Feuille d exercices 1 Chapitre 1 : Intégrales de Riemann. 0 si x = 0; 1 si 0 < x < 1; 2 si 1 < x 2; 1 si 2 < x 4.

Feuille d’exercices 1

– Chapitre 1 : Int´egrales de Riemann. –

INT ´EGRALES DE FONCTIONS EN ESCALIERS

Exercice 1. Soitf la fonction d´efinie sur [0,4] par :

f(x) =















0 six= 0;

−1 si 0< x <1;

2 six= 1;

−2 si 1< x≤2;

1 si 2< x≤4.

1^◦. f est-elle une fonction en escalier ? Dessiner son graphe.

2^◦. Lesquelles de ces subdivisions sont-elles adapt´ees `af:σ₁={0,2,4},σ₂={0,1,2,4}, σ3={0,1,2,3,4}? Laquelle est la plus fine ?

3^◦. En utilisant une subdivision adapt´ee, calculerR4

0 f(x)dx.

4^◦. On consid`ere maintenant la fonctiong d´efinie sur [0,4] par :

g(x) =











−1 si 0≤x <2;

0 six= 2;

2 si 2< x≤3;

−2 si 3< x≤4.

a. CalculerR4

0 g(x)dx. Donner la valeur deR4

0 f(x)dx+R4

0 g(x)dx.

b. Donner une subdivisionσadapt´ee `af +g.

c. CalculerR4

0 (f(x) +g(x))dx en utilisant la subdivisonσ.

Exercice 2. Soitf la fonction d´efinie sur [−1,1] par

f(x) = 2 si −1≤x <0;−1 si 0≤x≤1.

Pour toutx∈[−1,1], on posef₊(x) = max(f(x),0) etf₋(x) = min(f(x),0).

1^◦. V´erifier quef₊ etf₋ et sont deux fonctions en escalier.

2^◦. CalculerR1

−1f₊(x)dxet R1

−1f₋(x)dx.

3^◦. Montrer que pour toutx∈[0,2],f(x) =f₊(x) +f₋(x) et|f(x)|=f₊(x)−f₋(x).

4^◦. Calculer les int´egrales R1

−1f(x)dx etR1

−1|f(x)|dx.

1

Exercice 3. On note bxc la partie enti`ere d’un nombre r´eel x. CalculerR3

0bxcdx, puis Rb

0bxcdxpour un r´eelb >0.

Exercice 4. Montrer que la fonctionx7−→sin ^π₂bx²c

est en escalier sur [0,2] et calculer son int´egrale.

CALCUL D’INT ´EGRALES

Calcul direct en en utilisant des primitives

Exercice 5. Calculer les int´egrales suivantes : Z 1

0

x

(x²+ 1)² dx,

Z 1 0

e^arctanx x²+ 1 dx,

Z 3 2

√x−1dx,

Z ^π₂

π 4

e^xsin(e^x)dx,

Z 2 1

lnx x dx,

Z 4 2

dx xlnx,

En utilisant des changements de variables

Exercice 6. En utilisant le changement de variables u= √

e^x−1, calculer l’int´egrale Z ln 3

ln 2

√e^x−1dx.

Exercice 7. Calculer les int´egrales suivantes : Z 3 ln 2

ln 3

√ 1

1 +e^x dx,

Z 2 1

1 3 +e^−x dx,

Z 1 0

1

(x²+ 1)² dx, Z ^π₄

0

cosx 1 + cos²xdx,

Z ^π₄

0

sinx 1 + cos²x dx,

Z ^π₂

0

1

1 + cosx dx,

Exercice 8. Calculer les int´egrales Z 2

1 2

1 + 1

x²

Arctan(x)dxet Z π

0

x 1 + sin(x)dx.

En utilisant l’int´egration par parties

Exercice 9. Calculer les int´egrales suivantes : Z 2

1

xlnx dx,

Z 1 0

Arctan(x)dx,

Z 1

−¹₂

xArcsin(x)dx,

Z 1

−1

(x+ 2)e^x−1dx,

Z π

−π

xsin(x)e^2xdx,

Z 1 0

(x²+ 1)sh(x)dx.

Exercice 10. Pour a∈R⁺ etn∈Non pose I(a, n) = Z 1

0

x^a(1−x)ⁿdx.

1. Trouver une relation entreI(a+ 1, n) etI(a, n+ 1).

2. CalculerI(a, n)−I(a, n+ 1).

3. En d´eduire une expression deI(a, n+ 1) en fonction de I(a, n) puis donner une expression deI(a, n).

En trouvant vous-mˆemes la m´ethode de calcul Exercice 11. Calculer les int´egrales suivantes :

Z 1 0

3x+ 1 (x+ 1)² dx,

Z 1 0

x² (x²+ 1)² dx,

Z 2 1

x⁴+ 1 x²+ 1 dx, Z 1

0

xe^xdx,

Z e 1

x²lnx dx,

Z 3 0

2 3 +e^x dx, Z 1

−1

p1−x²dx,

Z 2

1 2

lnx

1 +x² dx, R4

0 ch(x) cos(x)dx, Z ^π₄

−^π₂

sin(x) cos(x)dx,

Z ^π₄

−^π₂

sin⁵(x) cos¹¹(x)dx

Z ^π₂

0

cos(x)

(1 + cos(x))(1 + sin(x)) dx,

SOMMES DE RIEMANN

Exercice 12. On notef(x) =x²pour toutx∈ R. Soitb >0. On se propose de calculer l’int´egrale

Z b 0

x²dxsans utiliser de primitive.

