E. mail : lesfariahmed@yahoo.fr

Master Mathématiques Fondamentales, 2009-2010

A. Lesfari

Département de Mathématiques Faculté des Sciences

Université Chouaïb Doukkali B.P. 20, El-Jadida, Maroc.

E. mail : lesfariahmed@yahoo.fr

Table des matières

1 Formes diérentielles 2

1.1 Dénitions et propriétés . . . 2

1.2 Exercices . . . 10

2 Champ de vecteurs, Flots, Opérateurs diérentiels et Variétés diéomorphes aux tores réels 15 2.1 Champ de vecteurs, Groupes à un paramètre de diéomorphismes et Opérateurs diérentiels . . . 15

2.2 Commutativité des champ de vecteurs . . . 21

2.3 Variétés diéomorphes aux tores réels . . . 25

3 Principe variationnel et applications 30 3.1 Principe variationnel, Equations de Lagrange . . . 30

3.2 Transformation de Legendre . . . 34

3.3 Equations canoniques de Hamilton . . . 36

3.4 Transformation canonique . . . 37

3.5 Equation d'Hamilton-Jacobi . . . 38

1

1 Formes diérentielles

1.1 Dénitions et propriétés

Soient n, k ∈N etU ⊂Rⁿ un ouvert. Soit

ω = X

1≤i1<...<ik≤n

f_i1,...,ikdx_i1 ∧...∧dx_ik,

une k-forme diérentielle sur U. Les f_i1,...,ik (1 ≤ i₁ < ... < i_k ≤ n) sont des fonctions de U dans R (ou C), de classe C^∞.

On dénit le produit extérieur deω etλ(une l-forme diérentielle dansU) en posant

ω∧λ= X

1≤i1,...,ik,j1,...,jl≤n

f_i1,...,ikg_j1,...,jldx_i1 ∧...∧dx_ik ∧dx_j1 ∧...∧dx_jl. C'est une (k+l)-forme diérentielle dans U. On vérie aisément que :

k+l > n =⇒ ω∧λ= 0, (ω∧λ)∧η = ω∧(λ∧η), (ω+η)∧λ = (ω∧λ) + (η∧λ),

ω∧λ = (−1)^kl(λ∧ω).

On dénit la diérentielle extérieure de ω en posant

dω = X

1≤i1,...,ik≤n

dfi1,...,ik ∧dxi1 ∧...∧dxik.

C'est une (k+ 1)-forme diérentielle dans U. Dans le cas d'une 1-forme ω =

Xn

i=1

f_idx, on a

dω = X

1≤i,k≤n

µ∂f_j

∂x_i − ∂f_i

∂x_j

¶

dx_i∧dx_j. On vérie les formules suivantes :

d(aω+bλ) = adω+bdλ, (a, b∈R)

d(ω∧λ) = (dω∧λ) + (−1)^k(ω∧dλ), k =deg ω d(dω) = 0.

On dit que ω est fermée (ou un cocycle) si dω = 0.

En particulier, une1-forme

ω = Xn

i=1

f_idx, est fermée si et seulement si

∂f_i

∂xj

= ∂f_j

∂xi

, ∀1≤i, j ≤n.

On dit queω est exacte (ou cohomologue à 0) s'il existe une(k−1)-forme diérentielleλ dans U telle que :

ω =dλ.

En particulier, une1-forme diérentielle ω =

Xn

i=1

fidx,

est exacte s'il existe une application h:U →R (de classe C¹) telle que : f_i = ∂h

∂xi

.

Toute forme diérentielle exacte est fermée. La réciproque est fausse en gé- néral et elle est vraie en degré≥1si l'ouvertU est étoilé (lemme de Poincaré).

Soient Ω^k(M) l'espace vectoriel réel des k-formes diérentielles de classe C^∞ sur une variété diérentiable M et

d: Ω^k(M)−→Ω^k+1(M),

la diérentielle extérieure. On appelle groupe de cohomologie de la variétéM, l'espace vectoriel réel

H^k(M,R) = ker£

d: Ω^k(M)−→Ω^k+1(M)¤ Im[d: Ω^k−1(M)−→Ω^k(M)] ,

= {k−formes diérentielles fermées surM} {k−formes diérentielles exactes surM}.

C'est le groupe de cohomologie de De Rham que l'on désigne aussi parH_DR^k (M,R). Un élément de ce groupe est une classe d'équivalence de formes fermées dié- rent l'une de l'autre par une diérentielle :

ω1 ∼ω2 si ω1−ω2 =dλ.

Exemple 1 H⁰(M,R)est un espace vectoriel de dimension nie égal au nombre de composantes connexes de M. En eet, nous n'avons ici que des 0-formes diérentielles, i.e., des fonctions f(x) sur M. Il n'y a pas de formes diéren- tielles exactes. Dès lors,

H⁰(M,R) ={f :f est fermée}.

Comme df(x) = 0, alors dans toute carte (U, x₁, ..., x_n) de M, on a

∂f

∂x₁ = ∂f

∂x₂ =...= ∂f

∂x_n = 0.

