele estim´e est
Yi =β0+β1X1i+β2X2i+β3X3i+β4X4i+β5X5i+ui Les r´esultats de l’estimation (par la commandelmenR) sont comme suit.
Coefficient Variable Estim´e Ecart type´
βˆ0 Constante 4.53 0.571
βˆ1 X1 -1.439 0.466
βˆ2 X2 0.341 0.120
βˆ3 X3 0.937 0.102
βˆ4 X4 0.198 0.132
βˆ5 X5 0.288 9.194
R2 : 0.18 R¯2 0.18
SSR 645.26
F (5,866) 3.41e+2 Prob> F 0.000
1. Montrez comment calculer l’´ecart type de la r´egression.
2. ´Ecrivez les statistiques que l’on pourrait utiliser pour tester la
significativit´e de chacun des coefficients individuels (tests d’hypoth`ese simples). ´Ecrivez les valeurs num´eriques des ces statistiques,sans les simplifier. ´Ecrivez explicitement quelle est l’hypoth`ese nulle test´ee dans chaque cas.
3. Sansutiliser de table, est-ce les coefficients individuels sont significatifs `a un niveau de 10% ? De 5% ? De 1% ? Expliquez.
4. Quelle est l’hypoth`ese nulle test´ee par la StatistiqueF dans la deuxi`eme partie du tableau ? Quelle est l’hypoth`ese alternative ?
5. ´Ecrivez cette hypoth`ese (jointe) sous forme matricielle.
6. D´ecrivez comment tester l’hypoth`ese que les ventes de caf´e sont
proportionnelles aux ventes totales du magasin (´elasticit´e unitaire).Sans utiliser de table, est-ce que l’hypoth`ese nulle est rejet´ee ?
7. Expliquez comment tester l’hypoth`ese de la significativit´e des deux derni`eres variables (le prix des maisons et le revenu des individus) avec une approche matricielle.
8. Expliquez comment construire la statistiqueF de la sous-question pr´ec´edente en estimant une version contrainte du mod`ele.
9. Par rapport `a la sous-question pr´ec´edente, quelle hypoth`ese faut-il faire concernant le terme d’erreur du mod`ele pour que cette approche soit valide ?
10. Expliquez bri`evement comment construire l’intervalle de confiance de 95% pour l’impact du prix du th´e sur les ventes du caf´e.
11. Quelle serait la forme g´eom´etrique de l’ensemble de confiance de 95%
pour les impacts des deux derni`eres variables. Vous ne devez pas fournir une formule alg´ebrique.
4 Mod`eles de r´egression non lin´eaires (20 points)
Soit le mod`ele de r´egression non lin´eaire suivant :
Yi =β0+β1X1i+β2X2i+β3X3i+β4X2i2+β5X1iX2i+ui Vous avez estim´e ce mod`ele et vous voulez pr´edire l’impact surYi d’une augmentation deX2i.
1. Est-ce que ce mod`ele est non lin´eaire dans les param`etres ? Expliquez clairement en donnant une r´eponse math´ematique ainsi qu’en mots.
2. D´erivez une expression alg´ebrique pour le changement pr´edit
∆Yi ≡Y2−Y1suite `a un changement de la valeur de la deuxi`em variable explicative deX21`aX22,pour des valeurs constantesdeX1et deX3, donn´ees parX11etX31. Notez queY2se r´ef`ere `a la valeur deY apr`es le changement de la valeur deX1, etY1se r´ef`ere `a sa valeur avant le changement.X21se r´ef`ere `a la valeur initiale deX2 etX22 `a sa valeur apr`es le changement. Vous pouvez utiliser
X222 = (X21+ ∆X2)2
=X212+ 2×∆X2×X21+ (∆X2)2
≈X212+ 2×∆X2 ×X21 si∆X2 est suffisamment petit.
3. En ´ecrivant∆Y /∆X2sous la formeδ0β, ´ecrivez une expression pour l’intervalle de confiance autour du changement pr´edit.
4. ´Ecrivez un mod`ele ´equivalent qui permet de calculer l’´ecart type du changement pr´edit comme l’´ecart type d’un des coefficients estim´es.
Ecrivez l’intervalle de confiance pour le changement pr´edit bas´e sur cette´ estimation.
5. ´Ecrivez sous forme matricielle l’hypoth`ese nulle jointe `a tester qui permettrait de calculer l’´ecart type du changement pr´edit. ´Ecrivez l’intervalle de confiance pour le changement pr´edit bas´e sur cette m´ethode.
5 Biais d ˆu `a des variables omises (20 points en bonus)
Soit le mod`ele de r´egression multiple donn´e par
Y =Xβ+U =X1β1+X2β2+U
avec la notation habituelle, et o`uX1etX2 regroupent des sous-ensembles des variables explicatives. Vous estimez le mod`ele donn´e par
Y =X1β1+ ˜U o`uU˜ ≡X2β2+U.
1. ´Ecrivez le probl`eme de minimisation `a r´esoudre pour trouver l’estimateur MCO deβ1.
2. ´Ecrivez les conditions du premier ordre pour ce probl`eme de minimisation.
3. ´Ecrivez une expression alg´ebrique pour l’estimateur MCO deβ1,βˆ1. Notez qu’il n’est pas forc´ement n´ecessaire d’avoir r´epondu aux deux premi`eres sous-questions pour r´epondre `a celle-ci.
4. D´erivez une expression pour le biais dˆu aux variables omises.
5. `A quoi doit converger (en probabilit´e) ce biais ?
6. Donnez une interpr´etation en mots de cette expression pour le biais.
7. Qu’est-ce qu’on peut dire concernant le signe du biais ? Expliquez.
N’oubliez pas ici queβ1etβ2sont desvecteursde param`etres.
document cr´e´e le : 19/04/2017
