Variétés diéomorphes aux tores réels

par le fait qu'on a ^t_ε¹ × ^t_ε² étapes intermédiaires. Ceci est valable pour tout ε, il sut de prendre ε susament petit, tendant vers zéro, pour que

t₁t₂ ε² o¡

ε³¢

=t₁t₂o(ε)−→

ε→0 0, ce qui achève la preuve du théorème.¤

2.3 Variétés diéomorphes aux tores réels

Théorème 12 . On suppose que la variété diérentiable M de dimension m est compacte, connexe, muni demchamps de vecteurs diérentiables (de classe C^∞)X₁, ..., X_m commutant deux à deux et linéairement indépendants en chaque point de M. Alors, la variété M est diéomorphe à un tore réel de dimension m.

Démonstration : Dénissons l'application

g :R^m −→M, (t₁, ..., t_m) 7−→g(t₁, ..., t_m), où

g(t1, ..., tm) = g_t^X₁¹ ◦ · · · ◦g_t^X_m^m(x) =g_t^X_m^m◦ · · · ◦g_t^X₁¹(x), x∈M.

a) L'application g est un diéomorphisme local. En eet, soit

gr ≡g |_U:U −→M, (t1, ..., tm)7−→gr(t1, ..., tm) =g_t^X_m^m ◦ · · · ◦g_X^t1₁(x), la restriction deg sur un voisinage U de(0, ...,0) dans R^m avec

x=g_r(0, ...,0). Montrons que l'application g_r est de classe C^∞. On a

∂

∂t1

g_t^X₁¹ =X₁(x) = µdx₁

dt , ...,dx_m dt

¶ ,

avec  etc...Toutes ces expressions ont un sens car par hypothèse toutes les fonctions

f₁, ..., f_m sont de classeC^∞. Un raisonnement similaire, montre queg^X_t2², ..., g_t^X_m^m sont aussi de classe C^∞. Comme la composée de fonctions de classeC^∞ est de classe C^∞, on en déduit que g_r(t₁, ..., t_m) est de classe C^∞. Montrons

car les champs de vecteursX₁, ..., X_msont linéairement indépendants en chaque point deM. D'après le théorème d'inversion locale, il existe un voisinage su-samment petitV ⊂U de (0, . . . ,0) et un voisinageW dex tels queg_r induise une bijection de V surW dont la réciproque

g_r⁻¹ :W −→V,

soit de classeC^∞. Autrement dit, gr est un diéomorphisme de V sur gr(V). Notons que ce résultat est local car même si la matrice jacobienne ci-dessus

est inversible pout tout (t₁, ..., t_m), alors l'inverse globale de g_r n'existe pas nécessairement.

b) L'applicationgest surjective. En eet, soity∈M et déterminons(t₁, ..., t_m)∈ R^m tel que :

g(t1, ..., tm) = g_t^X_m^m◦ · · · ◦g^X_t1¹(x) =y.

Nous avons montré dans la partiea)queg est un diéomorphisme local. Donc pour tout pointx1 contenu dans un voisinage de x, il existe (t1, ..., tm) ∈ R^m tel que :

g_t^X_m^m◦ · · · ◦g_t^X₁¹(x) =x₁.

Comme la variété M est connexe, on peut relier le point x au point y par une courbeC.Soit B₁ une boule ouverte dansM contenant le point x₁. Cette boule existe puisque M est compacte. Soit x2 ∈ C tel que x2 soit contenu dans la bouleB₁.On raisonne comme précédemment, l'application g étant un diéomorphisme local, alors il existe(t⁰₁, ..., t⁰_m)∈R^m tel que :

g_t⁰_mXm ◦ · · · ◦g⁰_t1X1 (x1) = x2. Donc

x₂ =g⁰_tmXm +t_m◦ · · · ◦g⁰_t1X1 +t₁(x).

De même, soit B₂ une boule ouverte dans M contenant le point x₂.Soit x₃ ∈ C tel que x₃ soit contenu dans la boule B₂. Comme l'application g est un diéomorphisme local, alors il existe(t⁰⁰₁, ..., t⁰⁰_m)∈R^m tel que :

g_t⁰⁰_mXm ◦ · · · ◦g⁰⁰_t1X1 (x₂) = x₃. Donc

x₃ =g_t⁰⁰_mXm +t⁰_m+t_m◦ · · · ◦g_t⁰⁰₁X1 +t⁰₁+t₁(x).