Par conséquent,f(x) =constante localement, i.e.,f(x) =constante sur chaque composante connexe de M. Donc le nombre de composantes connexes de M est la dimension en question.

Le lemme de Poincaré peut-être vu comme un théorème d'annulation de la cohomologie :

H^k(U,R) = 0, k ≥1 oùU ⊂Rⁿ est un ouvert étoilé.

Soit I = [0,1],I^k =I×...×I (k-fois). Un k-simplexe (de classe C^r, r≥1) dans U est une application

ϕ:I^k −→U,

qui est de classe C^r sur I^k. Comme I^k est le volume formé par k vecteurs indépendants dansU, l'application ϕest donc une déformation de I^k.

Par exemple,

- un 0-simplexe est un point.

- un 1-simplexe dansR³ est une courbe dans R³.

- un 2-simplexe dans R³ est une surface dans R³ homéomorphe à I² (un triangle).

- un 3-simplexe dansR³ est une boule.

- un cube, un volume dans R³ homéomorphe à I³ (un tétraèdre).

Rappelons que pour intégrer unek-forme diérentielle sur une variétéM, il faut que celle-ci soit orientable. Cela signie queM vérie l'une des conditions équivalentes suivantes :

(i)M est munie d'une forme volume, i.e., unek-forme diérentielle qui ne s'annule nulle part.

(ii)Il existe surM un atlas tel que le jacobien de tout changement de carte soit strictement positif.

Par exemple,

- Rⁿ est orientée par la forme volumedx1∧...∧dxn. - le cercle S¹ est orienté pardθ.

- le tore T² =S¹ ×S¹ est orienté par la forme volume dθ∧dϕ. -toutes les variétés holomorphes sont orientables.

-la sphèreS², l'espace projectif RPⁿ (n paire), la bande de Möbius ne sont pas orientables.

Soient ω une k-forme diérentielleU ⊂M (orientable) etϕunk-simplexe dans U de classe C¹. L'intégrale de ω sur ϕest dénie par

Z

ϕ

ω = Z

I^k

ω(ϕ).

On suppose que k ≥2 et soient π une permutation de (1, ..., k), ϕ:I^k −→U,(u₁, ..., u_k)7−→ϕ(u₁, ..., u_k),

unk-simplexe dansU, et

ϕ_π :I^k −→U,(u₁, ..., u_k)7−→ϕ_π(u₁, ..., u_k) =ϕ(u_π(1), ..., u_π(1)), unk-simplexe dansU. Pour toute k-forme diérentielle ω dans M, on a

Z

ϕπ

ω =sign π Z

ϕ

ω, où signπ désigne la signature de la permutationπ.

La relation ci-dessus, montre que l'ensemble des ϕ_π lorsque π parcourt les permutations de (1,2, ..., k) peut être divisé en deux classes : La première correspond au cas oùπest paire (sign π = 1) ;ϕπ etϕont même orientation et on posera dans ce cas ϕ_π =ϕ. La seconde correspond au cas où π est impaire (sign π=−1) ; ϕ_π etϕont des orientations opposées et on posera dans ce cas ϕπ =ϕ−. Pour cette seconde classe,πest une transposition, i.e., deux éléments seulement sont permutés. Par exemple, sik = 2 etn = 3, on a

ϕ₋(u₁, u₂) = ϕ(u₂, u₁).

Nous avons supposé quek ≥2. Dans le cas oùk = 1, alorsϕ− s'obtient par la formule

ϕ₋(u) = ϕ(1−u).

Un k-complexe (de classe C^r, r ≥ 1) dans U est une famille nie Φ = (ϕ₁, ..., ϕ_m) dek-simplexes ϕ_j, 1≤j ≤m, dans U (de classe C^r, r ≥1). Géo- métriquement, un complexe peut se visualiser comme une réunion de surfaces, celles dénies par les simplexes le composant.

SiΦ = (ϕ₁, ..., ϕ_m)est unk-complexe (de classeC¹) dans U et siω est une k-forme diérentielle dans U, alors l'intégrale deω surΦ est dénie par

Z

Φ

ω = Xm

j=1

Z

ϕj

ω.

En particulier, unk-complexeΦ = (ϕ₁, ..., ϕ_m) dans U tel que : ϕ_j(1) =ϕ_j+1(0), 1≤j ≤m−1,

est un chemin dans U par morceaux. Si en outre ϕ_m(1) = ϕ₁(0), alors Φ est un cycle ou chemin fermé.

Soient ω une 1-forme diérentielle exacte dans U, Φ = (ϕ₁, ..., ϕ_m) etΨ = (ψ₁, ..., ψ_m)deux chemins dans U. Si ω=df, alors

Z

Φ

=f(ϕ_m(1))−f(ϕ₁(0)). Siϕ₁(0) =ψ₁(0) et ϕ_m(1) =ψ_m(1), alors

Z

Φ

ω = Z

Ψ

ω.

Enn siΦ est un chemin fermé, alors Z

Φ

ω = 0.

