Convergence

Deux démonstrations de convergence ont été proposées, par Michel et al. [2001], dans le cas de matériaux élastiques linéaires isotropes (i.e. ω(x, ) = 1

2: C(x) : , C(x) = 3k(x)J + 2µ(x)K, où K et J sont respectivement les projecteurs sur l’espace des déviateurs et des tenseurs hydro-statiques) et avec un matériau de référence du même type (C0(x) = 3k0J + 2µ0K) et, dans un cadre plus général, par Milton [2002]. La démonstration de Michel et al. [2001], plus proche des problèmes qui nous intéressent, est résumée ci-dessous. Celle-ci repose sur le théorème du point fixe. Considérant

ⁿ⁺¹= (i − Γ0∗ C) : n (1.6) La condition de convergence suivante est obtenue :

−1 < 1 − ^k(x)

k₀ ^<1 et −1 < 1 − ^µ(x)

µ₀ ^<1, ∀x (1.7) où les scalaires 1−k(x)

k0 et 1−µ(x)

µ0 sont des bornes des valeurs propres différentes de 1 de l’opérateur

 → −Γ⁰∗(C − C0) : . Il est à noter que, contrairement à ce que laisse à penser Michel et al. [2001], rien ne garantit que cet opérateur soit diagonalisable, car il n’est pas symétrique. En effet, si c’était le cas, les vecteurs propres n

αk associés aux valeurs propres αk≤1 formeraient une base orthogonale. La suite n serait alors décroissante en norme :

k n+1k2=kX k α_kⁿ_α k k2=X k α²_k k n αk k2≤X k k n αk k2=k nk2 (1.8) Or la valeur moyenne est conservée par l’opérateur, donc, pour n = hi, n+1 = hi +P

kake^ik.x, où les scalaires ak sont les coefficients de la décomposition en série de Fourier. Il suit

k ⁿ⁺¹ k²= hi2+X

k

ce qui est en contradiction avec (1.8). L’opérateur n’est donc pas symétrique. La condition (1.7) n’est qu’une condition nécessaire. Il est démontré ci-dessous que c’est également une condition suffisante.

On s’intéresse à la décomposition en matrice de Jordan de la matrice correspondant à l’opéra-teur sur un sous-espace discrétisé de l’espace des champs de déformation admissibles. Le bloc de Jordan associé à la valeur propre égale à 1 est considéré. Cette valeur propre a un unique vecteur propre, qui est la solution du problème. Alors

J₁ =          1 1 0 0 ... ... 0 ... ... 1 0 1         

On note (11,. . . , 1y) les vecteurs de base associés. 1yest la solution du problème. La conservation de la valeur moyenne induit

h_1ii= h1ii+ h1(i+1)i, ∀i 6= y

D’où h1(i+1)i= 0, ∀i 6= y. Cela induit (i = y − 1) que le champ solution iy soit de moyenne nulle, ce qui est exclu. Donc, l’espace associé à la valeur propre 1 est de dimension 1. La décomposition complète en matrice de Jordan est de la forme

J =             1 0 . . . . 0 0 α1 j₁ 0 ... ... ... ... ... 0 ... ... ... jd−1 0 . . . 0 α_d             , (1.9)

avec αi <1, ji ∈ {0, 1} et d + 1 la dimension du sous-espace considéré. On peut montrer

lim n→+∞Jⁿ=             1 0 . . . 0 0 0 ... ... ... ... ... ... ... 0 . . . 0             , (1.10)

Cette démonstration s’étend facilement au cas de l’élasticité anisotrope. Considérant les valeurs propres λi(x) associées à une décomposition orthogonale du tenseur d’élasticité C(x), et les valeurs propres λi

0 associées au tenseur C0 dans cette décomposition, la démonstration précédente mène aux conditions

−1 < 1 − ^λi(x)

λi

0

<1, ∀i, x (1.11)

En particulier, pour un milieu de référence isotrope et un tenseur C(x) de symétrie cubique, i.e.