En continuant ainsi, on montre (après un nombre k ni d'étapes) l'existence d'un point³

t^(k−1)₁ , ..., t^(k−1)m

´

∈R^m, tel que : g_t^(k−1)_mXm ◦ · · · ◦g_t^(k−1)

1X1 (xk−1) =xk,

oùx_k ∈ C, x_k contenu dans une boule ouverte B_k−1 de M, avecB_k−1 3 x_k−1. Donc

xk =g_t^(k−1)_mXm+t^(k−2)_m +· · ·+t⁰_m+tm◦ · · · ◦g^(k−1)_t

1X1 +t^(k−2)₁ +· · ·+t⁰₁+t1(x), k ni.

Cette construction montre qu'on peut, en un nombrek ni d'étapes, recouvrir la courbe C reliant le point x au point y par des voisinages de x; le point y jouant le rôle dex_k.Notons que l'applicationg ne peut être injective. En eet, sig est injective, on aurait d'après la partie a) une bijection entre un compact

M et un non compact R^m, ce qui est absurde.

c) Le groupe stationnaire Λ =©

(t₁, ..., t_m)∈R^m :g(t₁, ..., t_m) =g^X_tm^m◦ · · · ◦g_t^X₁¹(x) = xª ,

est un sous-groupe discret deR^mindépendant du pointx∈M.En eet, notons tout d'abord queΛ 6=∅ car (0, ...,0)∈ Λ. Soit (t₁, ..., t_m)∈Λ, (t⁰₁, ..., t⁰_m)∈Λ.

On a

g(t₁, ..., t_m) = g(t⁰₁, ..., t⁰_m) =x.

Puisque les champs de vecteursX₁, ..., X_m sont commutatifs, alors g(t₁+t⁰₁, ..., t_m+t⁰_m) = g_t^X_m^m_+t0

m◦ · · · ◦g_t^X₁¹_+t0 1(x),

= g_t^X0^m

m ◦ · · · ◦g^X_t0¹

1 ◦g_t^X_m^m◦ · · · ◦g^X_t1¹(x),

= g_t^X0^m

m ◦ · · · ◦g^X_t0¹ 1 (x),

= x,

g(−t₁, ...,−t_m) = g_−t^Xm_m◦ · · · ◦g_−t^X1₁(x),

= g_−t^Xm_m◦ · · · ◦g_−t^X1₁ ◦g_t^X_m^m◦ · · · ◦g_t^X₁¹(x),

= g_−t^Xm_m◦ · · · ◦g_−t^X1₁ ◦g_t^X₁¹ ◦ · · · ◦g_t^X_m^m(x),

= g_−t^Xm_m◦ · · · ◦g_−t^X2₂ ◦g_t^X₂² ◦ · · · ◦g_t^X_m^m(x), ...

= g_−t^Xm_m◦g_t^X_m^m(x),

= x.

D'où (t₁+t⁰₁, ..., t_m+t⁰_m) ∈ Λ et (−t₁, ...,−t_m) ∈ Λ. Donc Λ est stable pour l'addition, l'inverse de(t₁, ..., t_m) est(−t₁, ...,−t_m) et par conséquentΛest un sous-groupe deR^m. Montrons que Λ est indépendant de x. Soit

Λ⁰ = n

(t⁰₁, ..., t⁰_m)∈R^m :g(t⁰₁, ..., t⁰_m) =g^X_t0^m

m ◦ · · · ◦g_t^X0¹

1 (y) = y o

. Par la surjectivité, on peut trouver(s1, ..., sm)∈R^m tel que :

g_s^X_m^m ◦ · · · ◦g_s^X₁¹(x) =y, Soit (t⁰₁, ..., t⁰_m)∈Λ⁰. On a

g_t^X0^m

m ◦ · · · ◦g^X_t0¹

1 (y) = y, g_t^X0^m

m ◦ · · · ◦g^X_t0¹

1 ◦g_s^X_m^m ◦ · · · ◦g^X_s1¹(x) = g_s^X_m^m◦ · · · ◦g_s^X₁¹(x), g^X_−s^m_m+t0

m+sm◦ · · · ◦g_−s^X1_1+t0

1+s1(x) = x, g_t^X0^m

m ◦ · · · ◦g^X_t0¹

1 (x) = x.