Le bord d'un k-simplexe

ϕ:I^k −→U, k ≥2, est le(k−1)-complexe, noté ∂ϕ, déni par

∂ϕ=

³

ϕ^j,αsign^(−1)j+α : 1≤j ≤k, α= 0,1

´ , où

ϕ^j,α₊ ≡ϕ^j,α :I^k−1 −→ U,

(u1, ..., uk−1) 7−→ ϕ^j,α(u1, ..., uk−1) =ϕ(u1, ..., uj−1, α, uj, ..., uk−1), et

ϕ^j,α₊ =¡ ϕ^j,α¢

−.

Lors de la détermination du bord d'un simplexe ϕ, les notations suivantes peuvent être utiles pour préciser l'image de ϕ ainsi que l'orientation. Soient x₀, x₁, ..., x_k ∈U, k+ 1 points et

ϕ:I^k −→U, u7−→ϕ(u) = x₀+ Xk

j=1

u_j(x_j−x₀).

L'applicationϕdénit unk-simplexe dansU et Im ϕest un parallélipipède (à k dimensions) construit sur lesk segments joignantx₀ àx_j,1≤j ≤k. Cesk- simplexes sont appelésk-parallélotopes orientés et seront notés :[x0, x1, ..., xk]. On a x₀ = ϕ(0) et x_j = ϕ(e_j), 1 ≤ j ≤ k, où e_j désigne le jième vecteur de base deR^k. Pourk = 1, on note [x0, x1] etx0 −→

orientation x1.

Exemple 2 Soit

ϕ:I² −→R²,(u1, u2)7−→(u1, u2), le2-simplexe identité (injection canonique). On a

∂ϕ =

³

ϕ^j,αsign^(−1)j+α : 1≤j ≤2, α= 0,1

´ ,

= ¡

ϕ^1,0₋ , ϕ^1,1, ϕ^2,0, ϕ^2,1₋ ¢ , où

ϕ^1,0₋ (u) = ¡ ϕ^1,0¢

−(u),

= ϕ^1,0(1−u),

= ϕ(0,1−u),

= (0,1−u),

= [(0,1),(0,0)](u),

= [e₂,0](u), ϕ^1,1(u) = ϕ(1, u),

= (1, u),

= [(1,0),(1,1)](u),

= [e1, e1 +e2](u), ϕ^2,0(u) = ϕ(u,0),

= (u,0),

= [(0,0),(1,0)](u),

= [0, e₁](u), ϕ^2,1₋ (u) = ¡

ϕ^2,1¢

−(u),

= ϕ^2,1(1−u),

= (1−u,1),

= [(1,1),(0,1)](u),

= [e₁+e₂, e₂](u).

Comme I² = [0,1]×[0,1], alors ϕ(I²) est le carré construit sur les segments joignant 0 à e1, e1 à e1+e2, e1+e2 à e2 et e2 à 0. On obtient

(∂ϕ)(I²) = [

1≤j≤2

α=0,1

³

ϕ^j,αsign^(−1)j+α(I)

´

=fr (ϕ(I²)).

Le bord d'un k-complexe Φ = (ϕ₁, ..., ϕ_m) est le (k−1)-complexe déni par

∂Φ = (∂ϕ₁, ..., ∂ϕ_m),

=

³

ϕ^j,l,αsign^(−1)l+α : 1≤j ≤m,1≤l≤k, α= 0,1

´ .

Soient M₁,M₂ des variétés diérentiables de dimension m₁,m₂ respective- ment et U1 ⊂ M1, U2 ⊂ M2 des ouverts. Pour toute application diérentiable g : U₁ −→ U₂, et toute k-forme diérentielle dans U₂, on peut dénir une k-forme diérentielle dans U₁ (appelée le pull-back par g ou image inverse ou encore transposée deω par g) en posant

g^∗ω = X

1≤i1,...,ik≤m2

(f_i1,...,ik ◦g)dg_i1∧...∧dg_ik, où

dg_il =

m1

X

j=1

∂g_il

∂y_jdy_j, sont des1-formes dans U1.

Notons que g^∗ est un opérateur linéaire de l'espace des k-formes sur M₂ dans l'espace des k-formes sur U₁ (l'astérisque indique que g^∗ opère dans le sens inverse deg).

Soit ω est une k-forme diérentielle dans U₂ etλ une l-forme diérentielle dans U₂. Alors sik =l,

g^∗(ω+λ) =g^∗ω+g^∗λ, et

g^∗(ω∧λ) =g^∗ω∧g^∗λ.

Sih:U₂ →R est une application continue, g^∗(hω) = (h◦g)g^∗ω.

Siω est de classe C¹ dan U₂ etg de classe C² dans U₁, g^∗(dω) = d(g^∗ω).

SiM3 est une autre variété diérentiable, U3 ⊂ M3 un ouvert et h: U3 → U1

une application de classe C¹, alors

(g◦h)^∗ω =h^∗(g^∗ω).

On déduit de ces propriétés que si g :U₁ −→U₂ est une application diéren- tiable, alors il y a des applications linéaires induites

g^∗ :H^k(U₂,R)−→H^k(U₁,R), telles que :

g^∗([ω]∧[λ]) =g^∗[ω]∧g^∗[λ].

En outre, si g est un diéomorphisme local, alors g^∗ est un isomorphisme d'algèbres (les groupes de cohomologie donnent donc des invariants diéren- tiables).

