Exercice 1.1 Considérons l'espace vectoriel R3 dans lequel on aura xé des coordonnées
x1, x2, x3 :R3 −→R.
Soient f et h des fonctions de R3 dans R, g et k des fonctions de R3dans R3, de classe C1 sur un ouvert U de R3. En utilisant la formule de diérentiation extérieure d'un produit extérieur de deux formes diérentielles et d'un pro-duit d'une fonction par une forme diérentielle, ainsi que la notion de forme diérentielle associée à un champ scalaire ou à un champ vectoriel dans R3, démontrer les formules suivantes de l'analyse vectorielle :
grad(fh) = f grad h + h grad f, rot(fg) = grad f∧g + f rot g, div(fg) = hgrad f , gi + f div g, div(g∧k) = hrot g , ki − hg , rot ki.
Exercice 1.2 SoitD un ouvert étoilé deR2 càd. un ouvert tel que :(x1, x2)∈ D et 0≤ t≤ 1 entraînent (tx2, tx3)∈D, et I un intervalle ouvert de R. Soit ω une 2−forme diérentielle dénie et continûment dérivable sur I×D, telle que :
dx1∧ω = 0, dω = 0.
a) Montrer que
ω=dx1∧ X3
i=2
fidxi,
où les fi sont des fonctions complexes, dénies et continûment dérivables sur I×D. Quelles conditions les fi doivent-ils satisfaire ?
b) Si x= (x1, x2, x3)∈I×D, on pose h(x) =
X3
i=2
Z 1
0
xifi(x1, tx2, tx3)dt.
Montrer que h est continûment dérivable et que ω =dx1∧dh.
En déduire une forme diérentielle λ de degré 1, dénie et continûment déri-vable sur I×D, telle que ω =dλ.
Réponse : a) ∂x∂f3
2 = ∂x∂f2
3.
Exercice 1.3 Soit la forme diérentielle
ω=dx1∧dx2+dx3∧dx4+· · ·+dx2n−1∧dx2n. Calculer ωn.
Réponse : ωn =n!dx1∧dx2∧...∧dx2n−1∧dx2n.
Exercice 1.4 Examiner si les formes diérentielles suivantes sont exactes et, le cas échéant, trouver une fonction f telle que : ω=df.
a) ω =¡
3x2+ 2y2+ 3z¢
dx+ (4xy+ 2y−z)dy+ (3x−y−2)dz, b) ω =x2dy+ 3xzdz,
c) ω = (xycosxy+ sinxy)dx+¡
x2cosxy+y2¢ dy, d) ω =¡
5x2y−4xy¢
dx+¡
3x2−2y¢ dy, e) ω = x+ 2y
x2+y2dx+ y−2x x2+y2dy.
Réponse :a)f(x, y, z) =x3+ 2xy2+ 3xz+y2−yz−2z+constante.b)ω n'est pas exacte. c) f(x, y) =xsinxy+y33 +constante.d)ω n'est pas exacte.
Exercice 1.5 Retrouver les propriétés suivantes (voir aussi exercice 2.1) en utilisant les propriétés de la diérentielle extérieure :
rot (grad f)=0,
et div (rot g)=0.
Exercice 1.6 Soit Hk(M,R) le groupe de cohomologie d'une variété M. 1) Montrer que H0(M,R) est un espace vectoriel de dimension égale au nombre de composantes connexes de la variété M.
2) Soient
f1, f2 :M1 −→M2,
deux applications diérentiables de variétés M1 et M2. Montrer que si f1 et f2 sont homotopes, alors les applications f1∗, f2∗ de groupes de cohomologies se confondent :
f1∗ =f2∗ :Hk(M1,R)−→Hk(M1,R).
En déduire que deux variétés homotopiquement équivalentes ont même groupe de cohomologie.
3) Montrer que :
a) Hk¡ S1,R¢
= 0, k >1, b) H0¡
S1,R¢
=R, c) H1¡
S1,R¢
=R, où S1 est un cercle.