Par conséquent, (t⁰₁, ..., t⁰_m) ∈ Λ et donc Λ ne dépend pas de x. Pour montrer que Λ est discret, on considère un voisinage V susamment petit du point (0, ...,0) et un voisinage W du point x. D'après a), l'application g est un diéomorphisme local, donc

g :V −→W,

est bijective et par conséquent aucun point deW\ {(0, ...,0)}n'est envoyé sur x; les points du sous-groupe Λ n'ont aucun point d'accumulation dans R^m.. d) La variété M est diéomorphe à un tore réel de dimension m. En eet, puisqueΛ est le noyau deg, il existe une surjection canonique

e

g :R^m/Λ→M, [(t1, ..., tm)]7→eg[(t1, ..., tm)] =g^X_tm^m◦ · · · ◦g_t^X₁¹(x). En eet, soient (t₁, ..., t_m)et (s₁, ..., s_m)tels que :

e

g[(t₁, ..., t_m)] =eg[(s₁, ..., s_m)]. On a

g_t^X_m^m ◦ · · · ◦g^X_t1¹(x) =g_s^X_m^m◦ · · · ◦g_s^X₁¹(x), d'où

g_−s^X1₁ ◦ · · · ◦g^X_−s^m_m◦g_t^X_m^m ◦ · · · ◦g^X_t1¹(x) = g_−s^X1₁ ◦ · · · ◦g_−s^Xm_m◦g^X_sm^m◦ · · · ◦g_s^X₁¹(x),

= g_−s^X1₁ ◦ · · · ◦g_−s^Xm−1_m−1 ◦g_s^X_m−1^m−1 ◦ · · · ◦g^X_s1¹(x), ...

= g_−s^X1₁ ◦g^X_s1¹(x),

= x.

CommeX₁, ..., X_m sont commutatifs, alors

g_t^X_m^m_−sm ◦ · · · ◦g^X_t1¹_−s1(x) = x, et d'après ce qui précéde, on a

[(t₁−s₁, ..., t_m−s_m)] = 0, [(t₁, ..., t_m)−(s₁, ..., s_m)] = 0,

[(t₁, ..., t_m)] = [(s₁, ..., s_m)]. Par conséquenteg est un diéomorphime. ¤

Remarque 13 En général , pour tout sous-groupe discret de R^m, il existe k vecteurs linéairement indépendants tels que ce groupe soit l'ensemble de toutes

leurs combinaisons linéaires entières. Par conséquent, le groupe stationnaire Λ (voir point c) dans la preuve du théorème) peut s'écrire sous la forme

Λ =Ze₁⊕ · · · ⊕Ze_k, 1≤k ≤m,

où e₁, ..., e_m sont des vecteurs linéairement indépendants. En eet, pour xer les idées, prenons m= 2 c'est-à-dire

Λ =©

(t₁, t₂)∈R² :g(t₁, t₂) = g_t^X₂² ◦g^X_t1¹(x) = xª . Ici, trois cas sont possibles :

i) Λ ={0}, ii) Λ =Ze₁,

iii) Λ =Ze1⊕Ze2.

Le casi) est à rejeter car nous avons un diéomorphisme entre Z²/ {0} (non compact) et M un compact, ce qui est impossible. Le second cas Z²/ Ze₁ (un cylindre) est aussi à rejeter pour les mêmes raisons que dans le premier cas.

Il reste le dernier cas , qui est valable, puisque Z²/ Ze₁ ⊕Ze₂ est un tore de dimension 2.

3 Principe variationnel et applications

3.1 Principe variationnel, Equations de Lagrange

Soit

γ = ((t, q) :q(t) =q, t₁ ≤t≤t₂),

une courbe dénie sur une variété diérentiable et reliant deux points t = t₁ ett=t₂. Considérons la fonctionnelle

Φ(γ) = Z _t2

t1

L(q(t),q(t), t)dt,˙ (3.1) oùq(t) =˙ ^dq_dt et

L:Rⁿ×Rⁿ×R−→R, (q,q, t)˙ 7−→L(q,q, t),˙

une fonction de classeC². Le problème variationnel consiste à trouver la fonc-tion q(t) de classe C² avec

q(t1) = a, q(t2) = b, (a, b∈R)

telle que l'intégrale (3.1) (dite intégrale d'action ou tout simplement action) soit extrémale (maximale ou minimale). Géométriquement, on cherche l'arc de la courbe joignant le point A(t₁, a) au point B(t₁, b) admettant une tangente

qui varie continûment pour lesquel l'intégrale (3.1) soit stationnaire. Cette dernière signie que si on considère la fonction

t7−→q(t) +εx(t),

avec ε ∈ R petit et x(t) une fonction quelconque de classe C¹ satisfaisant à x(t₁) =x(t₂) = 0. Alors la fonctionΦ est stationnaire pourq si

En désignant par δϕ la diérentielle partielle d'une fonction ϕ(α, ...), δϕ= ∂ϕ

on symbolise souvent le fait que l'intégrale (3.1) est extrémale en écrivantδΦ = 0, lors d'une variation (indiquée par la lettreδ) fonctionnelle des chemins. Celà signie que la diérence entre cette intégrale évaluée le long de la trajectoire réelle et l'intégrale évaluée le long de n'importe quelle trajectoire virtuelle inniment voisine est un inniment petit du second ordre.