On montre que siϕest un k-simplexe dansM de classe C¹, ω une k-forme diérentielle dansM,

τ^k:I^k −→R^k, u7−→τ^k(u) =u,

unk-simplexe identité dansI^k ⊂R^k (injection canonique de classe C^∞), alors Z

ϕ

ω = Z

τ^k

ϕ^∗ω.

On en déduit que siω est une (k−1)-forme diérentielle de classe C¹ dans M (orientable) et Φ = (ϕ1, ..., ϕm) un k-complexe dans M de classe C², alors on a la formule de Stokes-Cartan

Z

∂Φ

ω = Z

Φ

dω.

Soit A un anneau unitaire. On notera C_k le A-module libre engendré par tous les k-simplexes dans un complexe Φ. Un élément de Ck est appelé une k-chaîne dans le complexe Φ. C'est une somme nie formelle de la forme

c_k =X

k

α_kσ_k,

oùσk est un k-simplexe et αk∈A. Le bord ∂ck d'une k-chaîne est dénie par

∂c_k =X

k

α_k∂σ_k.

Un cycle est une chaîne c_k telle que : ∂c_k = 0. Un bord est une chaîne c_k telle qu'il existe une chaînec_k+1 avec ∂c_k+1 =c_k. Par analogie avec les formes diérentielles, on peut dire qu'un cycle est une chaîne fermée et qu'un bord est une chaîne exacte. On montre que pour toutek-chaînec_k, le bord∂c_k est une (k −1)-chaîne et que ∂(∂c_k) = 0. En outre, les k-chaînes forment un groupe abélien en introduisant une loi d'addition sur les chaînes comme suit : si

ck =X

k

αkσk, c⁰_k =X

k

α⁰_kσk, alors

c_k+c⁰_k =X

k

(α_k+α⁰_k)σ_k. Les cycles forment un groupe noté

Z_k = ker(∂ :C_k −→C_k−1).

Deux cyclesc⁰_k etc⁰⁰_k sont équivalents ou homologues si et seulement si c⁰_k−c⁰⁰_k=∂c_k+1.

De même, les bords forment aussi un groupe noté B_k =Im(∂ :C_k+1 −→C_k).

On poseB₀ = 0. On a les inclusions :

Bk⊂Zk ⊂Ck.

On appelle groupe d'homologie, noté H_k, le quotientZ_k/B_k.

Il est clair qu'un bord est un cycle. Mais tout cycle n'est pas un bord.

Exemple 3 Soient a et b deux cycles indépendants dans H₁(T). Ces cycles forment une base d'homologie du tore T. On a

H₁(T)⁽¹⁾=Z₁(T)/B₁(T)⁽²⁾= Z/2Z.

Les deux groupes (1) et (2) ont même structures ; ils sont engendrés par deux éléments a et b.

1.2 Exercices

Exercice 1.1 Considérons l'espace vectoriel R³ dans lequel on aura xé des coordonnées

x₁, x₂, x₃ :R³ −→R.

Soient f et h des fonctions de R³ dans R, g et k des fonctions de R³dans R³, de classe C¹ sur un ouvert U de R³. En utilisant la formule de diérentiation extérieure d'un produit extérieur de deux formes diérentielles et d'un pro- duit d'une fonction par une forme diérentielle, ainsi que la notion de forme diérentielle associée à un champ scalaire ou à un champ vectoriel dans R³, démontrer les formules suivantes de l'analyse vectorielle :

grad(fh) = f grad h + h grad f, rot(fg) = grad f∧g + f rot g, div(fg) = hgrad f , gi + f div g, div(g∧k) = hrot g , ki − hg , rot ki.

Exercice 1.2 SoitD un ouvert étoilé deR² càd. un ouvert tel que :(x1, x2)∈ D et 0≤ t≤ 1 entraînent (tx₂, tx₃)∈D, et I un intervalle ouvert de R. Soit ω une 2−forme diérentielle dénie et continûment dérivable sur I×D, telle que :

dx₁∧ω = 0, dω = 0.

a) Montrer que

ω=dx₁∧ X3

i=2

f_idx_i,

où les f_i sont des fonctions complexes, dénies et continûment dérivables sur I×D. Quelles conditions les f_i doivent-ils satisfaire ?

b) Si x= (x1, x2, x3)∈I×D, on pose h(x) =

X3

i=2

Z ₁

0

x_if_i(x₁, tx₂, tx₃)dt.

Montrer que h est continûment dérivable et que ω =dx₁∧dh.

En déduire une forme diérentielle λ de degré 1, dénie et continûment déri- vable sur I×D, telle que ω =dλ.

Réponse : a) _∂x^∂f3

2 = _∂x^∂f2

3.

Exercice 1.3 Soit la forme diérentielle

ω=dx₁∧dx₂+dx₃∧dx₄+· · ·+dx_2n−1∧dx_2n. Calculer ωⁿ.

Réponse : ωⁿ =n!dx₁∧dx₂∧...∧dx_2n−1∧dx_2n.

