II Domination

I Introduction

La convergence d’une série s’étudie très souvent en comparant son terme géné- ral à celui d’une série connue (série de Riemann ou série géométrique). Pour ce faire, on utilise les relations de comparaison∼,O,o. Pour, très souvent, aboutir à des conclusions de la forme :

«u_n∼ 1

n^α, orα>1, donc (comparaison à une série à termes réels positifs)P u_n converge. »

«u_n∼ 1

n^α, orα≤1, donc (comparaison à une série à termes réels positifs)P u_n diverge. »

«n²u_n −−−−−→

n→+∞ 0, doncu_n =o µ 1

n²

¶

, donc (comparaison à une séries à termes réels positifs)P

u_nconverge. » etc. . .

Un préalable est de savoir bien utiliser les relations de comparaison.

II Domination

Soit (u_n) et (v_n) deux suites réelles ou complexes. On suppose qu’au moins à partir d’un certain rangn₀, la suite (v_n) ne s’annule pas.

II.1 Définition

On dit que (u_n) estdominéepar (v_n), et on noteu_n=O(v_n), lorsque la suite

³u_n vn

´

n≥n₀est bornée.

II.2 Réécriture

On dit que (un) estdominéepar (vn), et on noteun=O(vn) lorsqu’il existe un réelM et un rangN₀tels que pourn≥N₀on ait :|un| ≤M|vn|.

Evidemment,Mest indépendant den. C’est assez souvent cette écriture qu’on utilise, aussi bien pour montrer qu’une suite est dominée par une autre que pour traduire le fait qu’une suite est dominée par une autre.

II.3 Réécriture

u_n=O(v_n) si et seulement s’il existe une suite (αn) bornée telle que, au moins à partir d’un certain rangN₀,

u_n=v_nαn

II.4 Remarque

Dire « (u_n) est bornée à partir d’un certain rang », c’est la même chose que dire

« (u_n) est bornée ». Autrement dit, « (u_n) est bornée » est une propriété « asymp- totique » de la suite (u_n), i.e. une propriété qui n’est pas modifiée si on change lesppremiers termes de la suite, quel que soitp.

III Négligeabilité et prépondérance

(mêmes hypothèses que précédemment : il existe un rang à partir duquelv_nne s’annule pas)

III.1 Définition

On dit que (u_n) est négligeable devant (v_n), et on noteu_n = o(vn), lorsque u_n

v_n −−−−−−→

n→∞ 0 .

III.2 Réécriture

(u_n) est négligeable devant (v_n) si et seulement si pour tout réel strictement positif²il existe un rangNà partir duquel on ait :|u_n| ≤²|v_n|

III.3 Réécriture

(u_n) est négligeable devant (v_n) si et seulement s’il existe une suite (²n) conver- geant vers 0 et telle que, au moins à partir d’un certain rang,

u_n=v_n²n.

III.4 Comparaison avec la domination

oest ”plus fort” queO, ou encoreoimpliqueO:

³

u_n=o(v_n)´

⇒

³

u_n=O(v_n)´

III.5 Remarque sur les « notations de Landau »

Il serait préférable d’écrire un∈O(vn) ou un∈ o(vn) (on n’écrit surtout pas o(vn)=un) ; on utilisera aussi la notation¿pour o.

IV Equivalence

(mêmes hypothèses : la suite à laquelle on compare ne s’annule pas, au moins à partir d’un certain rang)

IV.1 Définition

On dit que (un) estéquivalenteà (vn), et on noteun∼vn, lorsque u_n

v_n −−−−−−→

n→∞ 1.

Comme son nom le laisse deviner, la relation∼est une relation d’équivalence sur l’ensemble des suites de nombres complexes ne s’annulant pas à partir d’un certain rang (elle est réflexive, symétrique, transitive).

IV.2 Réécriture

(u_n) et (v_n) sont équivalentes si et seulement s’il existe une suite (ηn) conver- geant vers 1 et telle que, au moins à partir d’un certain rang,

u_n=v_nηn.

