Contribution à la modélisation micromécanique de la plasticité de matériaux cristallins poreux

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Contribution à la modélisation micromécanique de la

plasticité de matériaux cristallins poreux

Joseph Paux

To cite this version:

Joseph Paux. Contribution à la modélisation micromécanique de la plasticité de matériaux cristallins poreux. Mécanique [physics]. Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2017. Français. �NNT : 2017PA066115�. �tel-01624268�

TH`

ESE DE DOCTORAT DE

L’UNIVERSIT´

E PIERRE ET MARIE CURIE

Sp´ecialit´e M´ecanique

´Ecole Doctorale de Sciences m´ecaniques, acoustique, ´electronique et robotique de Paris Institut Jean Le Rond D’Alembert

Pr´esent´ee par

Joseph PAUX

Pour obtenir le grade de

Docteur de l’universit´e Pierre et Marie Curie

Contribution `a la mod´elisation microm´ecanique de la

plasticit´e de mat´eriaux cristallins poreux

Directeur Renald Brenner

Soutenance pr´evue le 13 juillet 2017 devant le jury compos´e de :

M. Kostas Danas Rapporteur Charg´e de recherche CNRS HDR, LMS, Palaiseau M. Vincent Monchiet Rapporteur Maˆıtre de Conf´erence HDR, MSME, Marne-la-Vall´ee M. Maxime Sauzay Examinateur Chercheur CEA HDR, Saclay

M. Samuel Forest Examinateur Directeur de recherche CNRS, Mines ParisTech, Evry M. Djim´edo Kondo Examinateur Professeur, ∂’Alembert, Paris

Résumé de la thèse:

Ce travail de thèse s’inscrit dans le cadre de la description de la rupture ductile des métaux. L’influence couplée de la plasticité cristalline et de la porosité est abordée à l’aide d’approches micromécaniques. À partir des travaux existants en rupture ductile, notamment pour les matériaux isotropes poreux, et en nous appuyant sur les études traitant des monocristaux poreux, nous proposons une approche originale de la prédiction du comportement de divers matériaux cristallins poreux.

Une approche numérique de cette question a tout d’abord était menée. Des outils d’homogénéisation numérique ont été développés et mis en oeuvre pour prédire la résistance de monocristaux présentant une répartition périodique de cavités. Une étude de l’influence de l’orientation cristalline sur la surface de plasticité, sur l’écrouissage et sur l’évolution de la porosité a été effectuée pour différentes structures cristallines.

Ces résultats numériques ont servi de référence pour évaluer la pertinence d’un modèle analy-tique approché que nous avons proposé. Celui-ci se fonde sur une approche par analyse limite inté-grant l’anisotropie plastique cristalline. Notre critère a pu être ainsi validé pour différentes situa-tions d’anisotropie du monocristal. Une extension permettant de décrire l’influence de l’écrouissage, en tenant compte de l’hétérogénéité de la déformation plastique, a été proposée. Notre critère a ensuite été utilisé dans un contexte polycristallin afin de décrire la plasticité de métaux présentant une porosité intragranulaire.

Enfin, le cas particulier de monocristaux n’obéissant pas à la loi de Schmid (plasticité cristalline non associée) est considéré. Celle-ci n’entrant pas dans le cadre classique de l’analyse limite, l’approche utilisant le bipotentiel proposée par de Saxcé [1992] a été choisie. Un bipotentiel spécifique au modèle de plasticité cristalline non associée de Qin et Bassani [1991] pour le cristal cubique à faces centrées a été développé. Celui-ci est utilisé dans le cadre de l’homogénéisation par bipotentiel afin d’obtenir un critère de plasticité et une loi d’écoulement. Les outils numériques développés pour la plasticité associée ont été adaptés à la plasticité non associée, et des simulations numériques ont été réalisées pour confronter la loi de comportement obtenue.

Table des matières

Notation

9

Introduction générale

12

I

Analyse bibliographique

14

1.2.2 Cadre variationnel pour l’homogénéisation . . . 17

1.2.3 Méthode variationnelle et modèles dérivés . . . 18

1.2.4 Analyse limite, modèle de Gurson et extensions . . . 19

1.2.5 Plasticité non associée et approche par bipotentiel . . . 20

2 Plasticité cristalline 21 2.1 Origine physique . . . 21

2.2 Critère de plasticité des monocristaux . . . 22

2.3 Loi d’écrouissage . . . 24

2.4 Plasticité cristalline non associée . . . 25

3 Monocristal poreux 26 3.1 Homogénéisation numérique . . . 27

3.2 Modèles analytiques . . . 28

4 Plan 29

II

Étude de la plasticité de monocristaux poreux par

homogénéisa-tion numérique

31

1.1.1 Problème considéré . . . 33

1.1.2 Méthode FFT . . . 33

1.1.3 Convergence . . . 35

1.2 Calcul élastoplastique sans écrouissage . . . 38

1.2.1 Algorithme . . . 39

1.2.2 Détermination de la contrainte locale (Étape 2) . . . 40

1.3 Calcul élastoplastique avec écrouissage . . . 43

2 Calculs FFT de la réponse plastique de monocristaux poreux 46 2.1 Généralités . . . 46

2.2 Influence de la structure cristalline . . . 48

2.2.1 Structures cristallines étudiées . . . 48

2.2.2 Champs de déformation . . . 49

2.2.3 Estimation du seuil de plasticité . . . 50

2.3 Influence de la microstructure . . . 58

2.3.1 Influence sur le champ de déformation . . . 59

2.3.2 Influence sur la surface de résistance . . . 59

2.4 Influence sur l’écrouissage . . . 61

2.4.1 Comportement macroscopique typique . . . 61

2.4.2 Résultats et observations . . . 63

3 Extension de la méthode FFT aux calculs en grandes transformations 65 3.1 Loi de comportement élastoplastique en grandes transformations . . . 65

3.1.1 Loi générale . . . 65

3.1.2 Hypothèse des petites déformations élastiques . . . 66

3.2 Grandes transformations - Méthodes FFT existantes . . . 66

3.2.1 Résolution explicite avec mise à jour de la géométrie . . . 66

3.2.2 Résolution sur la configuration initiale . . . 67

3.3 Méthode proposée . . . 67

3.3.1 Méthode FFT en grandes transformations . . . 67

3.3.2 Mise à jour des propriétés des points d’intégration . . . 68

3.4 Résultats obtenus . . . 69

3.4.1 Convergence de la méthode . . . 69

3.4.2 Calculs en déformation macroscopique imposée . . . 70

III

Estimation de la surface de résistance des monocristaux poreux

par analyse limite

77

1 Yield limit for porous single crystals 78

1.1 Theoretical Gurson type approach . . . 78

1.1.1 Kinematical limit analysis . . . 78

1.1.2 Support function for single crystals . . . 79

1.1.3 Domain considered and trial field approximation . . . 80

1.1.4 Gurson-type yield criterion using quadratic regularization . . . 81

1.1.5 Numerical assessment of the quadratic criterion with periodic computations of porous FCC crystals of Han et al. [2013] . . . 82