Exercice 1.4 Examiner si les formes diérentielles suivantes sont exactes et, le cas échéant, trouver une fonction f telle que : ω=df.

a) ω =¡

3x²+ 2y²+ 3z¢

dx+ (4xy+ 2y−z)dy+ (3x−y−2)dz, b) ω =x²dy+ 3xzdz,

c) ω = (xycosxy+ sinxy)dx+¡

x²cosxy+y²¢ dy, d) ω =¡

5x²y−4xy¢

dx+¡

3x²−2y¢ dy, e) ω = x+ 2y

x²+y²dx+ y−2x x²+y²dy.

Réponse :a)f(x, y, z) =x³+ 2xy²+ 3xz+y²−yz−2z+constante.b)ω n'est pas exacte. c) f(x, y) =xsinxy+^y₃³ +constante.d)ω n'est pas exacte.

Exercice 1.5 Retrouver les propriétés suivantes (voir aussi exercice 2.1) en utilisant les propriétés de la diérentielle extérieure :

rot (grad f)=0,

et div (rot g)=0.

Exercice 1.6 Soit H^k(M,R) le groupe de cohomologie d'une variété M. 1) Montrer que H⁰(M,R) est un espace vectoriel de dimension égale au nombre de composantes connexes de la variété M.

2) Soient

f1, f2 :M1 −→M2,

deux applications diérentiables de variétés M₁ et M₂. Montrer que si f₁ et f2 sont homotopes, alors les applications f₁^∗, f₂^∗ de groupes de cohomologies se confondent :

f₁^∗ =f₂^∗ :H^k(M₁,R)−→H^k(M₁,R).

En déduire que deux variétés homotopiquement équivalentes ont même groupe de cohomologie.

3) Montrer que :

a) H^k¡ S¹,R¢

= 0, k >1, b) H⁰¡

S¹,R¢

=R, c) H¹¡

S¹,R¢

=R, où S¹ est un cercle.

Réponse : 3)a) 0.b) R. c)R.

Exercice 1.7 a) Montrer que si une forme diérentielle ω est fermée, alors sa transformée g^∗ω par g l'est aussi, g étant de classe C².

b) Si g est une bijection de classe C² admettant une fonction réciproque qui soit aussi de classe C², montrer que ω est fermée dès que g^∗ω est fermée.

Exercice 1.8 Soient ϕ et ψ les 2-simplexes de R³ dénis par ϕ(s, t) = (1−s,1−t, st),

et

ψ(s, t) =

³

(a+ (b−a)s) cosπ

2t,(a+ (b−a)s) sinπ 2t,π

2t

´

, 0< a < b.

Calculer les intégrales suivantes :

1) Z

ϕ

xdx∧dz+ydz∧dx+zdx∧dy.

2) Z

ψ

zdx∧dy.

Réponse : 1) ¹₃. 2) (b²−a²)^π₁₆². Exercice 1.9 Calculer l'intégrale

Z

ψ

¡x²+y²¢

dx∧dy, siψ est le 2-complexe ψ = ∆ +ϕ₋ avec

∆ = [(0,−4),(4,0),(−4,0)], et

ϕ(u, v) = (ucos 2πv, usin 2πv). Réponse : ⁵¹²₃ − ^π₂.

Exercice 1.10 Soit ϕ le 2-simplexe dans R² déni par ϕ(s, t) = (s(1−t), t).

a) Vérier que ϕ est de classe C^∞. b) Identier l'image de ϕ.

c) Calculer le bord ∂ϕ de ϕ.

Réponse :a) (s(1−t), t)ett sont de classeC^∞.b)c'est le triangle de sommets 0, e₁, e₂. c)∂ϕ= (ϕ^1,0₋ , ϕ^1,1, ϕ^2,0, ϕ^2,1₋ ) oùϕ^1,0₋ (u) = [(0,1),(0,0)](u), ϕ^1,1(u) = [(1,0),(0,1)](u), ϕ^2,0(u) = [(0,0),(1,0)](u), ϕ^2,1₋ (u) = (0,1simplexe nul.

Exercice 1.11 Soit ϕ le 2-simplexe dans R³ dénie par ϕ(u, v) = ((1−u) cosπv, (1−u) sinπv, u). a) Caractériser l'image de ϕ.

b) Déterminer un 3-simplexe dont ϕsoit une partie du bord.

c) Calculer l'intégrale de (y+z)dy∧dz sur ϕ. Exercice 1.12 Soit la 1-forme diérentielle

ω = xdy−ydx x²+y² , et ϕle 1-simplexe dans R²\ {(0,0)} déni par

ϕ(t) = (acos 2πt, asin 2πt), t∈[0,1], a >0.

a) Calculer R

ϕω.

b) Montrer qu'il n'existe aucun 2-complexe de classe C² dans R²\{(0,0)}

dontϕ soit le bord.

Réponse : a) 2π.

Exercice 1.13 Soient a, b et cdes réels strictements positifs. Utiliser le théo- rème de Stokes-Cartan pour calculer

Z

∂ϕ

zdx∧dy, siϕ est le 3-simplexe de R³ déni par

ϕ(r, s, t) = (arcos 2πssinπt, brsin 2πssinπt, crcosπt). Réponse : −⁴₃πabc.

