Equations fondamentales de la mécanique linéaire de la rupture

Equations fondamentales de la mécanique linéaire de la rupture

Annexe A

A. Zeghloul

SOMMAIRE

Rappels d’élasticité plane

Fonction d’Airy en variables complexes

Représentation des déplacements et des contraintes

Expression du torseur des efforts

Potentiels complexes dans un domaine Borné et multiplement Connexe

Potentiels complexes dans un domaine infini et multiplement Connexe

Plaque comportant un petit trou circulaire

Méthode utilisant l’intégrale de Cauchy

Plaque comportant un petit trou elliptique

Méthode de Westergaard pour les fissures

Méthode utilisant l’intégrale de Cauchy

- Définition de l’intégrale de Cauchy

D^- D⁺⁺⁺⁺

L

F z i

f t

t zdt z

z t

( ) ( )

= −

∈

RS

∉

T

^∈

z

^{+ −}

1

2

ππππ

_L avec ou L L mais D D et f(t)étant une fonction de la variable complexe donnée sur le contour fermé L, l’intégrale de Cauchy notée F(z) est définie par :

Si f z( ) est holomporphe dans D⁺, elle se met sous la forme : f z( )=

∑

^∞ a z_n ⁿ

0

Si f z est holomporphe dans ^-, elle se met sous la forme : f z a z

n

( ) D ( )=

∑

^∞ n

0

- Formules de Cauchy

f holomorphe dans contenant l' origine et continue dans à l' exception de n points avec

pour pour

D D

D

D D⁺

+ +

+ →

−

+

∈  →

⇒ − = − ∈

− = − ∈

R S ||

T ||

z ^∑

z ^∑

L

z f z g z

i f t

t zdt g z z

i f t

t zdt f z g z z

i z z i

i n

i n

( ) i ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

e j

1 2

1 2

1

1

ππππ ππππ

L

L

D^- D⁺⁺⁺⁺

L

f holomorphe dans contenant l' origine et continue dans pour

pour

D D

D D⁺

+ +

−

+

⇒ − = ∈

− = ∈

R S ||

T ||

z z

L

i f t

t zdt z

i f t

t zdt f z z

1

2 0

1 2

ππππ ππππ

( )

( ) ( )

L

L

f z( )=

∑

^∞ a z_n ⁿ

0

f holomorphe dans et continue dans à l' exception de n points avec

+ ( ) pour + pour

D D

D

D D⁺

− −

−

→

−

+

∈  →

⇒ − = − + ∞ ∈

− = ∞ ∈

R S ||

T ||

z ^∑

z ^∑

L

z f z g z

i f t

t zdt f z g z f z

i f t

t zdt g z f z

i z z i

i n

i n

( ) i ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

e j

1 2

1 2

1

1

ππππ ππππ

L

L

D^- D⁺⁺⁺⁺

L

f holomorphe dans et continue dans pour pour

D D

D D⁺

− −

−

+

⇒ − = − + ∞ ∈

− = ∞ ∈

R S ||

T ||

z z

L

i f t

t zdt f z f z

i f t

t zdt f z

1 2

1 2

ππππ

ππππ

( ) ( ) ( )

( ) ( )

L

L

f z a

z

n

( )=

∑

^∞ n 0

- Formules de Cauchy (suite)

Etude d’une plaque comportant un petit trou elliptique - Transformation conforme pour trou elliptique

z R m R

= =

F

+ m

HG I

KJ RS T

≤ <^>

ω

ωωω ζζζζ ζζζζ

( ) ζζζζ avec 0

0 1 L

2a

2b

Ellipse Ldans le plan des z

γ 1

Cercle unité γγγγ dans le plan des ζζζζ

a R m

b R m

m L R

m L a R

= +

= −

RS T

=

→ →

RS T

( )

( )

1 1 0

1

cercle de rayon fissure de longueur 2 = 2

Plaque trouée calcul dans extérieur de l' ellipse dans le plan des extérieur du cercle dans le plan des

⇒

RS T

−

−

D D

( ) ( )

L L z

γγγγ γγγγ ζζζζ

Par la suite on adoptera les notations suivantes espace des espace des

ζζζζ ϕϕϕϕ ζζζζ ψ ψψ ψ ζζζζ ω

ωω

ω ζζζζ ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ ω ωω ω ζζζζ

, ( ), ( )

( ), ( ) ( )

…

z= z = …

RS T

¹

b g

Α Α

= +

= + + +

R S|

T|

Re

( ) ( )

z z z

z z z z z z

ϕϕϕϕ χχχχ ϕϕϕϕ χχχχ ϕϕϕϕ χχχχ

b g b g b g b g

1 2

i X iY ds i d y i

x z z z z z

n+ n =

F

−

HG I

KJ

^{= = + +}

z ^{b g} z

^∂_∂^{Α ∂}_∂^{Α 2∂}_∂^{Α ϕ( ) ϕ' ( ) ψ( )}

' '

1 1

2

2 2

2 2

2 2

Le calcul du produit z ( ) donne z ( ) ( ) '( ) '( )

( ) ( ) 1

(1 ) 1

Sur le cercle unité , on a '( )