1.1.6 Theoretical improvements of the quadratic criterion . . . 83

1.2 Assessment of the generalized criterion with numerical computations . . . 86

1.2.1 Assessment with numerical limit analysis . . . 87

1.2.2 Assessment with existing numerical results from Han et al. [2013] for the FCC crystal . . . 88

1.2.3 Assessment with FFT numerical simulations . . . 93

1.3 Comparison with other analytical models . . . 102

2 Numerical simulations of porous polycrystals using analytical criterion 104 2.1 Problem considered . . . 104

2.2 Implementation of the criterion . . . 105

2.3 Numerical results . . . 107

2.3.1 2D numerical results . . . 107

2.3.2 3D numerical results . . . 112

3 Extension of the criterion to hardenable porous crystals 113 3.1 Theoretical consideration . . . 113

3.1.1 General approach . . . 113

3.1.2 Effective hardening functions ˜τc k(E) and ˜κ(E) . . . 114

3.1.3 Approximate overall yield criterion for linear hardening . . . 115

3.1.4 Approximate overall yield criterion for nonlinear hardening . . . 117

3.2 Assessment with respect to numerical computations . . . 118

3.2.1 Assessment with respect to small strain numerical results . . . 118 3.2.2 Assessment with respect to previously existing finite strain numerical results 121

4 Conclusion 124

IV

Monocristal poreux avec plasticité non associée

126

1 Homogénéisation en plasticité non associée 127

1.1 Incompatibilité avec le cadre standard généralisé . . . 127

1.2 Concept de bipotentiel . . . 128

1.3 Définition d’un bipotentiel macroscopique . . . 129

1.4 Dérivation d’un bipotentiel pour le monocristal avec plasticité non associée . . . 131

1.4.1 Comportement du monocristal avec plasticité non associée . . . 131

1.4.2 Construction d’un bipotentiel pour la plasticité cristalline non associée . . . 133

1.5 Dérivation d’une loi de comportement pour le monocristal CFC poreux avec plasti-cité non associée . . . 137

1.5.1 Homogénéisation théorique approchée . . . 137

1.5.2 Champs tests utilisés . . . 138

1.5.3 Dérivation d’un critère de plasticité macroscopique . . . 140

1.5.4 Dérivation d’une loi d’écoulement macroscopique . . . 143

2 Résultats numériques et confrontations 145 2.1 Adaptation de la méthode FFT à la plasticité non associée . . . 145

2.2 Généralités . . . 146

2.3 Résultats et confrontations . . . 150

3 Application au monocristal avec plasticité associée 153 3.1 Lien avec les méthodes par analyse limite en plasticité associée . . . 153

3.2 Comparaison des critères de résistance dérivés et confrontation avec des résultats numériques . . . 155

3.2.1 Observations qualitatives . . . 155

3.2.2 Comparaison avec des simulations numériques . . . 155

4 Conclusion 159

Conclusion générale et perspectives

161

Annexes

172

A Algorithme élastoplastique 172

A.1 Plasticité sans écrouissage - Algorithme du gradient projeté . . . 172 A.2 Plasticité avec écrouissage - Méthode de Newton projetée . . . 173

B Méthode FFT en grandes transformations - Calculs auxiliaires 175

B.1 Calcul de la contrainte . . . 175 B.2 Interpolation des propriétés intragrilles . . . 176

C Plastic strain field and porosity evolution 177 D Expression des fonctions auxiliaires pour le critère de plasticité en plasticité

Notation

Pour faciliter la lecture de ce manuscrit, l’ensemble des notations utilisées est regroupé ici. Celles-ci sont regroupées par domaines.

Plasticité cristalline

µ, µ_k Tenseur de Schmid

µ∗_k Tenseur de Schmid équivalent (plasticité non associée)

τ, τk Cission résolue

τ_k∗ Cission résolue équivalente (plasticité non associée) τ0, τkc Cission résolue critique

γk Glissement sur un système

h Matrice d’écrouissage τc

pyr Cission résolue critique, systèmes pyramidaux (cristal hexagonal)

τc

bas Cission résolue critique, systèmes basaux (cristal hexagonal)

τ_prismc Cission résolue critique, systèmes prismatiques (cristal hexagonal) f_preg Loi de Schmid régularisée, p l’ordre de régularisation

Opérateur sur les tenseurs d’ordre 2 Pour un tenseur d’ordre 2 quelconque t, différentes

notations sont utilisées. Ces notations peuvent changer selon que le tenseur correspond à une contrainte ou à une déformation.

t0 Déviateur de t

tm Trace de t

teq Équivalent de Von Mises

tH_eq Équivalent de Hill

Déformation

GT Grandes transformations PT Petites transformations

X GT Position sur la configuration actuelle X0 GT Position sur la configuration initiale

U GT Déplacement

F GT Tenseur des déformations L GT Tenseur taux de déformation v Vitesse de déplacement

d PT Tenseur taux de déformation linéarisé dh PT −2er⊗ er+ eθ⊗ eθ+ eϕ⊗ eϕ

 PT Tenseur de déformation linéarisée p _{PT Déformation plastique linéarisée} E PT Déformation macroscopique

D PT Taux de déformation macroscopique Loi de comportement

σ Tenseur des contraintes de Cauchy

Σ Tenseur des contraintes macroscopique de Cauchy

ΣI Contrainte principale maximale macroscopique π Tenseur des contraintes de Piola-Kirchoff

T Triaxialité

L Paramètre de Lode

f, F Fonction seuil de plasticité

H Tenseur d’anisotropie de Hill

C Ensemble des contraintes admissibles

V(C) Le cas échéant, ensemble des sommets de l’espace C u Potentiel en contrainte

U Potentiel en contrainte macroscopique

π Fonction d’appui / potentiel de dissipation plastique

Π Fonction d’appui / potentiel de dissipation plastique macroscopique

b, B Bipotentiel

C Tenseur d’élasticité

K Projecteur sur l’espace des déviateurs

J Projecteur sur l’espace des tenseurs hydrostatiques

k Module d’élasticité isostatique µ Module de cisaillement

¯h _{Coefficient d’écrouissage macroscopique équivalent}

Géométrie et opérateurs associés

Géométrie associée

Ω, |Ω| Domaine considéré et volume de ce domaine

∂Ω Frontière de Ω

ω, |ω| Zone vide et volume associé

f, F Porosité avant et après transformation

a, A Sphère creuse Rayon intérieur avant et après transformation b, B Sphère creuse Rayon extérieur avant et après transformation

r, R Sphère creuse Rayon d’un point matériel avant et après transformation

hgiΩ Moyenne de g sur Ω

ˆg, F (g) Cellule périodique Transformée de Fourier de g

ξ Cellule périodique Variable de l’espace de Fourier Γ0 Cellule périodique Tenseur de Green

Introduction générale

Un des principaux modes de rupture dans les matériaux métalliques est dû à la croissance, suivie de la coalescence, de cavités au cours de la déformation plastique (rupture ductile). Celles-ci sont soit présentes initialement, soit créées par la décohésion de phases précipitées ou des effets d’environnement (irradiation, par exemple). Leur cinétique de croissance et leur évolution mor-phologique sont régies par la plasticité environnante.

La prévision de l’évolution de la ténacité de structures métalliques requiert donc le dévelop-pement de lois constitutives permettant de décrire la réponse plastique de matériaux cristallins poreux. Dans ce cadre, la prise en compte des différentes sources d’anisotropie constitue un élément important, notamment l’anisotropie plastique du monocristal ainsi que la texture morphologique et cristallographique du polycristal. Une démarche multi-échelle, reposant sur les mécanismes de déformation élémentaires et la microstructure, apparaît donc nécessaire. Dans le cadre des ap-proches micromécaniques, visant à déduire le comportement effectif d’un matériau hétérogène à partir de celui de ses constituants, de leur forme et de leur agencement spatial, trois principales voies ont été explorées : (i) l’homogénéisation non linéaire variationnelle, (ii) l’analyse limite et (iii) les ”calculs de microstructure” (homogénéisation numérique).