IV.3 Passage d’un équivalent à un développement asymptotique

PropositionOn considère deux suites (u_n) et (v_n) qui, au moins à partir d’un certain rang, ne s’annulent pas. Les trois propriétés suivantes sont équivalentes : (i)u_n∼v_n

(ii)u_n−v_n=o(u_n) (iii)u_n−v_n=o(v_n)

Il faut savoir passer automatiquement de l’écriture u_n∼v_n

à l’écriture équivalente

u_n=v_n+o(vn)

(ou la même en inversant les rôles deu_n et de v_n). Ce passage est très utilisé dans les calculs asymptotiques, car il est bien plus facile de manipuler des déve- loppements asymptotiques que des équivalents. En particulier, on peut ajouter des développements asymptotiques, alors que des équivalents ne doivent pas être ajoutés.

Exemple : On supposeu_n∼w_n et v_n ∼w_n. On veut montreru_n+v_n∼2w_n. Or on sait qu’on ne doit pas ajouter des équivalents. Comment faire ? (plusieurs réponses envisageables).

IV.4 Comparaison avec la domination

Deux suites équivalentes se dominent mutuellement : (u_n∼v_n)⇒

³

u_n=O(v_n)´ et donc aussi

(u_n∼v_n)⇒

³

v_n=O(u_n)´

Mais la réciproque est fausse : même si deux suites se dominent mutuellement, elles ne sont pas pour autant équivalentes. Par exemple :

V Opérations

V.1 Quelques résultats

Les propriétés opératoires sont faciles à établir, inutile de surcharger sa mé- moire, mieux vaut revenir à la définition. On peut se souvenir que dans ce do- maine, une propriété est souvent évidente ou fausse.

Les suites (u_n), (v_n), (w_n), (t_n) considérées dans ce tableau ne s’annulent pas à partir d’un certain rang.

hypothèse(s) conclusion u_n=o(vn) u_nw_n=o( ) u_n=O(v_n) u_nw_n=O( ) u_n=o(vn) , t_n=o(wn) u_nt_n=o( ) u_n=O(v_n) ,t_n=O(w_n) u_nt_n=O( ) un=o(vn) , tn=o(vn) αun+βtn=o( ) u_n=O(v_n) ,t_n=O(v_n) αu_n+βt_n=O( ) u_n=o(v_n) , t_n∼v_n u_n=o( )

u_n=O(v_n) ,t_n∼v_n u_n=O( ) u_n∼v_n, t_n∼w_n u_nt_n∼ un∼vn, tn∼wn un/tn∼

V.2 Opérations sur les équivalents

a. Multiplication

Siu_n∼v_nett_n∼w_n, alorsu_nt_n∼v_nw_n.

Il suffit de remarquer qu’un produit de suites qui convergent vers 1 converge vers 1.

b. Quotient

Siun∼vnettn∼wn, alors un

t_n ∼ vn

w_n.

Il suffit de remarquer qu’un quotient de suites qui convergent vers 1 converge vers 1. Evidemment, ici, l’hypothèse du programme (les suites ne s’annulent pas, au moins à partir d’un certain rang) est cruciale.

c. Elévation à une puissance fixe

Siu_n∼v_n, si les deux suites sont à termes réels strictement positifs, alors, pour tout réelα,

u_n^α∼v^α_n

Il suffit de remarquer que si une suite (t_n) converge vers 1, (t_n^α) converge aussi vers 1. Insistons :αest fixe (voir plus bas). Siαest entier, la condition de stricte positivité n’est pas nécessaire.

d. On n’ajoute pas des équivalents

On peut multiplier des équ ivalents, en faire des quotients, mais surtout pas les ajouter. Deu_n∼v_n on ne peut pas déduireu_n+w_n∼v_n+w_n. De u_n ∼v_n et t_n∼w_non ne peut pas déduire non plusu_n+t_n∼v_n+w_n.

Un exemple :Si l’on prenait par exemplew_n= −u_n, on obtiendrait 0∼v_n−u_n. Or une suite n’est équivalente à la suite nulle si et seulement si elle est nulle à partir d’un certain rang (d’ailleurs, le programme ne prévoit pas que l’on ait une équivalence à la suite nulle).

