3.4 Résultats obtenus
3.4.2 Calculs en déformation macroscopique imposée
Les simulations sont réalisées pour une déformation macroscopique imposée. En pratique, la quantité h∂U
∂XiΩ est imposée, ce qui est équivalent à imposer hF iΩ0. Il est à noter que la modifica-tion utilisée en petites déformamodifica-tions pour effectuer des calculs en direcmodifica-tion de contrainte imposée (Moulinec et Suquet [1998], Annexe B) peut être adaptée à cet algorithme. Par manque de temps, ceci n’a pas été mis en oeuvre.
Les déformations considérées sont de la forme h∂U ∂XiΩ = k η 0 0 0 η 0 0 0 1 , k >0, η ∈ [−0.3, 1]
où k est incrémenté durant le calcul. Le paramètre η pilote le rapport entre les déformations dévia-torique (changement de forme) et hydrostatique (évolution de la porosité). η = 1 correspond à un chargement purement hydrostatique, tandis que η = −0.5 est très proche d’un chargement dévia-torique. Ce dernier chargement conduit à de très forte rotation de réseau, et à des réorientations de contrainte importantes. Cela induit des calculs très lents. Par conséquent, nous nous sommes limités à des valeurs de η supérieures à −0.3.
Réorientation de la contrainte Mêmes pour les paramètres considérés, de très importantes réorientations de contraintes sont observées. Notamment, la triaxialité augmente avec la plasticité et la modification de géométrie associée. Cette évolution est exposée en Figure 3.2 pour η = −0.3 et 0, et pour 3 orientations cristallines de l’axe de chargement : [100], [111] et [746]. Cette tendance s’accentue pour η plus grand. La triaxialité devient très grande lors des calculs, notamment pour l’orientation [100], où la réorientation de la contrainte induit un point à contrainte équivalente de Mises très faible (Figure 3.6a et 3.6b).
(a) η = −0.3 (b) η = 0
Fig. 3.2: Évolution de la triaxialité des contraintes en fonction de la déformation macroscopique.
Évolution de la forme du pore L’anisotropie du matériau influence nettement l’évolution de la forme du pore. À haute triaxialité, la géométrie du pore, partant d’une sphère parfaite, tend à devenir un polyèdre, dont la forme résulte de la géométrie des systèmes de glissement. Cette évolution est représentée pour un chargement hydrostatique en Figure 3.3. Les travaux
(a) f = 1% (b) f = 2.8% (c) f = 5.3%
Fig. 3.3: Évolution de la géométrie du pore pour un chargement hydrostatique.
expérimentaux de Crépin et al. [1996] (Analyse bibliographique, Figure 3.1) ont montré, de manière similaire, l’apparition de pores hexagonaux dans des alliages de zirconium.
D’autre part, l’évolution de la forme du pore change avec l’orientation cristalline, ce qui laisse à penser que celle-ci est induite par les directions de déformation “faciles” du cristal. Une illustration pour η = 0.4 est donnée en Figure 3.4 pour deux orientations cristallines. Il est également à noter que la forme finale du pore n’est pas un ellipsoïde dans la direction de chargement principale (direction z). Celui-ci tend même à s’allonger dans une autre direction (Figure 3.4), comme observé numériquement par Budiansky et al. [1982] dans le cas d’une matrice isotrope.
(a) [111] (b) [746]
Fig. 3.4: Projection du pore dans le plan yz à la fin de deux calculs pour η = 0.4 et 2 orientations cristallines. Le pore originel est représenté en rouge pour comparaison. Les flèches vertes indiquent la direction d’allongement du pore.
Comportement macroscopique Les contraintes équivalente de Mises et hydrostatique, mises en regard de l’évolution de la porosité, sont présentées en Figures 3.5 et 3.6 pour les différentes valeurs de η et les différentes orientations cristallines considérées. De par la nature du chargement,
l’évolution de la porosité dépend très peu de l’orientation cristalline.
La contrainte équivalente, après une phase de croissance élastique, décroit au cour du calcul. Cette diminution est plus importante lorsque η augmente, où celle-ci se stabilise rapidement à une valeur très faible. La contrainte hydrostatique a une phase de croissance plus lente, notamment pour η petit, ce qui est lié à la réorientation de la contrainte. Celle-ci diminue ensuite lentement avec l’augmentation de la porosité, jusqu’à l’initiation de la phase de coalescence, où cette diminution s’accélère brutalement.
L’influence de l’orientation cristalline est surtout marquée pour les faibles valeurs de η. Comme observé en petites déformations, l’orientation [111] induit une contrainte équivalente de Mises plus grande. Cette tendance s’inverse en contrainte hydrostatique pour η = −0.3. En revanche, pour η grand, alors que la dépendance à l’orientation cristalline tend à diminuer, la contrainte hydrostatique est plus importante pour cette orientation. Cette observation, cohérente avec les variations de contraintes hydrostatiques limites obtenues en petites déformation (Figure 2.12, T = +∞), est, de la même manière, induite par la périodicité de la microstructure et l’anisotropie induite.
(a) (b)
(c) (d)
(e) η = −0.3 (f) η = 0
Fig. 3.5: Évolution de la contrainte équivalente de Mises (a et b), de la contrainte hydrostatique (c et d) et de la porosité (e et f) en fonction de la déformation macroscopique pour 3 orientations cristallines.