De nombreux résultats ont été obtenus pour des matériaux polycristallins plastiquement iso-tropes ou obéissant au critère anisotrope quadratique de Hill [Gurson, 1977 ; Gologanu et al., 1993 ; Ponte-Castaneda et Suquet, 1998 ; Monchiet et al., 2008 ; Lebensohn et al., 2011 ; Idiart and Nervi, 2014]. Ceci revient à considérer que chaque cavité est immergée dans un matériau homogène dont le comportement effectif est celui du polycristal. L’anisotropie du comportement résulte donc à la fois du comportement du monocristal et de la texture du polycristal. En comparaison, jusqu’à récemment, la question des matériaux présentant une distribution de porosités intragranulaires a été beaucoup moins abordée. On mentionnera les travaux récents de Han et al. [2013] et Mbiakop

et al. [2015b,a].

L’objectif de ce travail de thèse est d’étudier la réponse plastique de matériaux monocristallins poreux à l’aide d’une démarche micromécanique. Il s’agit notamment de décrire la dépendance à l’orientation cristalline de la contrainte d’écoulement plastique, de l’écrouissage et de l’évolution de la porosité. Outre le cas particulier des monocristaux, les résultats obtenus pourront servir à l’étude de polycristaux présentant des cavités de taille très inférieure à la taille de grains. Le degré d’anisotropie plastique jouant un rôle important sur la croissance des cavités [Benzerga et Besson,

2001], nous étudions des monocristaux avec différentes structures cristallines : cubique centré (CC) ou cubique à faces centrées (CFC) (faible anisotropie plastique) et hexagonale compacte (HC) (forte anisotropie plastique). Par ailleurs, nous nous intéressons au cas de monocristaux CC à basse température ainsi que certains composés intermétalliques qui peuvent présenter un “écart à la loi de Schmid” (situation de plasticité cristalline non associée).

Deux approches sont mises en œuvre : le développement de modèles analytiques approchés à l’aide des outils de l’analyse limite et la réalisation de calculs d’homogénéisation périodique sur des cellules élémentaires. Ces derniers nous servent notamment de référence pour évaluer les modèles analytiques proposés.

Le manuscrit de thèse se décompose en quatres chapitres :

• Le Chapitre 1 est dévolu à un état de l’art des méthodes utilisées et des résultats existants

en rupture ductile.

• Le Chapitre 2 expose les méthodes d’homogénéisation numérique mises en oeuvre et les

résul-tats numériques obtenus. Une compréhension phénoménologique de l’influence de la plasticité cristalline sur le comportement du monocristal poreux est développée. Les observations des champs locaux et de la résistance de celui-ci permettent de considérer des hypothèses sim-plificatrices dans l’optique d’une homogénéisation analytique.

• Dans le Chapitre 3, un critère de résistance du monocristal poreux est dérivé par analyse

limite par approche cinématique. Une application de celui-ci pour la modélisation d’un po-lycristal avec porosité intragranulaire est mise en oeuvre, afin de prédire le mode de rupture associé. L’écrouissage du monocristal poreux, induit par les déformations plastiques de sa matrice, est également étudié par une analyse limite post-déformation macroscopique.

• Au Chapitre 4, un modèle analytique pour le monocristal poreux avec plasticité cristalline

non associée est dérivé. Une méthode spécifique (approche par bipotentiel) à ce type de comportement est adaptée au monocristal. Le modèle dérivé est validé par confrontation à des simulations numériques. Enfin, un retour au monocristal poreux avec plasticité associée est réalisé en lui appliquant l’approche considérée pour le cas non associé. Une nouvelle limite de résistance approchée est ainsi dérivée.

Chapitre I

Analyse bibliographique

1

Rupture ductile

1.1

Observation expérimentale

L’observation de faciés de rupture (Figure 1.1b) indique que la nucléation et la croissance de cavités dans le matériau sont à l’origine de la rupture. Ce résultat, mis en évidence initialement par Puttick [1959], et observé par la suite dans de nombreux articles [Garison et Moody, 1987, Hosokawa et al., 2013, Guo et al., 2013], mène à l’étude de l’apparition et de la croissance des porosités dans les matériaux. L’influence de la porosité se décompose en trois phases : nucléation, croissance et coalescence des pores.

(a) Joint de grains d’un polycristal. Des pores (en blanc) sont apparus au ni-veau de la frontière. Figure extraite de [Goods et Brown, 1979].

(b) Faciés de rupture d’un échan-tillon (microscope électronique). Les points blancs à l’intérieur des cupules sont les inclusions autour desquelles les pores se sont nu-cléés. Figure extraite de [Garison et Moody, 1987].

Fig. 1.1

La nucléation des pores dans les métaux se fait suivant deux procédés principaux, mis en évidence notamment par Goods et Brown [1979]. Le premier concerne les polycristaux. Les in-compatibilités entre bandes de glissement au niveau des joints de grains entraînent l’apparition de

cavités (Figure 1.1a). Le second a lieu à l’intérieur des grains, par décohésion autour de phases précipitées. Cela s’observe notamment sur les faciès de rupture (Figure 1.1b), où les impuretés induisant ce phénomène apparaissent à l’intérieur des cupules. Ces deux procédés mènent à deux populations de porosités ayant des évolutions distinctes et influant différemment sur la rupture du matériau.

La croissance des cavités nécessite la déformation plastique de la matrice autour des pores. De par la taille des pores, il est difficile d’observer ce phénomène. Des observations par tomographie ont été réalisées par Weck et al. [2008] en créant artificiellement des pores de taille suffisante (Figure 1.2), mettant en évidence l’influence du type de chargement sur cette évolution, notamment sur l’évolution de la porosité et de la forme des cavités.

Fig. 1.2: Observation de porosités par tomographie. Les deux figures résultent de la même confi-guration initiale soumise à 2 chargements différents. Figures extraites de [Weck et al., 2008].

La coalescence a lieu lorsque des pores deviennent très proches. Un ligamment se forme alors entre ceux-ci, et ils fusionnent en un pore plus grand. Ce phénomène conduit à la création de fissures, et à la ruine finale du matériau.

Il est à noter que ces phénomènes sont couplés. Notamment la nucléation de cavités continue durant les phases de croissance et de coalescence, et influe sur celles-ci. Cox et Low [1974] ont mis en évidence que la coalescence entre deux pores peut être accélérée par la présence d’une “seconde population” de pores plus petits (Figure 1.3).

1.2

Modélisation micromécanique

L’approche micromécanique permet de prendre en compte ces phénomènes pour déterminer des lois de comportement macroscopique. Il s’agit de déduire de la microstructure et des lois de

Fig. 1.3: Initiation de la coalescence de 2 pores. Une ligne de pores plus petits (“seconde popula-tion”) apparait entre ces 2 pores. Figure extraite de [Cox et Low, 1974].

comportement des différentes phases la composant, une loi reliant la contrainte macroscopique et la déformation macroscopique, éventuellement dépendante de variables internes telles que la porosité.

1.2.1 Plasticité

Nous nous intéressons particulièrement au comportement plastique. Celui-ci se caractérise par un seuil de plasticité décrit par une fonction de la contrainte f convexe. Les contraintes sont admissibles tant qu’elles vérifient le critère de plasticité

f(σ) ≤ 0

La déformation plastique se produit uniquement lorsque le critère est actif, i.e. f(σ) = 0. Alors, suivant la loi de normalité, le taux de déformation plastique est orthogonale à la surface de plas-ticité, ce qui se traduit par

˙p = ˙γ∂f

∂σ, ˙γ ≥ 0, (1.1)

où ˙γ est un scalaire appelé le multiplicateur plastique. De manière équivalente, pour un taux de déformation plastique donnée, la contrainte associée est donnée par

σ = ∂π ∂ ˙p avec π( ˙ p) = max σ∗_∈Cσ ∗ _{: ˙p} ,

où C = {σ / f(σ) ≤ 0} est l’ensemble des contraintes admissibles. π est appelé potentiel de dissipation plastique. La loi d’écoulement plastique (1.1) peut également être déterminée à partir

(a) Illustration du comportement plastique de Von Mises. La zone grise est l’ensemble des contraintes ad-missibles. Les flèches donnent les directions de défor-mation plastique données par la loi de normalité.