Exercice 1.14 Soit ϕ le 2-simplexe dans R² déni par ϕ(s, t) = (ascos 2πt, assin 2πt), où a est un réel strictement positif.

a) Déterminer l'image de ϕ.

b) Montrer que ∂ϕ est un simplexe et déterminer son image.

Réponse : a){(x, y) :x²+y² ≤a²}. b) {(x, y) :x²+y² =a²}. Exercice 1.15 Utiliser le théorème de Stokes-Cartan pour calculer

Z

ϕ

(x+y)dz∧dx+ (1−z)dx∧dy+¡

y+z²¢

dy∧dz, si

ϕ(u, v) =

³

acos 2πusinπ

2v, asin 2πusinπ

2v, acosπ 2v

´

, a >0.

Réponse : −πa².

Exercice 1.16 Soit ϕ le 2-simplexe dans R³ déni par ϕ(s, t) = (acos 2πs, asin 2πs, t), avec (s, t)∈[0,1]×[0,1], a >0.

a) Caractériser l'image de ϕ. b) Calculer le bord ∂ϕ de ϕ.

c) Trouver une 1-forme diérentielle dont la diérentielle soit dx∧dz.

d) Calculer Z

ϕ

dx∧dz.

i) par calcul direct.

ii) par le théorème de Stokes-Cartan.

Réponse : a)Im ϕ={(x, y) :x²+y² =a²,0≤z ≤1} (cylindre de rayon a et de hauteur1. b) ∂ϕ= (ϕ(u,0), ϕ(1−u,1)). c) ω =xdz. d) 0.

Exercice 1.17 Soit la 1-forme diérentielle dans l'ouvert Ω de R² égal à R²\{(0,0)} :

ω = xdy−ydx x²+y² . a) Montrer que la forme ω n'est pas exacte sur Ω.

b) Trouver un ouvert ∆ dont la diérence avec Ω soit de mesure nulle et sur lequelω soit exacte.

2 Champ de vecteurs, Flots, Opérateurs dié- rentiels et Variétés diéomorphes aux tores réels

Dans ctte partie, on commence par quelques dénitions et propriétés sur les champs de vecteurs dénis sur une variété diérentiable. On étudie leurs liai- sons avec les groupes à un paramètre de diéomorphismes ou ots ainsi qu'avec les opérateurs diérentiels. On montre qu'un champ de vecteurs diérentiable et à support compact est générateur d'un unique groupe à un paramètre de diéomorphismes de cette variété ; on construit le ot sur toute la variété. Puis la notion de commutativité des champs de vecteurs est détaillée, avec des cal- culs explicites concernant une condition nécessaire et susante fort utile pour vérier la commutativité des champs de vecteurs. Ensuite, nous démontrons un résultat important de topologie diérentielle : on montre que si la variété diérentiable de dimension m est compacte, connexe, munie dem champs de vecteurs diérentiables commutant deux à deux et linéairement indépendants en chaque point, alors cette variété est diéomorphe à un tore réel de dimension m. On notera que l'exposé est conçu dans un esprit plus géométrique.

2.1 Champ de vecteurs, Groupes à un paramètre de dif- féomorphismes et Opérateurs diérentiels

SoitM une variété diérentiable de dimensionm.SoitT M le bré tangent àM, i.e., l'union des espaces tangents à M en tous ses pointsx,

T M = [

x∈M

TxM.

Ce bré possède une structure naturelle de variété diérentiable de dimension 2met il nous permet de transporter imméditement aus variétés toute la théorie des équations diérentielles ordinaires.

Dénition 4 Un champ de vecteurs (On dit aussi section du bré tangent) surM est une application, notéeX,qui à tout point x∈M associe un vecteur tangent X_x ∈T_xM. Autrement dit, c'est une application

X :M −→T M, telle que si

π:T M −→M, est la projection naturelle, on ait

π◦X =id_M. Notons que le diagramme

M −→^X T M

&id_M ↓π M est commutatif.

Soit(x₁, ..., x_m)un système de coordonnées locales dans un voisinage U ⊂M.

Dans ce système le champ de vecteursX s'écrit sous la forme X =

Xm

k=1

f_k(x) ∂

∂x_k, x∈U, où les fonctions

f₁, . . . , f_m :U −→R,

sont les composantes deX par rapport à(x1, ..., xm). Un champ de vecteursX est diérentiable si ses composantes f_k(x) sont des fonctions diérentiables.

Cette dénition de diérentiabilité ne dépend pas évidemment du choix du système de coordonnées locales. En eet, si (y1, ..., ym) est un autre système de coordonnées locales dansU, alors

X = Xm

k=1

hk(x) ∂

∂y_k, x∈U, où

h₁, . . . , h_m :U −→R,

sont les composantes de X par rapport à (y1, ..., ym)et le résultat découle du fait que

hk(x) = Xm

l=1

∂yk

∂x_lfl(x), x∈U.

Au champ de vecteursX correspond un système d'équations diérentielles dx₁

dt = f₁(x₁, ..., x_m),

... (2.1)

dx_m

dt = f_m(x₁, ..., x_m).