Réponse : 3)a) 0.b) R. c)R.
Exercice 1.7 a) Montrer que si une forme diérentielle ω est fermée, alors sa transformée g∗ω par g l'est aussi, g étant de classe C2.
b) Si g est une bijection de classe C2 admettant une fonction réciproque qui soit aussi de classe C2, montrer que ω est fermée dès que g∗ω est fermée.
Exercice 1.8 Soient ϕ et ψ les 2-simplexes de R3 dénis par ϕ(s, t) = (1−s,1−t, st),
et
ψ(s, t) =
³
(a+ (b−a)s) cosπ
2t,(a+ (b−a)s) sinπ 2t,π
2t
´
, 0< a < b.
Calculer les intégrales suivantes :
1) Z
ϕ
xdx∧dz+ydz∧dx+zdx∧dy.
2) Z
ψ
zdx∧dy.
Réponse : 1) 13. 2) (b2−a2)π162. Exercice 1.9 Calculer l'intégrale
Z
ψ
¡x2+y2¢
dx∧dy, siψ est le 2-complexe ψ = ∆ +ϕ− avec
∆ = [(0,−4),(4,0),(−4,0)], et
ϕ(u, v) = (ucos 2πv, usin 2πv). Réponse : 5123 − π2.
Exercice 1.10 Soit ϕ le 2-simplexe dans R2 déni par ϕ(s, t) = (s(1−t), t).
a) Vérier que ϕ est de classe C∞. b) Identier l'image de ϕ.
c) Calculer le bord ∂ϕ de ϕ.
Réponse :a) (s(1−t), t)ett sont de classeC∞.b)c'est le triangle de sommets 0, e1, e2. c)∂ϕ= (ϕ1,0− , ϕ1,1, ϕ2,0, ϕ2,1− ) oùϕ1,0− (u) = [(0,1),(0,0)](u), ϕ1,1(u) = [(1,0),(0,1)](u), ϕ2,0(u) = [(0,0),(1,0)](u), ϕ2,1− (u) = (0,1simplexe nul.
Exercice 1.11 Soit ϕ le 2-simplexe dans R3 dénie par ϕ(u, v) = ((1−u) cosπv, (1−u) sinπv, u). a) Caractériser l'image de ϕ.
b) Déterminer un 3-simplexe dont ϕsoit une partie du bord.
c) Calculer l'intégrale de (y+z)dy∧dz sur ϕ. Exercice 1.12 Soit la 1-forme diérentielle
ω = xdy−ydx x2+y2 , et ϕle 1-simplexe dans R2\ {(0,0)} déni par
ϕ(t) = (acos 2πt, asin 2πt), t∈[0,1], a >0.
a) Calculer R
ϕω.
b) Montrer qu'il n'existe aucun 2-complexe de classe C2 dans R2\{(0,0)}
dontϕ soit le bord.
Réponse : a) 2π.
Exercice 1.13 Soient a, b et cdes réels strictements positifs. Utiliser le théo-rème de Stokes-Cartan pour calculer
Z
∂ϕ
zdx∧dy, siϕ est le 3-simplexe de R3 déni par
ϕ(r, s, t) = (arcos 2πssinπt, brsin 2πssinπt, crcosπt). Réponse : −43πabc.
Exercice 1.14 Soit ϕ le 2-simplexe dans R2 déni par ϕ(s, t) = (ascos 2πt, assin 2πt), où a est un réel strictement positif.
a) Déterminer l'image de ϕ.
b) Montrer que ∂ϕ est un simplexe et déterminer son image.
Réponse : a){(x, y) :x2+y2 ≤a2}. b) {(x, y) :x2+y2 =a2}. Exercice 1.15 Utiliser le théorème de Stokes-Cartan pour calculer
Z
ϕ
(x+y)dz∧dx+ (1−z)dx∧dy+¡
y+z2¢
dy∧dz, si
ϕ(u, v) =
³
acos 2πusinπ
2v, asin 2πusinπ
2v, acosπ 2v
´
, a >0.