(b) Illustration du comportement plastique non associé de Drucker-Prager. La zone grise est l’ensemble des contraintes admissibles. Les flèches noires donnent les directions de défor-mation plastique données par (1.4). Les flèches rouges donnent, pour comparaison, la direc-tion orthogonale à la surface de plasticité.

Fig. 1.4 du potentiel en contrainte ˙p = ∂u ∂σ avec u(σ) =      0 si f(σ) ≤ 0 +∞ sinon Une illustration pour le critère de Von Mises,

fM(σ) = σeq− σ0 =

s

3

2s: s − σ0,

avec s le déviateur des contraintes, est donnée en Figure 1.4a.

1.2.2 Cadre variationnel pour l’homogénéisation

Le comportement rigide plastique parfait entre dans le cadre des matériaux standards généra-lisés : les potentiels π et u sont liés par la transformée de Legendre-Fenchel

u(σ) = sup ˙ p (σ : ˙p_{− π}( ˙p)) et _π( ˙p) = sup σ (σ : ˙ p_{− u}(σ))

Alors, le problème d’homogénéisation sous conditions de taux de déformation homogène aux bords,

i.e. le champ de vitesse vérifie v(x) = D.x, ∀x ∈ ∂Ω, admet une formulation variationnelle [Hill,

1963, Talbot et Willis, 1985]. Ce cadre repose sur le lemme de Hill. Considérant un volume élé-mentaire représentatif Ω, les grandeurs macroscopiques Σ = hσiΩ et D = hdiΩ vérifient

Σ: D = hσiΩ : hdiΩ = hσ : diΩ

Le champ de taux déplacement solution minimise la dissipation macroscopique. Il s’agit de déter-miner Π(D) = inf v∈K(D) 1 |Ω|  Ω π(x, ˙p(v)) dV (1.2)

où K(D) = {v ∈ C1_{/v(x) = D.x, ∀x ∈ ∂Ω} est l’ensemble des champs de vitesse}

cinématique-ment admissibles. Alors, suivant le lemme de Hill, ce potentiel définit le comportecinématique-ment macrosco-pique du matériau, i.e.

Σ= ∂Π

∂D

Une formulation analogue peut être dérivée à partir du potentiel en contrainte u. Considérant

U(Σ) = inf σ∈S(Σ) 1 |Ω|  Ω u(x, σ) dV (1.3)

avec S(Σ) = {σ/div σ = 0, hσiΩ = Σ} l’ensemble des champs de contrainte statiquement

admis-sibles de moyenne Σ, le comportement macroscopique est donné par

D = ∂U

∂Σ

Les potentiels macroscopiques en taux de déformation Π et en contrainte U sont également liés par la transformée de Legendre-Fenchel. Une description très complète de ce cadre a été donnée par Ponte Castañeda et Suquet [1998].

Les minimisations analytiques de (1.2) et (1.3) étant difficiles, des méthodes approchées sont utilisées.

1.2.3 Méthode variationnelle et modèles dérivés

À partir de ce cadre, Ponte Castañeda [1991b] a proposé une technique d’homogénéisation non linéaire approchée par méthode variationnelle. Celle-ci tire avantage des solutions analytiques exis-tantes pour les matériaux linéaires. Connaissant ces solutions, le problème consiste à trouver, pour tout chargement, et dans différents sous-domaines de Ω, le matériau linéaire dont le comportement,

induisant les fluctuations dans le sous-domaine associé, sera le plus proche du comportement du matériau effectif (non linéaire) pour les contraintes et déformations apparaissant dans ce sous-domaine.

Cette méthode a été appliquée aux matériaux poreux en tirant avantage de la solution d’Eshelby [1957] au problème d’une inclusion ellipsoïdale dans un milieu élastique isotrope infini. Ponte Cas-tañeda [1991b] a dérivé une limite de résistance pour une matrice de Von Mises contenant une cavité sphérique. Le comportement est globalement bien reproduit, mais une mauvaise corres-pondance avec les résultats numériques a été obtenue à haute triaxialité. Cela s’explique par la forte hétérogénéité du champ de taux de déformation pour ce chargement. Une amélioration phé-noménologique pour ce cas a été proposée par Danas et Aravas [2012], menant à des résultats satisfaisants.

1.2.4 Analyse limite, modèle de Gurson et extensions

Une autre approche, dite analyse limite par approche cinématique, consiste à rechercher l’en-semble des contraintes macroscopiques admissibles du matériau. Dans le cas particulier de matériau rigide plastique parfait, cela revient au calcul de Π. En pratique, ce potentiel est majoré par

Π+_{(D) =} 1

|Ω|



Ω

π(x, ˙p(v)) dV

pour un champ de vitesse v donné. Cela permet d’obtenir une majoration de l’ensemble des contraintes admissibles (au sens de l’inclusion). Cette méthode sera détaillée au Chapitre 3.

Celle-ci a été utilisée pour estimer la résistance de matériaux poreux. Suivant le travail originel de Gurson [1977], qui a dérivé un critère de résistance pour une sphère creuse avec une matrice de Von Mises, de nombreux modèles ont été dérivés. Des modèles prenant en compte les effets de forme (cavités ellipsoïdales) [Gologanu et Leblond, 1993, Madou et Leblond, 2012a,b, Monchiet

et al., 2008b], et une anisotropie plastique de type Hill [Benzerga et Besson, 2001, Keralavarma et

Benzerga, 2010] ont été proposés et confrontés de manière concluante à des simulations numériques. Ces modèles ont été étendues phénoménologiquement au cas de microstrusctures périodiques par Tvergaard [1981] (un pore dans la cellule unitaire) et Fritzen et al. [2012] (répartition aléatoire de pores dans la cellule unitaire).

Une majoration similaire de U, dite analyse limite par approche statique, a été proposée et mise en place pour une sphère creuse de Von Mises par Cheng et al. [2014b]. Par construction, cela donne une minoration (au sens de l’inclusion) de l’espace des contraintes admissibles. La borne inférieure obtenue est moins proche des résultats numériques que la borne supérieure obtenue par

approche cinématique par Gurson [1977].

Ces modèles, quoique reproduisant correctement les limites de résistance des matériaux poreux, donnent une mauvaise prédiction de l’évolution de la porosité pour certains chargements, et ne prédisent pas la dépendance du comportement à l’angle de Lode [Leblond et Morin, 2014].

1.2.5 Plasticité non associée et approche par bipotentiel

Les géomatériaux [Drucker et Prager, 1952] et certains matériaux cristalllins, que nous présen-terons ci-après, n’entrent pas dans le cadre des matériaux standards généralisés. Leur plasticité est dite non associée : celle-ci se définit par un critère de plasticité f(σ) ≤ 0 et une loi d’écoulement indépendante de ce critère, généralement exprimée par un potentiel d’écoulement G

˙p = ˙γ∂G

∂σ, ˙γ ≥ 0

Une illustration pour le comportement de Drucker-Prager, défini par

fDP(σ) = σeq+ 3ασm− σ0 ≤0

GDP(σ) = σeq+ βσm (1.4)

avec 0 ≤ β ≤ α ≤ 1/2, est donné en Figure 1.4b. Ce type de matériau n’entre pas dans le cadre variationnel présenté en Section 1.2.2. Les méthodes d’homogénéisation analytiques classiques ne peuvent pas être utilisées.