C(x) = 3k(x)J + 2µa(x)Ka+ 2µb(x)Kb, avec Ka+ Kb = K, (1.11) devient

−1 < 1 − ^k(x)

k₀ ^<1, −1 < 1 − ^µa(x)

µ₀ ^<1 et −1 < 1 − ^µb(x)

µ₀ ^<1, ∀i, x

Ces conditions ne peuvent pas être vérifiées dans le cas de contrastes infinis (phase vide, i.e.

λⁱ(x) = 0, ou phase rigide, i.e. λi(x) = +∞).

La présence d’une phase vide nous intéresse particulièrement ici. Dans ce cas, considérant une discrétisation de l’espace des champs de déformation admissibles, les valeurs propres de la matrice associée à l’opérateur  → −Γ0∗(C − C0) :  sont, soit égales à 1, soit comprises strictement entre -1 et 1. Un vecteur propre associé à une valeur propre 1 vérifie (1.1). Le champ de déformation solution est unique dans la matrice, avec un prolongement arbitraire dans le vide. Les nouveaux vecteurs propres de valeur propre 1 correspondent donc à des prolongements dans le vide. Ils sont de moyenne nulle, l’argument utilisé précédamment pour réduire les blocs de Jordan associés ne s’applique pas. Néanmoins, ceux-ci sont nulles dans la matrice. Un tel champ ne peut pas être généré par un polynôme trigonométrique. Ainsi, avec la réduction de l’espace des champs de déformation utilisés, il y a un unique vecteur propre de valeur propre 1, correspondant à la solution, et la démonstration précédente s’applique. Certaines valeurs propres tendent vers 1 avec la discrétisation, avec des blocs de Jordan associés convergeant très lentement, ce qui explique la lenteur de convergence observée.

Dans le cas de matériau non linéaire, (1.6) devient

ⁿ⁺¹= −Γ0∗ ^∂ω

∂(n) − C0 : n

!

(1.12) En tout point et pour tout champ de déformation n, il existe un tenseur d’élasticité “sécant”

C^sec(x, n) symétrique défini positif tel que ∂ω

∂(n) = Csec(n) : n. (1.12) devient

Avec λi

min = min,xλi(x, ) et λi

max = max,xλi(x, ), la condition de convergence (1.11) devient 1 − ^λimin λi 0 ≤1, ∀i et 1 −^λimax λi 0 > −1, ∀i (1.13) Néanmoins, la démonstration du cas linéaire ne peut être étendue : la base associée à la décom-position en matrice de Jordan (1.9) dépend du tenseur d’élastcité Csec, et change d’une itération à l’autre. (1.10) n’est donc pas assuré. En pratique, la convergence a été observée pour tous les calculs considérés.

Avec le matériau de référence adapté, la condition nécessaire (1.13) est vérifiée pour un compor-tement élastoplastique parfait (λi

max= λi el

max et λi

min = 0), mais ne l’est pas pour un comportement rigide plastique parfait (λi

max= +∞).

Des shémas accélérés ont également été proposés (lagrangien augmenté [Michel et al., 2001], schéma d’Eyre et Milton [Eyre et Milton, 1999], méthode polarisée [Monchiet et Bonnet, 2012]). Le shéma d’Eyre et Milton et le lagrangien augmenté sont des cas particuliers du shéma polarisé [Moulinec et Silva, 2014]. Il est à noter que les démonstrations de convergence de ces shémas, basées sur des bornes du rayon spectral des opérateurs associés, ne prennent pas en compte le fait que ceux-ci ne sont pas symétriques. Le complément de démonstration exposé ci-dessus s’applique de la même manière.

La vitesse de convergence de ces shémas dépend du choix du matériau de référence (de C0). Cette dépendance a été étudiée analytiquement et numériquement par Moulinec et Suquet [1998] et Michel et al. [2001] pour le shéma de base. Le choix λi

0 = 1

2 maxxλi(x) + minxλi(x)
apparait optimal. Le même travail a été réalisé pour les shémas polarisés dans [Monchiet et Bonnet, 2012, Moulinec et Silva, 2014, Michel et al., 2001], concluant à λi

0 =q

maxxλi(x) minxλi(x) optimal. La méthode polarisée a été mise en place pour nos calculs, avec des paramètres correspondant au shéma d’Eyre et Milton. Il a été montré par Moulinec et Silva [2014] qu’il présente la meilleur vitesse de convergence.