Réponse : −πa2.
Exercice 1.16 Soit ϕ le 2-simplexe dans R3 déni par ϕ(s, t) = (acos 2πs, asin 2πs, t), avec (s, t)∈[0,1]×[0,1], a >0.
a) Caractériser l'image de ϕ. b) Calculer le bord ∂ϕ de ϕ.
c) Trouver une 1-forme diérentielle dont la diérentielle soit dx∧dz.
d) Calculer Z
ϕ
dx∧dz.
i) par calcul direct.
ii) par le théorème de Stokes-Cartan.
Réponse : a)Im ϕ={(x, y) :x2+y2 =a2,0≤z ≤1} (cylindre de rayon a et de hauteur1. b) ∂ϕ= (ϕ(u,0), ϕ(1−u,1)). c) ω =xdz. d) 0.
Exercice 1.17 Soit la 1-forme diérentielle dans l'ouvert Ω de R2 égal à R2\{(0,0)} :
ω = xdy−ydx x2+y2 . a) Montrer que la forme ω n'est pas exacte sur Ω.
b) Trouver un ouvert ∆ dont la diérence avec Ω soit de mesure nulle et sur lequelω soit exacte.
2 Champ de vecteurs, Flots, Opérateurs dié-rentiels et Variétés diéomorphes aux tores réels
Dans ctte partie, on commence par quelques dénitions et propriétés sur les champs de vecteurs dénis sur une variété diérentiable. On étudie leurs liai-sons avec les groupes à un paramètre de diéomorphismes ou ots ainsi qu'avec les opérateurs diérentiels. On montre qu'un champ de vecteurs diérentiable et à support compact est générateur d'un unique groupe à un paramètre de diéomorphismes de cette variété ; on construit le ot sur toute la variété. Puis la notion de commutativité des champs de vecteurs est détaillée, avec des cal-culs explicites concernant une condition nécessaire et susante fort utile pour vérier la commutativité des champs de vecteurs. Ensuite, nous démontrons un résultat important de topologie diérentielle : on montre que si la variété diérentiable de dimension m est compacte, connexe, munie dem champs de vecteurs diérentiables commutant deux à deux et linéairement indépendants en chaque point, alors cette variété est diéomorphe à un tore réel de dimension m. On notera que l'exposé est conçu dans un esprit plus géométrique.
2.1 Champ de vecteurs, Groupes à un paramètre de dif-féomorphismes et Opérateurs diérentiels
SoitM une variété diérentiable de dimensionm.SoitT M le bré tangent àM, i.e., l'union des espaces tangents à M en tous ses pointsx,
T M = [
x∈M
TxM.
Ce bré possède une structure naturelle de variété diérentiable de dimension 2met il nous permet de transporter imméditement aus variétés toute la théorie des équations diérentielles ordinaires.
Dénition 4 Un champ de vecteurs (On dit aussi section du bré tangent) surM est une application, notéeX,qui à tout point x∈M associe un vecteur tangent Xx ∈TxM. Autrement dit, c'est une application
X :M −→T M, telle que si
π:T M −→M, est la projection naturelle, on ait
π◦X =idM. Notons que le diagramme
M −→X T M
&idM ↓π M est commutatif.
Soit(x1, ..., xm)un système de coordonnées locales dans un voisinage U ⊂M.
Dans ce système le champ de vecteursX s'écrit sous la forme X =
Xm
k=1
fk(x) ∂
∂xk, x∈U, où les fonctions
f1, . . . , fm :U −→R,
sont les composantes deX par rapport à(x1, ..., xm). Un champ de vecteursX est diérentiable si ses composantes fk(x) sont des fonctions diérentiables.