Pour remédier à ce problème, de Saxcé et Feng [1991] ont proposé un nouveau cadre, basé sur un potentiel équivalent, dit bipotentiel b, dépendant à la fois de la contrainte et de la déformation. Grâce à cette fonction, dont les propriétés seront détaillées au Chapitre 4, l’homogénéisation se ramène à la minimisation B(Σ, D) = inf σ∈S(Σ), d∈K(D) 1 |Ω|  Ω b(σ, d) dV,

ce qui définit un bipotentiel macroscopique, duquel on peut déduire un critère de plasticité et une loi d’écoulement macroscopique.

Cette approche a été mise en oeuvre par Cheng et al. [2015] pour dériver une loi de compor-tement macroscopique pour une sphère creuse avec matrice de Drucker-Prager, c’est à dire pour une plasticité isotrope non associée.

Ces modèles concernent les matériaux isotropes ou à anisotropie de type Hill. Dans le cas de matériaux monocristallins poreux, l’anisotropie plastique cristalline doit être prise en compte pour prédire la résistance et l’évolution de la porosité.

2

Plasticité cristalline

2.1

Origine physique

La plasticité cristalline est induite par le déplacement de dislocations (Figure 2.1) à l’intérieur du matériau. La déformation plastique générée est associée à leur plan de glissement (vecteur orthogonal n) et leur direction de glissement (donnée par le vecteur de Burger normalisé b). Elle est colinéaire au tenseur de Schmid

µ= 1

2(b ⊗ n + n ⊗ b) (2.1)

Ce glissement est activé lorsque la cission résolue τ = σ : µ [Peach et Koehler, 1950] atteint une valeur critique τc_.

Fig. 2.1: Dislocation coin dans une maille cubique.

Cette cission critique dépend de l’histoire du matériau. Elle augmente avec la déformation, ce qui provoque un écrouissage. En effet, durant la déformation plastique, des dislocations appa-raissent. Celles-ci tendent à se géner dans leur déplacement (phénomène d’ancrage). Des modèles phénoménologiques, basés sur ces observations, sont présentés ci-après.

Il est à noter qu’une très faible densité de dislocations a l’effet inverse : dans ce cas, la difficulté à créer de nouvelles dislocations rend le matériau extrémement résistant. Des exemples sur des nanopiliers ont été exposés par Greer et Nix [2006].

À l’échelle du monocristal, une description de la plasticité cristalline à l’aide de lois phénomé-nologiques est utilisée.

2.2

Critère de plasticité des monocristaux

Considérant l’ensemble des systèmes de glissement et leur tenseur de Schmid associé µk, le

critère de plasticité est donné par la loi de Schmid :

f(σ) = max

k fk(σ) = maxk |σ : µk| − τ c

k (2.2)

L’ensemble de contraintes admissibles associé C = {σ/f(σ) ≤ 0} est un polyèdre de l’espace des contraintes déviatoriques (dimension 5). Sa topologie a été détaillée pour le cas du cristal cubique à faces centrées par Bishop et Hill [1951], où il s’agit d’un polyèdre à 52 sommets. Certains de ces sommets correspondent à l’intersection de 8 systèmes de glissement, ce qui pose des problèmes pour déterminer le type de glissement (voir ci-après). Le même exercice a été réalisé pour différents cristaux hexagonaux par Tomé et Kocks [1985]. Des sommets correspondants à 12 systèmes de glissement apparaissent.

La déformation plastique associée est donnée classiquement par ˙p _{= ˙γ}∂f

∂σ, ˙γ ≥ 0. Le critère

(2.2) n’étant pas différentiable, une sous-différentiation est utilisée ˙p ₌ X k actif ˙γk ∂fk ∂σ = X k actif ˙γksgn(σ : µk)µk, ˙γk ≥0 (2.3)

où la fonction sgn donne le signe. Pour le cas de sommets correspondant à plus de 5 systèmes de glissement, un taux de déformation plastique peut être engendré par différentes combinaisons de multiplicateurs plastiques ˙γk. Cela pose problème pour la prise en compte de l’écrouissage,

dépendant du type de glissement.

Ce problème peut être contourné par l’utilisation d’une version régularisée du critère. Arminjon [1991] et Gambin [1992] ont proposé

f_preg(σ) = X k σ : µ_k τc k !p!1/p −1 (2.4)

Fig. 2.2: Loi de Schmid (p = +∞) et loi de Schmid régularisée pour deux exposants p. Le critère correspond au cristal cubique à faces centrées et est projeté dans le plan déviatorique (s11, s22).

valeurs de p est donnée en Figure 2.2. Avec ce critère ˙p _{= ˙γ}∂f reg p ∂σ = ˙γ X k σ : µ_k τc k !p−1 µ_k τc k

Considérant, de manière équivalente, (2.3) avec ˙γksgn(σ : µk) = ˙γ τc k σ : µ_k τc k !p−1 ,

tous les systèmes de glissement sont actifs lors de la plastification. Néanmoins, pour p suffisamment grand, seuls les systèmes actifs au sens de (2.2) ont un glissement significatif :

σ : µ_k τc k <1 ⇒ |σ : µk| τc k !p−1 1

Pour les cas où plus de 5 systèmes sont actifs simultanément au sens de la loi de Schmid, le critère régularisé donne, parmi les combinaisons de multiplicateurs plastiques possibles, une combinai-son particulière, sans légitimité physique. D’autres méthodes de discrimination ont été proposées.

Miehe et Schröder [2001] ont proposé de prendre la combinaison de systèmes de glissement mi-nimisant la somme des travaux associés au glissement de chaque système (minP˙γ

k). D’autres

méthodes, purement mathématiques, et ayant pour principal objet de rendre pratique cette déter-mination dans le cadre de simulations numériques, sont également données par ces auteurs. Enfin, Forest et Rubin [2016] ont proposé une loi de plasticité proche de la viscoplasticité, mais purement indépendante de la vitesse de déformation, et permettant une transition lisse de l’élasticité à la plasticité.

Une autre technique, proposée par Hutchinson [1976], consiste à utiliser un comportement élastoviscoplastique (donc dépendant de la vitesse de déformation) où les glissements sur chaque système sont donnés par

˙γk= ˙γ0

|τk|

τc k

!n

avec n un exposant caractérisant la sensibilité à la vitesse de déformation. Ce comportement tend vers un comportement plastique parfait lorsque n tend vers +∞, et induit dans ce cas le même comportement que le critère régularisé.

D’autre part, la résistance du monocristal évolue durant la déformation : les cissions critiques augmentent avec la déformation plastique.

2.3

Loi d’écrouissage

La physique de la déformation plastique cristalline indique qu’un système de glissement s’écrouit à la fois lorsqu’il glisse et lorsque les autres systèmes s’activent. Suivant cette observation, Mandel [1965] et Hill [1966] ont proposé la loi d’écrouissage suivante

˙τc k =

X

l

hkl˙γl, (2.5)

avec h la matrice d’écrouissage, dépendant éventuellement de l’histoire du matériau. Les termes diagonaux de h correspondent à l’auto-écrouissage (écrouissage d’un système induit par son glis-sement), tandis que les termes non diagonaux donnent l’écrouissage latent (écrouissage induit par le glissement sur d’autres systèmes). En première approximation, un écrouissage linéaire peut être considéré. Une matrice d’écrouissage classique est

où δkl est le symbole de Kronecker et h0 >0 est un scalaire. Une valeur q = 1.4 est souvent utilisée

[Miehe et Schröder, 2001], donnant un écrouissage latent plus important que l’autoécrouissage, en cohérence avec les résultats de dynamique des dislocations.