Dénition 5 Un champ de vecteurs diérentiable X sur M s'appelle système dynamique.

Un champ de vecteurs s'écrit localement sous la forme (2.1).

Dénition 6 Une courbe intégrale (ou trajectoire) du champ de vecteurs X est une courbe diérentiable

γ :I −→M, t 7−→γ(t), telle que :

∀t∈I, dγ(t)

dt =X(γ(t)), où I est un intervalle de R.

Si _m

X

k=1

f_k(x) ∂

∂x_k,

est l'expression locale deX, alors les courbes intégrales (ou trajectoires) deX sont les solutionsγ(t) = {x_k(t)} de (2.1).

On suppose dans la suite que le champ de vecteursX est diérentiable (de classe C^∞) et à support compact (i.e., X est nul en dehors d'un compact de M), ce qui sera en particulier le cas si la variété M est compacte.

Etant donné un point x ∈ M, on note g^X_t (x) (ou tout simplement g_t(x)) la position de x après un déplacement d'une durée t ∈ R. On a ainsi une application

g_t^X :M −→M, t∈R,

qui est un diéomorphisme, en vertu de la théorie des équations diérentielles (voir théorème ci-dessous). Plus précisément, au champ de vecteurs X est lié un groupe à un paramètre de diéomorphismes g^X_t sur M c'est-à-dire une application diérentiable (de classe C^∞) : M ×R −→M, vériant une loi de groupe :

i) ∀t ∈R, g^X_t :M −→M est un diéomorphisme deM surM.

ii) ∀t, s ∈R, g_t+s^X =g_t^X ◦g_s^X.

La conditionii) signie que la correspondance t7−→g^X_t , est un homomor- phisme du groupe additif R dans le groupe des diéomorphismes de M dans M.Elle implique que

g^X_−t=¡ g_t^X¢₋₁

,

carg₀^X =idM est la transformation identique qui laisse chaque point invariant.

Dénition 7 Le groupe à un paramètre de diéomorphismes g_t^X sur M, que l'on vient de décrire s'appelle ot et il admet le champ de vecteurs X pour champ de vitesses

d

dtg^X_t (x) = X¡

g_t^X(x)¢ , avec la condition initiale

g₀^X(x) = x.

Evidemment

d dtg^X_t (x)

¯¯

¯¯

t=0

=X(x).

Donc par ces formules g_t^X(x) est la courbe sur la variété qui passe par x et telle que la tangente en chaque point est le vecteur X¡

g_t^X(x)¢ .

Nous allons maintenant voir comment construire le ot g_t^X sur toute la variété M.

Théorème 8 Le champ de vecteurs X est générateur d'un unique groupe à un paramètre de diéomorphismes de M.

Démonstration :a)Construction deg_t^X pourtassez petit. Pour xxé, l'équa- tion diérentielle

d

dtg^X_t (x) = X¡ g_t^X¢

, fonction de t avec la condition initiale

g₀^X(x) = x,

admet une solution uniqueg^X_t dénie au voisinage du pointx₀ et dépendant de façonC^∞de la condition initiale. Donc g_t^X est localement un diéomorphisme.

Dès lors pour chaque pointx₀ ∈M,on peut trouver un voisinage U(x₀)⊂M, un nombre réel positif ε ≡ ε(x₀) tels que pour tout t ∈ ]−ε, ε[, l'équation diérentielle en question avec sa condition initiale admet une solution unique g_t^X(x) diérentiable dénie dans U(x₀) et vériant la relation de groupe

g^X_t+s(x) =g^X_t ◦g^X_s (x), avect, s, t+s ∈]−ε, ε[.En eet, posons

x₁ =g_t^X(x), t xé,

et considérons la solution de l'équation diérentielle satisfaisant dans le voisi- nage du point x0 à la condition initiale

g_s=0^X =x₁.

Cette solution vérie la même équation diérentielle et coincide en un point g_t^X(x) = x₁,

avec la fonctiong_t+s^X . Donc, par unicité de la solution de l'équation diérentielle, les deux fonctions sont localement égales. Par conséquent, l'applicationg_t^X est localement un diéomorphisme. Rappelons que le champ de vecteurs X est supposé diérentiable (de classeC^∞) et à support compactK.Du recouvrement deK formé par des ouverts U(x),on peut extraire un sous-recouvrement ni (U_i), puisque K est compact. Désignons par ε_i les nombres ε correspondants auxU_i et posons

ε0 = inf (εi), g_t^X(x) =x, x /∈K.

Dès lors, l'équation en question admet une solution uniqueg_t^X surM×]−ε₀, ε₀[ vériant la relation du groupe

g_t+s^X =g_t^X ◦g_s^X,

l'inverse deg_t^X étantg^X_−tet doncg_t^X est un diéomorphisme pourtsusamment petit.

b) Construction de g_t^X pour tout t ∈ R. D'après a), il sut de construire g_t^X pour t ∈ ]−∞,−ε₀[ ∪]ε₀,∞[. Nous allons voir que les applications g_t^X se dénissent d'après la loi de multiplication du groupe. Notons que t peut s'écrire sous la forme

t=kε₀ 2 +r, aveck ∈Z etr∈£

0,^ε₂⁰£

. Posons, pourt∈R^∗₊, g_t^X =g^Xε0

2 ◦ · · · ◦g^Xε0

| {z 2}

k−fois

◦ g_r^X,

et pourt ∈R^∗₋,

g_t^X =g₋^Xε0

2 ◦ · · · ◦g₋^Xε0

| {z 2}

k−fois

◦ g^X_r .