Cette dénition de diérentiabilité ne dépend pas évidemment du choix du système de coordonnées locales. En eet, si (y1, ..., ym) est un autre système de coordonnées locales dansU, alors
X = Xm
k=1
hk(x) ∂
∂yk, x∈U, où
h1, . . . , hm :U −→R,
sont les composantes de X par rapport à (y1, ..., ym)et le résultat découle du fait que
hk(x) = Xm
l=1
∂yk
∂xlfl(x), x∈U.
Au champ de vecteursX correspond un système d'équations diérentielles dx1
dt = f1(x1, ..., xm),
... (2.1)
dxm
dt = fm(x1, ..., xm).
Dénition 5 Un champ de vecteurs diérentiable X sur M s'appelle système dynamique.
Un champ de vecteurs s'écrit localement sous la forme (2.1).
Dénition 6 Une courbe intégrale (ou trajectoire) du champ de vecteurs X est une courbe diérentiable
γ :I −→M, t 7−→γ(t), telle que :
∀t∈I, dγ(t)
dt =X(γ(t)), où I est un intervalle de R.
Si m
X
k=1
fk(x) ∂
∂xk,
est l'expression locale deX, alors les courbes intégrales (ou trajectoires) deX sont les solutionsγ(t) = {xk(t)} de (2.1).
On suppose dans la suite que le champ de vecteursX est diérentiable (de classe C∞) et à support compact (i.e., X est nul en dehors d'un compact de M), ce qui sera en particulier le cas si la variété M est compacte.
Etant donné un point x ∈ M, on note gXt (x) (ou tout simplement gt(x)) la position de x après un déplacement d'une durée t ∈ R. On a ainsi une application
gtX :M −→M, t∈R,
qui est un diéomorphisme, en vertu de la théorie des équations diérentielles (voir théorème ci-dessous). Plus précisément, au champ de vecteurs X est lié un groupe à un paramètre de diéomorphismes gXt sur M c'est-à-dire une application diérentiable (de classe C∞) : M ×R −→M, vériant une loi de groupe :
i) ∀t ∈R, gXt :M −→M est un diéomorphisme deM surM.
ii) ∀t, s ∈R, gt+sX =gtX ◦gsX.
La conditionii) signie que la correspondance t7−→gXt , est un homomor-phisme du groupe additif R dans le groupe des diéomorphismes de M dans M.Elle implique que
gX−t=¡ gtX¢−1
,
carg0X =idM est la transformation identique qui laisse chaque point invariant.
Dénition 7 Le groupe à un paramètre de diéomorphismes gtX sur M, que l'on vient de décrire s'appelle ot et il admet le champ de vecteurs X pour champ de vitesses
d
dtgXt (x) = X¡
gtX(x)¢ , avec la condition initiale
g0X(x) = x.
Evidemment
d dtgXt (x)
¯¯
¯¯
t=0
=X(x).
Donc par ces formules gtX(x) est la courbe sur la variété qui passe par x et telle que la tangente en chaque point est le vecteur X¡
gtX(x)¢ .
Nous allons maintenant voir comment construire le ot gtX sur toute la variété M.
Théorème 8 Le champ de vecteurs X est générateur d'un unique groupe à un paramètre de diéomorphismes de M.
Démonstration :a)Construction degtX pourtassez petit. Pour xxé, l'équa-tion diérentielle
d
dtgXt (x) = X¡ gtX¢
, fonction de t avec la condition initiale
g0X(x) = x,
admet une solution uniquegXt dénie au voisinage du pointx0 et dépendant de façonC∞de la condition initiale. Donc gtX est localement un diéomorphisme.
Dès lors pour chaque pointx0 ∈M,on peut trouver un voisinage U(x0)⊂M, un nombre réel positif ε ≡ ε(x0) tels que pour tout t ∈ ]−ε, ε[, l'équation diérentielle en question avec sa condition initiale admet une solution unique gtX(x) diérentiable dénie dans U(x0) et vériant la relation de groupe
gXt+s(x) =gXt ◦gXs (x), avect, s, t+s ∈]−ε, ε[.En eet, posons
x1 =gtX(x), t xé,
et considérons la solution de l'équation diérentielle satisfaisant dans le voisi-nage du point x0 à la condition initiale
gs=0X =x1.