(a) (b)
(c) (d)
(e) η = 0.4 (f) η = 0.8
Fig. 3.6: Évolution de la contrainte équivalente de Mises (a et b), de la contrainte hydrostatique (c et d) et de la porosité (e et f) en fonction de la déformation macroscopique pour 3 orientations cristallines.
4 Conclusion
Les simulations numériques nous ont permis de mieux comprendre le comportement du mono-cristal poreux.
En nous basant sur la méthode FFT, nous avons mis en place les outils numériques permet-tant de simuler les comportements élastoplastique parfait et élastoplastique avec écrouissage du monocristal, sous l’hypothèse des petites déformations.
Ces outils ont été utilisés pour étudier des monocristaux poreux avec différentes anisotropies plastiques : le cristal CFC, qui a une anisotropie relativement faible, et 2 cristaux hexagonaux com-pacts ayant des anisotropies plastiques plus marquées. L’observation des champs de déformation montrent une forte dépendance à la structure cristalline et à l’anisotropie plastique.
Les surfaces de résistance de ces monocristaux poreux ont été estimées, montrant une forte dépendance à l’orientation cristalline et à la triaxialité, liée à l’anisotropie plastique de chaque cristal. Une dépendance significative à la microstructure a également été mise en évidence. En particulier, une répartition aléatoire de cavités induit une moins grande résistance sous haute triaxialité.
L’évolution de la résistance macroscopique due à l’écrouissage du monocristal a été évaluée, mettant de nouveau en évidence une forte dépendance à l’orientation cristalline et à la triaxialité. Cette dépendance est induite par l’anisotropie plastique du cristal. En particulier, le monocris-tal poreux s’écrouit d’avantage pour des orientations crismonocris-tallines correspondant à un glissement multiple. D’autre part, l’écrouissage est plus marqué sous haute triaxialité, consécutivement aux champs locaux permettant l’augmentation de la porosité.
Enfin, une extension de la méthode FFT en grandes transformations a été mise en place pour étudier la phase de croissance de la porosité. L’évolution de la forme de la cavité considérée est fortement influencée par l’anisotropie plastique du cristal. En particulier, sous haute triaxialité, celle-ci tend à devenir un polyèdre. D’autre part, l’affaiblissement du matériau, dû à l’augmentation de la porosité, a été mis en évidence. Nous avons observé que celui-ci dépend de l’orientation cristalline, surtout à faible triaxialité.
La forte influence de l’anisotropie plastique sur le comportement des monocristaux poreux, mise en évidence par nos simulations, montrent l’impossibilité de décrire ce comportement par les modèles de matériaux isotropes poreux classiques tels que le modèle de Gurson [1977]. Il est nécessaire de dériver de nouveaux modèles, en prenant en considération l’anisotropie plastique des monocristaux.
Chapitre III
Estimation de la surface de résistance
des monocristaux poreux par analyse
limite
Résumé
Ce chapitre est dédié à la dérivation de modèles analytiques pour le monocristal poreux. Les résultats présentés sont en grande partie issue de deux articles, l’un publié, l’autre soumis:
hggghg∗ Paux, J., Morin, L., Brenner, R. et Kondo, D., An approximate yield criterion for
porous single crystals, European Journal of Mechanics A/Solids (2015)
hggghg∗ Paux, J., Brenner, R., et Kondo, D., Plastic yield criterion and hardening of porous
single crystals, International Journal of solids and structures, article soumis (2017)
Un critère de résistance pour le monocristal poreux, proposé dans [Paux et al., 2015], est dérivé et confronté avec les résultats numériques de Han et al. [2013]. Une confrontation plus exhaustive, notamment vis à vis de la dépendance à l’orientation cristalline, est réalisée avec les résultats numériques présentés au chapitre 2 et publiés dans [Paux et al., 2017]. Ce critère est utilisé pour réaliser des simulations numériques de polycristaux présentant une porosité intragranulaire. Une extension de ce critère à la plasticité avec écrouissage est proposée et confrontée à des résultats numériques. Une partie du texte étant issue de ces articles, ce chapitre est rédigé en anglais.
This chapter aims to derivate analytical models for porous single crystals.
In Section 1, a new criterion is derived by limit analysis with kinematical approach. Thanks to the quadratic regularized Schmid law and the work of Benzerga et Besson [2001], a Gurson-type criterion is derived. It is phenomenologically improved thanks to limit analysis with the effective Schmid law for specific loadings. This criterion is assessed with numerical computations for crystals exhibiting different plastic anisotropies.
This criterion is implemented in Section 2 to perform numerical computations of porous poly-crystals with intragranular porosity. A special attention is given to the local strain fields and porosity fields. The induced macroscopic behaviour is evaluated for 2D and 3D polycrystals.
Finally, Section 3 is devoted to extend the criterion to hardening plasticity. Following the work of Leblond et al. [1995], an extended limit analysis process is used to estimate macroscopic hardening. Both linear and nonlinear hardening are considered. The first one is assessed with small strain computations with linear hardening presented in Chapter 2, and the second one with existing finite strain computations with nonlinear hardening from Yerra et al. [2010].