Un écrouissage non linéaire est plus en accord avec les expériences, celui-ci ayant tendance à saturer avec la déformation. Des lois phénoménologiques de type Swift (non saturante, mais à écrouissage décroissant) sont souvent utilisées. Yerra et al. [2010] ont utilisé

˙τc k = nk τ_k0 Γ0 k τ_kc τ0 k !nk−1 nk ˙Γk (2.6)

avec ˙Γk =Psaks˙γs. Cette loi entre dans le cadre défini par (2.5), avec une matrice d’écrouissage

dépendant de γk, donc de l’histoire du matériau. Une loi saturante (type Voce) est également

souvent utilisé dans les simulations numériques [Suquet et al., 2012, Sarma et al., 1998] : ˙τc k = (τ ∞ k − τ c k) ˙Γk (2.7) avec τ∞

k la cission critique saturée. De même, (2.7) entre dans le cadre défini par (2.5), avec une

matrice d’écrouissage qui tend vers 0 avec la déformation.

D’autres lois d’écrouissage, également saturantes, dépendent des densités de dislocations et des lois cinétiques asssociées [Essmann et Mughrabi, 1979, Tabourot et al., 1997, Kubin et al., 2008]. Dans une approche par transitions d’échelles successives, ces lois sont plus légitimes, mais elles sont difficiles à mettre en oeuvre dans les simulations numériques.

2.4

Plasticité cristalline non associée

La loi de Schmid ne permet pas toujours de prédire l’activation d’un système de glissement, notamment sous haute température. L’activation d’un système ne dépend pas uniquement de sa cission résolue τk. Christian [1983] a mis en évidence, pour des cristaux cubiques centrés, que

cette activation dépend également de la contrainte hydrostatique et des composantes déviatoriques orthogonales à µk. Pour des chargements de type

σ = σ (µ_k+ kmI+ kdµ0) (2.8)

avec µ0 _{: µ}

k = 0, des cissions critiques différentes ont été obtenues pour différentes valeurs de km

et kd, en contradiction avec la loi de Schmid. En particulier, des asymétries traction/compression

apparaissent. Des résultats similaires ont été obtenus pour des cristaux cubiques à faces centrées. Ezz et al. [1987] ont mis en évidence des asymétries traction/compression, tandis que les résultats de Takasugi et al. [1987] montrent une dépendance en kd.

Ces écarts à la loi de Schmid semblent provenir de la structure des dislocations du cristal. En particulier, le déplacement des dislocations vis change de nature d’un chargement à l’autre. Paidar et al. [1982] ont montré par des simulations atomistiques que, suivant le chargement, et notamment suivant km et kd, le coeur des dislocations vis se déformaient différemment, induisant

des glissements différents, et donc des résistances différentes.

Pour décrire ce comportement, Qin et Bassani [1992] ont proposé un critère d’activation des systèmes de glissement permettant de décrire la dépendance à km et kd. L’activation d’un système

est conditionnée à τ_k∗ = |σ : µ_k+ ik X i=1 αi_kσ : µi_k|= |σ : µ∗_k| ≤ τc k (2.9)

où les tenseurs µi

k ne sont pas nécessairement déviatoriques. Par exemple, avec ik = 1 et µ1k= 13ı,

cela donne

τ_k∗ = |τk+ α1kσm| ≤ τkc

où une asymétrie traction/compression apparait.

Le glissement demeurant suivant µk, la plasticité est non associée

˙p ₌X k ˙γkµk6= X k ˙λk ∂fk ∂σ

Il est impossible de décrire le glissement plastique à partir d’un potentiel de dissipation. D’un point de vu thermodynamique, comme expliqué par Qin et Bassani [1992], cela signifie que l’énergie libre du matériau dépend des glissements γk, c’est à dire qu’une énergie est associée à des modifications

microstructurelles durant le glissement plastique.

3

Monocristal poreux

La plasticité cristalline influe sur la résistance du monocristal poreux et l’évolution de sa po-rosité. Crépin et al. [1996] ont notamment mis en évidence, pour un monocristal de zirconium, l’apparition de cavités hexagonales (Figure 3.1), induite par la plasticité cristalline.

Fig. 3.1: Cavité hexagonale apparue dans un monocristal hexagonal compact (Zr). Figure extraite de [Crépin et al., 1996].

3.1

Homogénéisation numérique

Différents aspects du comportement des monocristaux poreux ont été simulés numériquement. Une compréhension complète de celui-ci nécessite des calculs en grande transformation, de manière à observer l’évolution de la microstructure du matériau. Ce type de calcul étant lourd (en terme de temps de calcul), il peut être intéressant de se placer sous l’hypothèse des petites déformations, afin d’observer les taux de déformation et contraintes associées pour une microstructure donnée.

La résistance du monocristal poreux a été estimée par des caluls en petites déformations. Han et al. [2013] ont déterminé numériquement la surface de résistance du cristal cubique à faces centrées. Considérant une celulle 3D contenant un pore sphérique, des calculs pour plusieurs types de chargement (triaxialité et angle de Lode) et 8 orientations cristallines ont été réalisés. Une surface de résistance anguleuse est obtenue. La résistance à faible triaxialité est proche de celle du matériau sain, tandis que le matériau est affaibli à haute triaxialité par la porosité. Cette affaiblissement dépend de l’orientation cristalline. Un affaiblissement dû à l’augmentation de la porosité a également été mis en évidence pour des porosités allant de 1% à 10%. Des calculs du même type ont été réalisé par Mbiakop et al. [2015a]. Différentes structures cristallines hexagonales, dont les familles de systèmes de glissement ont la même cission critique, ont été utilisées. Il a été observé que la résistance sous contrainte hydrostatique augmente avec l’anisotropie plastique du cristal. Les effets de forme sont également observés grâce à des simulations avec des cavités ellipsoïdales. Le cristal s’affaiblit avec l’augmentation du rapport de forme des cavités (rapport du grand axe sur le petit axe).

porosité et le comportement macroscopique associé. Orsini et Zikry [2001] ont effectué des simula-tions 2D (pores cylindriques) sur un cristal cubique à faces centrées. L’intéraction entre les pores suivant leur position respective est particulièrement étudiée : les microstructures contiennent 4 pores dans différentes configurations. La nature de la coalescence conduisant à la rupture change avec l’espacement initial entre les pores : s’ils sont suffisamment éloignés, la coalescence a lieu dans le plan orthogonal à l’axe de chargement, sinon celle-ci a lieu dans les bandes de cisaillement (à 45°) associées. Potirniche et al. [2006] ont également effectué des simulations 2D sur un cris-tal cubique à faces centrées contenant 1 ou 2 pores. Pour un chargement donné, 5 orientations cristallines sont testées. Il est observé que l’orientation cristalline a une forte influence sur la crois-sance de la porosité. De fortes rotations de réseau, réorientant le cristal de manière à ce que les déformations se produisent par glissements multiples, sont également observées. En 3 dimensions, Yerra et al. [2010] ont réalisé des simulations pour une microstructure périodique, avec un pore initialement sphérique dans la cellule unitaire, et pour un cristal cubique centré. Trois orientations cristallines sont testées, montrant de nouveau une forte influence sur la croissance de la porosité. Il est également observé que cette orientation change l’évolution de la géométrie du pore (modifi-cation de l’évolution du rapport de forme). Enfin la compétition entre écrouissage du monocristal et croissance de la porosité apparait : dans un premier temp, la résistance du matériau augmente par écrouissage, puis l’augmentation de la porosité devient dominante, et le matériau s’affaiblit, jusqu’à rupture. Le même type de calcul a été mis en place par Srivastava et Needleman [2015], qui se sont intéressés à l’influence de l’angle de Lode, ce paramètre ayant une forte influence sur la croissance de la porosité dans un matériau isotrope [Leblond et Morin, 2014]. Suivant l’orientation cristalline, ce paramètre peut avoir une forte influence ou une influence très faible. Enfin, Ling

et al. [2016] ont réalisé ce type de simulation avec la loi d’écrouissage dépendant de la densité de

dislocations proposée par Kubin et al. [2008], obtenant un comportement macroscopique du même type.