Les diéomorphismes g^X_±^ε0

2 et g_r^X ont été dénis dans a), et on en déduit que pour tout réelt, g^X_t est un diéomorphisme déni globalement sur M. ¤

Corollaire 9 Toute solution de l'équation diérentielle dx(t)

dt =X(x(t)), x∈M,

avec la condition initiale x (pour t = 0), est indéniment prolongeable. La valeur de la solution g_t^X(x) à l'instant t est diérentiable par rapport à t et à la condition initialex.

Avec un léger abus de notation, on peut écrire l'équation précédente sous la forme du système d'équations diérentielles (2.1) avec les conditions initiales x₁, ..., x_m pourt = 0.

Au champ de vecteursXest lié l'opérateur diérentielLX d'ordre1. Il s'agit de la diérentiation des fonctions suivant la direction du champ de vecteurs X.On a

LX :C^∞(M)−→ C^∞(M), F 7−→LXF, où

LXF(x) = d dtF¡

g_t^X(x)¢¯¯

¯¯

t=0

, x∈M.

Ici C^∞(M) désigne l'ensemble des fonctions F : M −→ R, de classe C^∞. L'opérateur LX est linéaire

L_X(α₁F₁+α₂F₂) = α₁L_XF₁+α₂L_XF₂, (α₁, α₂ ∈R), et satisfait à la formule de Leibniz

LX(F1F2) = F1LXF2 +F2LXF1.

Comme L_XF(x) ne dépend que des valeurs de F au voisinage de x, on peut donc appliquer l'opérateur L_X à des fonctions dénies seulement au voisi- nage d'un point, sans avoir besoin de les prolonger à toute la variété M. Soit (x₁, ..., x_m)un système de coordonnées locales surM.Dans ce système le champ de vecteursX a pour composantesf1, . . . , fm et le otg^X_t est déni par le sys- tème d'équations diérentielles (2.1). Donc la dérivée de F = F (x₁, ..., x_m) suivant la direction deX s'écrit

LXF =f1

∂F

∂x₁ +· · ·+fm

∂F

∂x_m.

Autrement dit, dans les coordonnées(x₁, ..., x_m) l'opérateur L_X s'écrit L_X =f₁ ∂

∂x1

+· · ·+f_m ∂

∂xm

,

ceci n'est autre que la forme générale de l'opérateur diérentiel linéaire du premier ordre.

2.2 Commutativité des champ de vecteurs

Dénition 10 On dit que deux champs de vecteurs X₁ et X₂ sur une variété M commutent (ou sont commutatifs) si et seulement si les ots correspondants commutent

g_t^X₁¹ ◦g_t^X₂²(x) = g_t^X₂² ◦g_t^X₁¹(x), ∀x∈M.

Le résultat suivant nous donne une condition nécessaire et susante, fort utile, pour vérier la commutativité de deux champs de vecteurs.

Théorème 11 Deux champs de vecteurs X1 et X2 sur une variété M com- mutent si et seulement si

[L_X1, L_X2]≡L_X1L_X2 −L_X2L_X1 = 0.

Démonstration : a) Condition nécessaire. Montrons tout d'abord que : ∀F ∈ C^∞(M), ∀x∈M, alors

∂²

∂t1∂t2

¡F ¡

g_t^X₂² ◦g_t^X₁¹(x)¢

−F ¡

g^X_t1¹ ◦g_t^X₂²(x)¢¢¯

¯¯

¯t2=t1=0

= (L_X1L_X2 −L_X2L_X1)F (x). En eet, d' après la dénition de LX2, on a

∂

∂t2

F ¡

g^X_t2² ◦g_t^X₁¹(x)¢¯

¯¯

¯t2=0

=L_X2F ¡

g_t^X₁¹(x)¢ . D'où

∂²

∂t1∂t2

F ¡

g_t^X₂²◦g^X_t1¹(x)¢¯

¯¯

¯t2=t1=0

= ∂

∂t1

L_X2F ¡

g^X_t1¹(x)¢¯

¯¯

¯t1=0

,

= ∂

∂t₁G¡

g_t^X₁¹(x)¢¯¯

¯¯

t1=0

oùG≡LX2F,

= LX1G(x)par dénition de LX1,

= L_X1L_X2F (x). De même, on a

∂²

∂t₂∂t₁F ¡

g^X_t1¹ ◦g_t^X₂²(x)¢¯¯

¯¯

t1=0

=LX1F¡

g_t^X₂²(x)¢ ,

et ∂²

∂t2∂t1

F¡

g_t^X₁¹ ◦g_t^X₂²(x)¢¯

¯¯

¯t2=t1=0

=L_X2L_X1F (x).