1^◦. Montrer que pour tout n∈ N^∗, on a :

n

X

j=1

j²=n(n+ 1)(2n+ 1)

6 .

2^◦. En consid´erant les sommes de Riemann def sur [0, b], calculer Z b

0

x²dx.

Exercice 13. 1^◦. Montrer que pour toutn∈ N^∗, on a :

n

X

j=1

sin(jx) = sin(ⁿ₂x) sin(ⁿ⁺¹₂ x) sin(^x₂) .

2^◦. En consid´erant les sommes de Riemann, calculer Z π

0

sin(x)dx.

Exercice 14. Montrer que les suites suivantes convergent et d´eterminer leurs limites : 1. un = 1

n³

n

X

k=1

k²sin(kπ n ) 2. u_n = 1

n²

n

X

k=1

k√ⁿ e^−k

3. u_n = 1

n+ 1+ 1

n+ 2 +...+ 1 2n 4. u_n =

2n

X

k=n+1

n k²

5. un = 1 n²

n

Y

k=1

(n²+k²)

!_n¹

6. u_n = 1 n

n

Y

p=1

(n+p)

!¹_n

7. un = Pn−1

k=0

2n²+kn n²+(n+k)²

Pn−1 k=0

q 1−^k_n 8. un = 1

n³²

n

X

k=1

E(√ k).

AUTRES EXERCICES

Exercice 15 (Int´egrales de Wallis.). On pose pour tout entier naturel n : Wn :=

Z ^π₂

0

cosⁿ(t)dt.

1. Montrer queWn= Z ^π₂

0

sinⁿ(t)dt.

2. Montrer que W_n+2 = ⁿ⁺¹_n+2W_n puis en d´eduire une expression de W_2p et W_2p+1 pour toutp∈N.

3. Apr`es avoir calcul´enWnWn+1pour toutn∈Net montr´e queWn∼Wn+1lorsque ntend vers +∞, proposer un ´equivalent deWn lorsque ntend vers +∞.

Exercice 16(Formule de Taylor avec reste int´egral). Soitn∈Net soitf de classeCⁿ⁺¹ sur [a, b].

1. Montrer quef(b) =

n

X

k=0

f^(k)(a)(b−a)^k

k! +

Z b a

(b−t)ⁿ

n! f⁽ⁿ⁺¹⁾(t)dt.

2. Applications :

— Montrer que∀x∈R^∗+, ∀n∈N, e^x>

n

X

k=0

x^k k!.

— Montrer que lim

n→+∞

n

X

k=1

(−1)^k−1 k = ln 2.

Exercice 17. Calculer leur primitives suivantes et en donner l’ensemble de d´efinition : Z 1

x−i dx,

Z 3x+ 2 x²+x+ 1 dx,

Z x

x²+x+ 1 dx, Z x⁷+ 2

(x²+x+ 1)³ dx,

Z x

2x²−6x+ 4 dx,

Z 1

xⁿ−1 dx o`un∈N^∗ Z

cos³(x) sin²(x)dx,

Z dx sin(x)

Z

sin²(x) cos⁴(x)dx, Z

ch³(x)sh⁴(x)dx,

Z cos³(x) 2 + 3 sin(x) dx,

Z dx sin(x),

Exercice 18. Dire, en le justifiant, si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. Une fonction en escalier est une fonction continue par morceaux.

2. La fonction ]0,1] −→ R

x 7−→ ¹_x se prolonge en une fonction continue par morceaux sur [0,1].

3. La fonctionx7−→x− bxcest continue par morceaux sur tout segment.

4. Une fonction d´efinie sur [0,1] est continue si et seulement si elle est uniform´ement continue.

5. Pour K =R ou C, l’ensemble des fonctions continues par morceaux d´efinies sur [0,1] et `a valeurs dansKest unK-espace vectoriel.

6. Pour K =R ou C, l’ensemble des fonctions continues par morceaux d´efinies sur [0,1] et `a valeurs dansKest stable par produit.

7. L’ensemble des fonctions continues par morceaux d´efinies sur [0,1] et `a valeurs dansRest stable par prise de la valeur absolue.

8. Pour toutes fonctions en escalierf, g: [0,1]−→R, Z

[0,1]

f g= Z

[0,1]

f× Z

[0,1]

g.

9. Sif : [0,1]−→Rest continue par morceaux, alorsf est born´ee.

Exercice 19. Soient a < bdeux r´eels.

1. Soitf : [a, b]−→Rcontinue telle que Z b

a

f = 0. Montrer quef s’annule au moins une fois sur [a, b].

2. Le r´esultat est-il encore vrai si l’on suppose seulementf `a valeurs dansC? 3. Le r´esultat est-il encore vrai si l’on suppose seulementf continue par morceaux ?

Exercice 20. Soient a < bdeux r´eels.

1. Soitf continue sur [a, b] `a valeurs positives telle que Z

[a,b]

f = 0. Montrer que f est identiquement nulle sur [a, b].

2. Le r´esultat est-il encore vrai sif n’est pas suppos´ee `a valeurs positives ?