Cette solution vérie la même équation diérentielle et coincide en un point gtX(x) = x1,
avec la fonctiongt+sX . Donc, par unicité de la solution de l'équation diérentielle, les deux fonctions sont localement égales. Par conséquent, l'applicationgtX est localement un diéomorphisme. Rappelons que le champ de vecteurs X est supposé diérentiable (de classeC∞) et à support compactK.Du recouvrement deK formé par des ouverts U(x),on peut extraire un sous-recouvrement ni (Ui), puisque K est compact. Désignons par εi les nombres ε correspondants auxUi et posons
ε0 = inf (εi), gtX(x) =x, x /∈K.
Dès lors, l'équation en question admet une solution uniquegtX surM×]−ε0, ε0[ vériant la relation du groupe
gt+sX =gtX ◦gsX,
l'inverse degtX étantgX−tet doncgtX est un diéomorphisme pourtsusamment petit.
b) Construction de gtX pour tout t ∈ R. D'après a), il sut de construire gtX pour t ∈ ]−∞,−ε0[ ∪]ε0,∞[. Nous allons voir que les applications gtX se dénissent d'après la loi de multiplication du groupe. Notons que t peut s'écrire sous la forme
t=kε0 2 +r, aveck ∈Z etr∈£
0,ε20£
. Posons, pourt∈R∗+, gtX =gXε0
2 ◦ · · · ◦gXε0
| {z 2}
k−fois
◦ grX,
et pourt ∈R∗−,
gtX =g−Xε0
2 ◦ · · · ◦g−Xε0
| {z 2}
k−fois
◦ gXr .
Les diéomorphismes gX±ε0
2 et grX ont été dénis dans a), et on en déduit que pour tout réelt, gXt est un diéomorphisme déni globalement sur M. ¤
Corollaire 9 Toute solution de l'équation diérentielle dx(t)
dt =X(x(t)), x∈M,
avec la condition initiale x (pour t = 0), est indéniment prolongeable. La valeur de la solution gtX(x) à l'instant t est diérentiable par rapport à t et à la condition initialex.
Avec un léger abus de notation, on peut écrire l'équation précédente sous la forme du système d'équations diérentielles (2.1) avec les conditions initiales x1, ..., xm pourt = 0.
Au champ de vecteursXest lié l'opérateur diérentielLX d'ordre1. Il s'agit de la diérentiation des fonctions suivant la direction du champ de vecteurs X.On a
LX :C∞(M)−→ C∞(M), F 7−→LXF, où
LXF(x) = d dtF¡
gtX(x)¢¯¯
¯¯
t=0
, x∈M.
Ici C∞(M) désigne l'ensemble des fonctions F : M −→ R, de classe C∞. L'opérateur LX est linéaire
LX(α1F1+α2F2) = α1LXF1+α2LXF2, (α1, α2 ∈R), et satisfait à la formule de Leibniz
LX(F1F2) = F1LXF2 +F2LXF1.
Comme LXF(x) ne dépend que des valeurs de F au voisinage de x, on peut donc appliquer l'opérateur LX à des fonctions dénies seulement au voisi-nage d'un point, sans avoir besoin de les prolonger à toute la variété M. Soit (x1, ..., xm)un système de coordonnées locales surM.Dans ce système le champ de vecteursX a pour composantesf1, . . . , fm et le otgXt est déni par le sys-tème d'équations diérentielles (2.1). Donc la dérivée de F = F (x1, ..., xm) suivant la direction deX s'écrit
LXF =f1
∂F
∂x1 +· · ·+fm
∂F
∂xm.
Autrement dit, dans les coordonnées(x1, ..., xm) l'opérateur LX s'écrit LX =f1 ∂
∂x1
+· · ·+fm ∂
∂xm
,
ceci n'est autre que la forme générale de l'opérateur diérentiel linéaire du premier ordre.