Pour confronter le modèle à des résultats sur microstructure périodique, un paramètre de Tvergaard est introduit. La porosité utilisée f est remplacée par une porosité équivalente qf. Un paramètre opitmal q = 1.3 est obtenue.
Des calculs pour deux types de chargement, en direction de contrainte imposée, ont été réalisés :
• Contrainte macroscopique de la forme
Σ= Σ11 0 0 0 Σ22 0 0 0 0 (2.5) pour l’ensemble des rapports Σ11/Σ22 possibles.
• Chargements axisymétriques, avec une contrainte macroscopique de la forme
Σ= ΣI η 0 0 0 η 0 0 0 1 , η ∈[−0.5, 1] (2.6) où ΣI est la contrainte principale maximale, et η un paramètre fixé donnant la triaxialité. Les valeurs η = −0.5, 0, 0.8 et 1 ont été simulées pour l’ensemble des orientations cristallines représentatives.
La confrontation entre les résultats numériques et les prédictions du modèle pour le chargement (2.5) est représentée en Figure 2.4. Un bon accord global est obtenu. Comme attendu, le taux de déformation macroscopique n’est pas orthogonal à la surface de résistance. Celui-ci est correctement prédit par notre modèle, excepté, de même que pour la régularisation, pour des contraintes activant plusieurs systèmes de glissement.
Les seuils de plasticité pour les chargements axisymétrique sont représentées en Figure 2.3. Un bon accord global est obtenu. De même que dans le cas associé, la correspondance est moins bonne sous haute triaxialité. Néanmoins, l’erreur relative reste inférieure à 6%. L’erreur en orientation de taux de déformation, donné par (2.4) pour les résultats numériques et par (1.40) pour le modèle
Figure 2.4: Comparaison entre les prédictions théoriques et numériques pour le chargement (2.5) pour un cristal CFC poreux (f = 1%). Les points noirs donnent le seuil de plasticité obtenu numériquement, la ligne noire donne le seuil donné par (1.36). Les flèches noires et rouges donnent respectivement la direction de glissement donnée par (2.4) (numérique) et (1.40) (analytique). Pour mieux observer l’erreur en critère de plasticité, les taux de déformation ne sont pas représentés pour Σ22 <0, attendu que le résultat est à symétrie centrale.
analytique, est représentée en Figure 2.3 par la représentation de l’angle ψerr entre le résultat numérique et la prédiction analytique
ψerr= arccos Epnum q Epnum : Ep num : √ Dth Dth: Dth (2.7)
Une bonne correspondance est obtenue à faible triaxialité, exceptée pour quelques orientations cristallines, correspondant à des chargements où plusieurs systèmes de glissement sont actifs. Sous haute triaxialité, ψerrest supérieur à 20°, ce qui vient d’une mauvaise prédiction de la composante hydrostatique du taux de déformation macroscopique. Cela peut provenir de l’utilisation d’un champ de taux de déformation isotrope dans l’approche par bipotentiel, ne permettant pas de bien décrire l’erreur d’orientation entre le taux de déformation induit par le champ de contrainte et le champ de taux de déformation test. Il est à noter que, même dans le cas isotrope associé, cette donnée n’est pas correctement prédite [Leblond et Morin, 2014].
Résultats numériques
Critère (1.36)
Erreur relative
η= 0 η = 0.8 η= 1
(T = 1/3) (T = 13/3) (T = +∞)
Fig. 2.5: Comparaisons entre les résultats numériques et analytiques du seuil de plasticité du mo-nocristal CFC poreux non associé (f = 1%), représentés dans le triangle standard stéréographique.
η= −0.5 η= 0 η= 0.8
(T = 0) (T = 1/3) (T = 13/3)
Figure 2.6: Angle ψerr en degré, donné par (2.7), entre le taux de déformation numérique, donné par (2.4), et le taux de déformation prédit par (1.40), représenté dans le triangle standard stéréo-graphique.
3 Application au monocristal avec plasticité associée
3.1 Lien avec les méthodes par analyse limite en plasticité associée
La méthode présentée en Section 1.5.3 pour déterminer l’ensemble des contraintes admissibles du monocristal poreux peut être appliquée à la plasticité associée (µ∗
k = µk).
La minimisation (1.7) est comparée avec les minimisations réalisées en analyse limite. Dans tous les cas, il s’agit de déterminer des champs de contrainte et de taux de déformation vérifiant
(C1) d ∈ K(D)
(C2) σ ∈ S = {σ / div σ = 0} (C3) critère
(C4) loi d’écoulement
Dans l’approche par bipotentiel, les conditions (C1) et (C2) sont prérequises à la minimisation. Celle-ci consiste, pour l’ensemble des champs de taux de déformation cinématiquement admissibles et l’ensemble des champs de contrainte statiquement admissibles, à minimiser, grâce à la fonction bipotentielle, l’erreur associée au critère (C3) et à la loi d’écoulement (C4).
Au contraire, en analyse limite par approche cinématique, seule la condition (C1) est prérequise. La minimisation Π(D) = inf d∈K(D) 1 |Ω| Ω π(d) dV,
d ∈ K(D) σ ∈ S critère loi d’écoulement Approche cinématique prérequis minimisation implicite implicite
Approche statique implicite prérequis minimisation implicite
Approche par bipotentiel prérequis prérequis minimisation minimisation
Tab. 3:
consiste à rechercher, sur l’ensemble des champs de taux de déformation cinématiquement admis-sibles K(D), celui tel que le champ de contrainte donné par σ = ∂π
∂d vérifie la condition d’équilibre (C2). Les conditions de critère (C3) et de loi d’écoulement (C4) sont implicitement vérifiées grâce à σ = ∂π
∂d.
Enfin, en analyse limite par approche statique, c’est la condition (C2) qui est prérequise. La minimisation [Cheng et al., 2014b]
Φ = inf σ∈S 1 |Ω| Ω u(σ) dV − Σ : D
consiste à rechercher, sur l’ensemble des champs de contrainte statiquement admissibles S, et pour un taux de déformation macroscopique D donné, le champ de contrainte maximisant Σ : D et tel que le critère (C3) donné par u ne soit pas violé. Alors l’existence d’un champ de taux de déformation cinématiquement admissible (C1) et vérifiant la loi d’écoulement (C4) est garantie. Celui-ci n’est pas déterminé explicitement.
La prise en compte de ces conditions pour chaque méthode est résumée dans le tableau 3. Dans la recherche d’un critère de résistance macroscopique par la méthode du bipotentiel décrite en Section 1.5.3, la condition de critère étant dominante par rapport à la condition de loi d’écoulement, la dérivation d’un critère par cette méthode pour un comportement associé est équivalente à l’approche statique.
Pour un comportement local plastique associée, la loi d’écoulement macroscopique est également associée. Celle-ci est donc donnée par le critère de plasticité obtenu. Néanmoins, la loi d’écoulement dérivée en Section 1.5.4 pourrait être utilisée. Si les champs tests étaient les champs solutions, la loi obtenue et le critère de plasticité seraient reliés par la loi de normalité. Avec les approximations considérées, cette propriété n’est pas garantie. Par manque de temps, cela n’a pas été testé.
(a) Approche cinématique (b) Approche statique
Fig. 3.1: Estimations analytiques de la surface de résistance du cristal CFC poreux (f = 1%) projetée dans le plan déviatorique (S11, S22), pour différentes valeurs de Σm.