3.2

Modèles analytiques

Suivant les méthodes présentées en Section 1.2, différentes lois de comportements macrosco-piques ont été dérivées pour le monocristal poreux. Contrairement aux matériaux isotropes, où des solutions analytiques existent pour des chargements particuliers (sphère creuse sous taux de déformation hydrostatique homogène aux bords [Rice et Tracey, 1969], cavité ellipsoïdale dans un matériau élastique infini [Eshelby, 1957]), l’anisotropie plastique du monocristal rend très difficile l’obtention de solutions analytiques, quelquesoit le chargement et la géométrie considérée.

solu-tions analytiques pour un pore cylindrique dans un milieu infini (problème en deux dimensions). La confrontation avec des résultats numériques conduit à une bonne correpondance. Néanmoins, la méthode proposée, basée sur la détermination des zones d’activation de chaque système de glissement, ne peut pas être étendue en trois dimensions. Des méthodes approchées doivent être utilisées.

Des modèles basés sur l’homogénéisation théorique présentée en Section 1.2.2 ont été dérivés. Un modèle mixte, basé sur la méthode d’homogénéisation non linéaire de Ponte Castañeda [1991b] et enrichi par les résultats d’analyse limite pour les matériaux isotropes [Gurson, 1977, Tvergaard, 1981] a été proposé par Han et al. [2013] pour le monocristal cubique à faces centrées. Un critère de résistance est obtenu et confronté à des résultats numériques. Un bon accord global est obtenu. Ce critère a été étendu phénoménologiquement par Ling et al. [2016] pour prendre en compte l’écrouissage du monocristal cubique à faces centrées suivant la loi proposée par Kubin et al. [2008]. Une confrontation avec des résultats numériques montrent de bonnes prédictions qualitatives.

Mbiakop et al. [2015a] ont également proposé un modèle basé sur l’homogénéisation non linéaire. Se basant sur le travail de Idiart et Ponte Castañeda [2007], qui ont dérivé des potentiels pour décrire la plasticité cristalline, des potentiels macroscopiques ont été dérivés pour des monocristaux viscoplastiques contenant des pores ellipsoïdaux. Le cristal cubique à faces centrées et des cristaux hexagonaux avec différentes familles de systèmes de glissement, ayant toutes la même cission critique, ont été considérés. La comparaison avec des simulations numériques montrent un bon accord. Une limite de résistance pour le comportement plastique parfait est dérivée par passage à la limite du comportement viscoplastique, et améliorée par analogie avec les critères proposés par Han et al. [2013] et le critère que nous exposerons au Chapitre 3 [Paux et al., 2015].

Ces critères seront détaillés au Chapitre 3 et comparés avec celui que nous proposerons.

4

Plan

L’objectif de cette thèse est de contribuer à la compréhension de l’influence de la plasticité cristalline sur la résistance et les modes de rupture des monocristaux poreux.

Le chapitre 2 est dédié à une approche numérique de ce problème. Une surface de résistance est déterminée pour différents monocristaux poreux, notamment des cristaux hexagonaux avec des fa-milles de systèmes de glissement ayant des cissions critiques différentes. Une étude systématique de l’influence de l’orientation cristalline est mise en oeuvre. L’influence de l’écrouissage sur la surface de résistance macroscopique est également étudié. Enfin, des calculs en grandes transformations sont mis en oeuvre pour simuler l’évolution de la porosité.

Dans le troisième chapitre, la dérivation d’un critère de résistance pour le monocristal poreux par analyse limite (approche cinématique) est présentée. Sa validité est estimée par comparaison à des résultats numériques pour différents monocristaux poreux. Une application de ce modèle pour des calculs numériques polycristallins est mise en place. Enfin, le modèle est étendu pour prendre en compte l’écrouissage du monocristal, et confronté à des résultats numériques.

Le quatrième chapitre est consacrée à l’étude du monocristal poreux avec plasticité non associée. Un bipotentiel est proposé et utilisé pour la dérivation d’un modèle analytique. Des simulations numériques sont mises en oeuvre pour estimer la validité du modèle déduit. Enfin, un retour au monocristal avec plasticité associée est réalisé en adaptant l’approche par bipotentiel. Cela correspond à une analyse limite par approche statique. Un critère est obtenu et confronté au critère obtenu par approche cinématique et aux résultats numériques.

Chapitre II

Étude de la plasticité de monocristaux

poreux par homogénéisation numérique

Résumé

Ce chapitre est dédié à l’étude du comportement du monocristal poreux par homogé-néisation numérique. La mise en oeuvre de la méthode FFT dans le cadre de la plasticité cristalline est présentée. Elle est utilisée pour réaliser des calculs numériques pour des mo-nocristaux poreux et déterminer leur résistance. Une surface de résistance est obtenue pour différentes structures cristallines. L’influence de l’orientation cristalline est étudiée, en par-ticulier sur la contrainte d’écoulement plastique et sur l’écrouissage. Enfin, la méthode FFT est étendue pour réaliser des calculs en grandes transformations. L’évolution de la porosité et de la résistance associée est étudiée pour plusieurs chargements.

Nous nous proposons ici d’étudier méthodiquement le comportement des monocristaux poreux par homogénéisation numérique.

La Section 1 est dévolue à la présentation des outils numériques utilisés pour cette étude. Les principes de la méthode FFT sont rappelées. La mise en place de cette méthode pour des calculs élastoplastiques parfaits est détaillée, notamment pour prendre en compte l’anisotropie plastique cristalline. Le même travail est réalisé pour l’élastoplasticité avec écrouissage.

Ces outils sont utilisés en Section 2 pour une étude de la résistance du monocristal poreux. Les résultats existants pour le monocristal cubique à faces centrées sont enrichis par une étude méthodique de l’influence de l’orientaion cristalline. Cette méthode est également appliquée à des cristaux hexagonaux ayant une plus forte anisotropie plastique. Une évaluation de l’influence de la microstructure sur la résistance du monocristal poreux, notamment de la répartition des cavités, est proposée. Enfin l’influence de l’écrouissage sur l’évolution de la résistance du monocristal poreux est étudié.

Enfin la Section 3 est dédiée à la présentation d’une extension de la méthode FFT en grandes transformations. Celle-ci est utilisée pour étudier la phase de croissance de la porosité d’un mono-cristal CFC poreux. Une attention particulière est portée sur l’évolution de la forme des cavités. Enfin, l’influence de l’orientation cristalline sur l’affaiblissement du matériau est étudiée pour dif-férents chargements.

1

Homogénéisation numérique à l’aide de la méthode FFT

Les simulations effectuées sont fondées sur la méthode FFT initialement proposée par Moulinec et Suquet [1998]. Le code développé par Brenner et al. [2009] et Belkhabbaz et al. [2015] a été étendu pour les problèmes considérés (shéma accéléré, parallélisation, adaptation à la plasticité cristalline et prise en compte de l’écrouissage).

1.1

Méthode FFT - Considérations générales

Les bases de la méthode FFT, conçue pour effectuer des calculs sur microstructure périodique, sont rappelées ci-dessous.