Un exemple moins vague : On a 1 n+1 ∼ 1

n + 1

n⁵ (on a tout-à-fait le droit de trouver cela bizarre, mais c’est quand même vrai). On a aussi −1

n+2∼ −1 n+ 1

n⁵

(même remarque). Et pourtant 1

n+1− 1 n+26∼ 2

n⁵

Remarquons que les deux exemples donnés sont un peu artificiels. C’est assez normal : quand on ajoute des équivalents, on trouve la plupart du temps un résultat juste. Mais « la plupart du temps », ça ne veut rien dire. On retient donc le slogan

On n’ajoute pas des équivalents e. On ne fait pas n’importe quoi

A part produit, quotient, puissance fixe, toute manipulation sur les équivalents est a priori suspecte.

Exemple 1 On ne doit pas élever un équivalent à une puissance qui dépend den:

u_n∼v_n 6⇒uⁿ_n∼v_nⁿ.

Il faut savoir rédiger correctement la démonstration de

³ 1+x

n

´n

−−−−−→

n→+∞ e^x

Cette limite montre bien que, même si pour n’importe quelxon a 1+x

n ∼

n→+∞ 1 on n’a pas pour autant

³ 1+x

n

´n

n→+∞∼ 1ⁿ

Exemple 2 un∼vn 6⇒ln(un)∼ln(vn).

1. Trouver deux suites réelles strictement positives (u_n) et (v_n) telles que u_n∼v_nmais ln(u_n)6∼ln(v_n).

2. Montrer que siu_n∼v_netu_n−−−−−→

n→+∞ +∞alors ln(u_n)∼ln(v_n).

3. Quelle hypothèse analogue peut-on rajouter àu_n∼v_npour avoir le droit de conclure ln(u_n)∼ln(v_n) ? (plusieurs réponses possibles).

Exemple 3 Trouver deux suites réelles (u_n) et (v_n) telles queu_n∼v_n mais e^un6∼e^vn. Montrer que si deux suites réelles (u_n) et (v_n) sont telles queu_n∼v_n etu_n−−−−−→

n→+∞ 0 alorse^un∼e^vn.

Exemple 4 Trouver deux suites réelles (u_n) et (v_n) telles queu_n∼v_n mais sin(u_n)6∼sin(v_n). Montrer que si deux suites réelles (u_n) et (v_n) sont telles que u_n∼v_netu_n−−−−−→

n→+∞ 0 alors sin(u_n)∼sin(v_n).

En règle générale, lorsque l’on doit faire un calcul autre qu’un simple produit ou quotient il est prudent de transformer l’équivalent un∼vn en un=vn+o(vn), i.e. transformer un équivalent en développement asymptotique. Cela permet de faire des additions, entre autres.

VI Signes, limites et équivalence

Proposition (équivalence et signe) : Deux suites réelles équivalentes ont, à partir d’un certain rang, strictement même signe. Autrement dit, siu_n∼ v_n, à partir d’un certain rangn₀on a

(un=0)⇔(vn=0) , (un>0)⇔(vn>0) , (un<0)⇔(vn<0) Proposition (équivalence et convergence) : Si u_n ∼v_n, et siu_n −−−−−→

n→+∞ ` , alorsv_n−−−−−→

n→+∞ `. Et ce, que`soit une limite réelle, complexe, ou±∞.

Proposition (limite et équivalence) : Soit ` un nombre réel ou complexe.

Si `6=0, la suite (u<sub>n</sub>) a pour limite`si et seulement siu_n∼`. Si`=0, c’est complètement faux ; u_n∼0 signifieu_n nulle à partir d’un certain rang : c’est rare, en-dehors du programme, et c’est en général la conclu- sion d’un calcul erroné.

Proposition (limite et développement asymptotique) : Dans tous les cas, il est intéressant de savoir transformer une limite en développement asymp- totique :

³

u_n−−−−−→

n→+∞ `´

⇐⇒

³

u_n=`+ o

n→+∞(1)

´

Il est en particulier intéressant de remarquer que la phrase³

u_n−−−−−→

n→+∞ 0´ équivaut à la phrase

³

u_n=o(1)´ .

VII Suites de référence, croissances comparées

VII.1 Hiérarchie

En remplaçant la notation o par la notation¿, on a : siβ>0,α>0,a>1, alors (lnn)^β¿n^α¿aⁿ

ou, ce qui revient au même, siγ>0 :

(lnn)^β¿n^α¿e^nγ

On peut trouver des suites qui divergent encore plus vite vers+∞: (lnn)^β¿n^α¿aⁿ¿n!¿nⁿ

et de même, siβ<0,α<0,a<1, 1

nⁿ ¿ 1

n!¿aⁿ¿n^α¿(lnn)^β.