Exemple 14 Dans le cas particulier oùL=√

1 +c²,i.e., Φ(γ) =

Z _t2

t1

p1 + ˙q², on obtient la longueur de la courbe γ.

Remarque 15 En mécanique lagrangienne et hamiltonienne (voir plus loin), Lest appelée le lagrangien du principe variationnel et il est égal à la diérence entre l'énergie cinétique et l'énergie potentielle. Le principe dit de Hamilton est

Proposition 16 La fonctionnelle (3.1) est diérentiable ¹ et sa diérentielle F(h) est donnée par

1Rappelons que la fonctionnelleΦest diérentiable si

Φ(γ+h)−Φ(γ) =F+R,

où F désigne la diérentielle de Φ et telle que : F(αh1+βh2) = αF(h1) +βF(h2) et R(h, γ) =◦(h²). On dit aussi queF (resp.h) est une variation de la fonctionnelleΦ(resp.

la courbeγ).

Démonstration : On a

D'un autre côté et par intégration par parties, on a Z _t2 ce qui termine la preuve.¤

Dénition 17 Une courbe γ est dite extrémale d'une fonctionnelle diéren-tiable (3.1) si et seulement si pour tout h, F(h, γ) = 0.

Théorème 18 La courbeγ est extrémale de la fonctionnelle (3.1) si et seule-ment si l'équation diérentielle (dite d'Euler-Lagrange) est satisfaite :

d

Démonstration : D'après la proposition précédente, on a F(h) = calcul variationnel : Si f(t) est une fonction continue sur [t1, t2] telle que pour toute fonction g(t) de classe C¹ nulle en t₁ et t₂, on ait R_t2

t1 f(t)g(t)dt = 0

alors f(t) = 0 pour t ∈[t₁, t₂]. Donc d'après ce lemme appliqué aux fonctions f(t) = ^∂L_∂q − _dt^d ³

∂L

∂q˙

´ etg(t) =h(t), on a

∂L

∂q − d dt

µ∂L

∂q˙

¶

= 0.

La réciproque est évidente car si cette dernière équation est satisfaite alors on a bienF(h) = 0. ¤

Exemple 19 Géodésiques dans le plan et sur une surface : Dans un domaine susamment petit entourant deux points d'une surfaceS, on appelle géodésique une ligne qui réalise le plus court chemin entre ces deux points. Ainsi, dans le plan euclidien, les géodésiques sont les droites et sur une sphère les géodésiques sont les grands cercles. Dans le plan, la longueur de l'arc de courbe d'équation q=q(t) qui joint le point A(t₁, a) au point B(t₁, b) est

Φ = Z _t2

t1

p1 + ˙q²dt.

L'équation d'Euler-Lagrange avec L=p

1 + ˙q² s'écrit

˙ p q

1 + ˙q² =constante.

D'oùq˙est constante, les extrémales sont des droites, le plus court chemin entre A et B est réalisé par le segment de droite AB. Dans le cas d'une surface S, supposons que soit donnée une représentation paramétrique en fonction des paramètres u, v. L'élément d'arc ds s'exprime par

ds² =Edu²+ 2F dudv+Gdv².

Rechercher le plus court chemin sur la surface S entre deux points A(u = t₁, v = v₁) et B(u = t₂, v₂) revient à chercher la fonction v = v(u) qui rende minimale l'intégrale

Φ = Z _t2

t1

√E + 2Fv˙ +Gv˙²du,

et qui prenne pourt₁ la valeurv₁ et pourt₂ la valeurv₂. On en déduit l'équation diérentielle des géodésiques

d du

F +Gv˙

√E+ 2Fv˙+Gv˙² =

∂E

∂v + 2^∂F_∂vv˙ +^∂G_∂vv˙² 2√

E+ 2Fv˙+Gv˙².

Dans le document E. mail : lesfariahmed@yahoo.fr (Page 25-34)