1.1.1 Problème considéré

Un matériau hétérogène périodique de cellule unitaire parallélépipédique est considéré. En tout point x de la cellule unitaire Ω, le comportement du matériau est donné par son potentiel ω :

σ(x) = ∂ω(x, )

∂

Une déformation macroscopique E est imposée. On recherche la solution statique (div σ = 0). De par la périodicité du problème, il s’agit de déterminer le champ de déplacement u tel que

                             = 1 2(grad u +Tgrad u) σ = ∂ω(x, ) ∂ div σ= 0 u(x) = E.x + u0(x), u0périodique σ(x).n anti-périodique ∀x ∈ ∂Ω (1.1)

avec n le vecteur orthogonal à la surface de la cellule.

1.1.2 Méthode FFT

La méthode FFT, proposée par Moulinec et Suquet [1998], tire avantage de la solution du problème auxiliaire suivant : étant donné un matériau homogène de référence linéaire élastique (tenseur d’élasticité C0_{) soumis à un champ de polarisation τ périodique (i.e. σ = C}0 _{:  + τ ) et}

vérifiant hiΩ = 0, le champ de déformation solution est donné par

= −Γ0∗ τ

avec Γ0 _{le tenseur de Green. Dans l’espace de Fourier, cela s’écrit}

     ˆ(ξ) =_Γc0(ξ) : ˆτ(ξ), ∀ξ ∈ Z∗ ˆ(0) = 0 (1.2) avec c Γ0 ijkl = 1 4µ0_|ξ|2(δkiξlξj + δliξkξj + δkjξlξi+ δljξkξi) − λ0_{+ µ}0 µ0(λ0+ 2µ0) ξiξjξkξl |ξ|4 ∀ξ 6=0 (1.3)

c

Γ0

ijkl(0) = 0

Le problème (1.1) peut se mettre sous la forme

∀x ∈Ω      σ(x) = C0 : (x) + τ (x), avec τ (x) = ∂ω ∂(x, ) − C 0 : (x) div (σ(x)) = 0

Ainsi, pour un champ de déformation donné , l’hétérogénéité du champ de contrainte induite par l’hétérogénéité du matériau effectif est considérée comme un champ de polarisation de contrainte

τ appliqué au matériau de référence, ce qui nous ramène au problème auxiliaire. En utilisant (1.2),

le champ solution vérifie

ˆ(ξ) = −_Γc0 : ˆτ, ∀ξ ∈ Z∗ (1.4)

ˆ(0) = E

ˆτ étant fonction du champ de déformation , il s’agit d’une équation intégrale implicite. Moulinec et Suquet [1998] ont proposé de résoudre ce problème avec la suite définie par

0 = E

ˆn+1_{(ξ) = −Γ}c0 : ˆτ(n), ∀ξ ∈ Z∗ (1.5)

ˆn+1_{(0) = E}

L’unique point fixe possible de cette suite est la solution du problème.

Il est à noter que, dans le cas élastique linéaire, cette méthode entre dans le cadre de la méthode de Galerkin [Vondřejc, 2013]. En effet, considérant un espace de séries de Fourier comme discrétisation de l’espace des déformations, l’équation (1.4) est linéaire. Sa résolution se réduit à l’inversion d’une matrice. Contrairement aux discrétisations par maillage, cette matrice n’est pas creuse, et une inversion par méthode LU serait lourde. La méthode itérative décrit par l’équation (1.5) est une méthode d’inversion numérique de Jacobi.

Cette méthode présente plusieurs avantages :

• Il est facile d’imposer une déformation macroscopique hi ou une direction de contrainte

macroscopique. C’est donc particulièrement adapté à l’homogénéisation numérique.

• Il est facile d’adapter la méthode à n’importe quel type de microstructure : Il suffit de donner

les propriétés du matériau en chaque point du quadrillage correspondant à la transformée de Fourier rapide. Il n’y donc pas à faire un maillage pour chaque matériau.

Néanmoins, il y a quelques inconvénients :

• Impossibilité d’adapter le maillage au point les plus “sensibles”. Cela oblige à utiliser des

discrétisations très fines pour les microstructures anguleuses (fissure, coalescence, etc).

• Faible vitesse de convergence pour les matériaux à fort contraste (phase rigide/vide)

[Mou-linec et Suquet, 1998, Michel et al., 2001, Monchiet et Bonnet, 2012, Mou[Mou-linec et Silva, 2014].

1.1.3 Convergence

Deux démonstrations de convergence ont été proposées, par Michel et al. [2001], dans le cas de matériaux élastiques linéaires isotropes (i.e. ω(x, ) = 1

2: C(x) : , C(x) = 3k(x)J + 2µ(x)K,

où K et J sont respectivement les projecteurs sur l’espace des déviateurs et des tenseurs hydro-statiques) et avec un matériau de référence du même type (C0_{(x) = 3k}

0J + 2µ0K) et, dans un

cadre plus général, par Milton [2002]. La démonstration de Michel et al. [2001], plus proche des problèmes qui nous intéressent, est résumée ci-dessous. Celle-ci repose sur le théorème du point fixe. Considérant

n+1= (i − Γ0∗ C) : n _(1.6)

La condition de convergence suivante est obtenue :

−1 < 1 − k(x) k0

<1 et −1 < 1 − µ(x) µ0

<1, ∀x (1.7)

où les scalaires 1−k(x) k0 et 1−

µ(x)

µ0 sont des bornes des valeurs propres différentes de 1 de l’opérateur  → −Γ0∗(C − C0_{) : . Il est à noter que, contrairement à ce que laisse à penser Michel et al.}

[2001], rien ne garantit que cet opérateur soit diagonalisable, car il n’est pas symétrique. En effet, si c’était le cas, les vecteurs propres n

αk associés aux valeurs propres αk≤1 formeraient une base

orthogonale. La suite n _{serait alors décroissante en norme :}

k n+1_k2_=kX k αknαk k 2₌X k α2_k k n αk k 2_≤X k k n αk k 2_{=k }n_k2 _(1.8)

Or la valeur moyenne est conservée par l’opérateur, donc, pour n _{= hi, }n+1 _{= hi +}P

kakeik.x,

où les scalaires ak sont les coefficients de la décomposition en série de Fourier. Il suit

k n+1 k2= hi2+X

k

ce qui est en contradiction avec (1.8). L’opérateur n’est donc pas symétrique. La condition (1.7) n’est qu’une condition nécessaire. Il est démontré ci-dessous que c’est également une condition suffisante.

On s’intéresse à la décomposition en matrice de Jordan de la matrice correspondant à l’opéra-teur sur un sous-espace discrétisé de l’espace des champs de déformation admissibles. Le bloc de Jordan associé à la valeur propre égale à 1 est considéré. Cette valeur propre a un unique vecteur propre, qui est la solution du problème. Alors

J1 =          1 1 0 0 ... ... 0 ... ... 1 0 1         

On note (11,. . . , 1y) les vecteurs de base associés. 1yest la solution du problème. La conservation

de la valeur moyenne induit

h1ii= h1ii+ h1(i+1)i, ∀i 6= y

D’où h1(i+1)i= 0, ∀i 6= y. Cela induit (i = y − 1) que le champ solution iy soit de moyenne nulle,

ce qui est exclu. Donc, l’espace associé à la valeur propre 1 est de dimension 1. La décomposition complète en matrice de Jordan est de la forme

J =             1 0 . . . . 0 0 α1 j1 0 ... ... ... ... ... 0 ... ... ... jd−1 0 . . . 0 αd             , (1.9)

avec αi <1, ji ∈ {0, 1} et d + 1 la dimension du sous-espace considéré. On peut montrer

lim n→+∞J n₌             1 0 . . . 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 . . . 0             , (1.10)