VII.2 Logarithmes et puissances

Il faut connaître le résultat cité plus haut, que l’on peut réécrire : Siβ>0 etα>0 alors (lnn)^β= o

n→+∞(n^α).

Mais il est intéressant d’approfondir un peu, et de réfléchir au problème sui- vant : à quelle condition nécessaire et suffisante (portant sura,b,a⁰,b⁰) a-t-on

n^a(lnn)^b= o

n→+∞

³

n^a0(lnn)^b0´

?

La comparaison entre logarithmes et puissances est celle qu’on utilise le plus, en particulier dans le célèbre problème des séries de Bertrand.

VII.3 Suite de puissances et suite géométrique

En utilisant la comparaison du paragraphe précédent, montrer que, siα>0 et a>1,

n^α= o

n→+∞(aⁿ)

VIII Quelques considérations sur les équivalents

Que peut-on déduire de (1) un+1∼un ?

D’abord, cela n’a rien à voir avec la convergence de (un) : l’examen des suites µ 1

2ⁿ

¶

, qui converge mais pour laquelle on n’a pas (1), et (n) pour laquelle on a (1) mais qui ne converge pas, le montre (on trouve facilement des suites qui vé- rifient (1) et qui convergent, des suites qui ne vérifient pas (1) et qui divergent, bref tout peut se produire). De (1) on a le droit de déduire

u_n−1∼u_n u_n+1∼u_n u_n∼u_n−p

(oùpest un entier naturel fixé). Le premier∼vient du fait que si u_n+1

u_n −−−−−→

n→+∞ 1 alors un

u_n−1−−−−−→

n→+∞ 1, le deuxième de la transitivité de∼ou du fait qu’un produit de suites qui convergent vers 1 converge vers 1.

L’exemple deu_n=nsemble montrer qu’il n’est pas possible de déduire de (1) que u_2n ∼u_n. Si on pense que cela résulte de la transitivité, on enchaîne les propriétés (toutes vraies !)

u_n∼u_n+1 u_n+1∼u_n+2 u_2n−1∼u_2n

Le problème, c’est qu’il n’y en a pas un nombre fixe : il y en an. Or∼est une relation asymptotique, elle exprime une limite quandn→ +∞. Et donc on fait tendre le nombre de relations vers+∞. Ce qui n’est pas possible : on peut uti- liser la transitivité sur un aussi grand nombre de∼qu’on le souhaite, mais ce nombre doit être fixe. Pour être plus convaincant, on peut mettre cela en œuvre sur un exemple plus simple : si je répètepfois que

1+1

−−−−−→1

Pour autant, je n’ai pas le droit de dire µ

1+1 n

¶n

−−−−−→

n→+∞ 1

car ici je remplaceppar quelque chose qui dépend den. Pour les amateurs de logique, en plus du fait que p est plus haut fixé et quen tend vers l’infini, on peut aussi remarquer que remplacer p par n est hérétique, puisque n est une variable muette alors que p, non.

Table des matières

I Introduction 1

II Domination 1

II.1 Définition . . . 1

II.2 Réécriture . . . 2

II.3 Réécriture . . . 2

II.4 Remarque . . . 2

III Négligeabilité et prépondérance 2 III.1 Définition . . . 2

III.2 Réécriture . . . 3

III.3 Réécriture . . . 3

III.4 Comparaison avec la domination . . . 3

III.5 Remarque sur les « notations de Landau » . . . 3

IV Equivalence 3 IV.1 Définition . . . 3

IV.2 Réécriture . . . 4

IV.3 Passage d’un équivalent à un développement asymptotique . . . . 4

IV.4 Comparaison avec la domination . . . 5

V Opérations 5 V.1 Quelques résultats . . . 5

V.2 Opérations sur les équivalents . . . 7

VI Signes, limites et équivalence 10 VIISuites de référence, croissances comparées 11 VII.1Hiérarchie . . . 11

VII.2Logarithmes et puissances . . . 11

VII.3Suite de puissances et suite géométrique . . . 11