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Montrer que cette limite est 1

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Université de Bourgogne U.F.R des Sciences et Techniques1

Devoir 5 (exercices à rédiger) à rendre le Mercredi 13 Décembre 2017 exercice 1

Soit n un entier naturel ≥1, on considère le fonctionfn(x) = xnex−1.

1. En étudiant fn sur l’intervalle [0,+∞[, montrer que l’équation xnex = 1 admet une et une seule solution positive. On note cette solution αn.

2. Vérifier que αn <1. Calculer, puis déterminer le signe, de fnn+1). En déduire que la suite (αn) est strictement croissante, puis convergente. Montrer que cette limite est 1.

(Remarquer que αn = exp

−αn

n

.)

3. On a doncαn = 1+o(1). Montrer que si l’on reporte cette égalité dansαn = exp

−αn n

, alors :

αn= 1− 1 n +o

1 n

. En déduire que :

αn= 1− 1 n +3

2 1 n2 +o

1 n2

. exercice 2

Soit k un entier supérieur ou égal à 2, on considère le reste : RN =

+∞

X

n=N

1

nk. (1)

On veut étudier le comportement de RN quand N → +∞. Dans la suite p désigne un entier naturel.

1. Si α >0 donner un développement asymptotique de 1

nα − 1

(n+ 1)α jusqu’à l’ordre O

1 nα

.

2. Pour tout entierr,0≤r≤p+ 1, on considère :

Pr(x) = (x+ 1)k+pxr−xk+p(x+ 1)r. (2) Montrer que (1, x, . . . , xk+p−2, P0(x), P1(x), . . . , Pp+1(x)) est une base de l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal àk+ 2p. En déduire l’existence et l’unicité de la décomposition :

(x+ 1)k+pxp =

p+1

X

i=0

λiPi(x) +

k+p−2

X

j=0

µjxj (3)

où les λi et les µj sont des réels.

1. Licence Sciences L2, M34, U-Bourgogne 2017/2018

1

(2)

3. Montrer que l’on a un développement du type : 1

nk =

p

X

i=−1

νi

"

1

nk+i − 1 (n+ 1)k+i

#

+O

1 nk+p+2

, n→+∞. (4)

En déduire que :

RN = ν−1

Nk−1 + ν0

Nk +· · ·+ νp

Nk+p +O

1 nk+p+1

, N →+∞. (5)

4. Si k= 2, donner le développement de RN jusqu’à l’ordre ON14

.

2

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