Université de Bourgogne U.F.R des Sciences et Techniques1
Devoir 5 (exercices à rédiger) à rendre le Mercredi 13 Décembre 2017 exercice 1
Soit n un entier naturel ≥1, on considère le fonctionfn(x) = xnex−1.
1. En étudiant fn sur l’intervalle [0,+∞[, montrer que l’équation xnex = 1 admet une et une seule solution positive. On note cette solution αn.
2. Vérifier que αn <1. Calculer, puis déterminer le signe, de fn(αn+1). En déduire que la suite (αn) est strictement croissante, puis convergente. Montrer que cette limite est 1.
(Remarquer que αn = exp
−αn
n
.)
3. On a doncαn = 1+o(1). Montrer que si l’on reporte cette égalité dansαn = exp
−αn n
, alors :
αn= 1− 1 n +o
1 n
. En déduire que :
αn= 1− 1 n +3
2 1 n2 +o
1 n2
. exercice 2
Soit k un entier supérieur ou égal à 2, on considère le reste : RN =
+∞
X
n=N
1
nk. (1)
On veut étudier le comportement de RN quand N → +∞. Dans la suite p désigne un entier naturel.
1. Si α >0 donner un développement asymptotique de 1
nα − 1
(n+ 1)α jusqu’à l’ordre O
1 nα
.
2. Pour tout entierr,0≤r≤p+ 1, on considère :
Pr(x) = (x+ 1)k+pxr−xk+p(x+ 1)r. (2) Montrer que (1, x, . . . , xk+p−2, P0(x), P1(x), . . . , Pp+1(x)) est une base de l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal àk+ 2p. En déduire l’existence et l’unicité de la décomposition :
(x+ 1)k+pxp =
p+1
X
i=0
λiPi(x) +
k+p−2
X
j=0
µjxj (3)
où les λi et les µj sont des réels.
1. Licence Sciences L2, M34, U-Bourgogne 2017/2018
1
3. Montrer que l’on a un développement du type : 1
nk =
p
X
i=−1
νi
"
1
nk+i − 1 (n+ 1)k+i
#
+O
1 nk+p+2
, n→+∞. (4)
En déduire que :
RN = ν−1
Nk−1 + ν0
Nk +· · ·+ νp
Nk+p +O
1 nk+p+1
, N →+∞. (5)
4. Si k= 2, donner le développement de RN jusqu’à l’ordre ON14
.
2