( ) 1 1

'( ) 1

i

z z

R m m

R m m

e

m m

m m

θ

ϕ ϕ ω ζ ϕ ζ

ω ζ

ω τ τ τ τ

τ τ τ

γ τ ω τ

ω τ τ τ τ τ

ω τ τ τ

=

 = + = +

 − −

= ⇒ 

+ +

 = =

 − −



Condition limite sur le cercle unité

=

=

γγγγ

ζζζζ ττττ ϕϕϕϕ ττττ

ττττ ττττ

ττττ ϕϕϕϕ ττττ ψ ψψ ψ ττττ ϕϕϕϕ ττττ ττττ ττττ

ττττ ϕϕϕϕ ττττ ψ ψψ ψ ττττ

= ⇒ + +

− +

+ +

− +

R S ||

T ||

b g

^f

m m

f m

m

( ) ' ( ) ( )

( ) ' ( ) ( )

1 1 1

2 2 2 2

On peut alors exprimer une condition limite sur le contour , par =

L f = z z z z

f z z z z

ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ ψψ ψ ψ

ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ ψ ψψ ψ

( ) ' ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( )

+ +

+ +

RS T

γ 1

Cercle unité γγγγ dans le plan des ζζζζ

ère

2 2

Intégrale de Cauchy de la 1 condition limite

( ) ( ) 1 '( )

1 f m

m ϕ τ ψ τ τ ϕ τ

τ τ

 = + + + 

 − 

 

1 2

1 2

1

2 1

1 2

2

ππππ ϕϕϕϕ ττττ 2

ττττ ζζζζ ττττ

ππππ ψψψ ττττψ ττττ ζζζζ ττττ

ππππ ττττ

ττττ ττττ ϕϕϕϕ ττττ ττττ

ττττ ζζζζ ππππ ττττ ζζζζ ττττ

γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ

i d

i d

i

m m

d i

f d

( ) ( )

( ) ' ( )

− +

− + +

− − =

z z z z

−

(1) (2) (3)

f holomorphe dans pour

f holomorphe dans pour

D D

D D

-

-

−

+

⇒ − = − + ∞ ∈

⇒ − = ∈

z z

1 2

1

2 0

ππππ ππππ i

f t

t zdt f z f z

i f t

t zdt z

( ) ( ) ( )

( )

L

L

ϕϕϕϕ ζζζζ

ππππ ϕϕϕϕ ττττ

ττττ ζζζζ ττττ ϕϕϕϕ ζζζζ ϕϕϕϕ

γγγγ

holomorphe dans et D^- ∈D^-

− = − + ∞

z

1

2 i ( )d

( ) ( )

(1)

ψ ψψ

ψ ζζζζ ψψψψ

ζζζζ ππππ

ψ ψψψ ττττ ττττ ζζζζ ττττ

ππππ ττττ ττττ ζζζζ ττττ

γγγγ γγγγ

holomorphe dans 1

est holomorphe dans

D⁻ ⇒ =

F

D⁺

HG I

KJ

^⇒ − =

− =

z z

u i d

i

u d

( ) 1 ( ) ( )

2

1

2 0

(2)

+

1 2

2 3

2 3

1 2

0 2 1 2

2

2

1 2

2 Holomorphe dans

'( ) 2 ...

holomorphe dans , ( ) ... '( ) 2 ....

1 ( 2 ....) 0

2 1

a a

a a

a a a

m d

a a

i _γ m

ϕ ζ ζ ζ

ϕ ϕ ζ ϕ τ τ τ

ζ ζ π τ τ τ τ τ ζτ

−



= − − +



= + + + ⇒ = − − +

 +

 + + =

− −



∫

D

D

=0

( ) 1 ( )

2

f d i _γ

ϕ ζ τ ϕ

π τ ζ

= − + ∞

∫ −

ème

2 2

Intégrale de Cauchy de la 2 condition limite

( ) 1 m '( ) ( )

f m

ϕ τ τ τ ϕ τ ψ τ τ

 = + + + 

 − 

 

1 2

1 2

1 2

1 2

1

0

2

ππππ 2

ψψψ ψ ττττ ττττ ζζζζ ττττ

ππππ ττττ ττττ ζζζζ ππππ

ϕϕϕϕ ττττ ττττ ζζζζ ττττ

ππππ ττττ ττττ

ττττ ϕϕϕϕ ττττ ττττ ττττ ζζζζ

γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ

ψ ψψψ ζζζζ ψψψψ

i d

i f d

i d

i m

m d

( ) ( )

' ( )

( ) ( )

− =

− −

− − +

− −

z z z z

− + ∞ = ⁽¹⁾

ϕϕϕϕ ζζζζ ζζζζ ζζζζ

ϕϕϕϕ ττττ

ττττ ττττ ττττ ττττ

ττττ ϕϕϕϕ ττττ ζζζζ ϕϕϕϕ ζζζζ

ππππ ττττ ττττ

ττττ ϕϕϕϕ ττττ ττττ

ττττ ζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ ϕϕϕϕ ζζζζ

ζζζζ

γγγγ

( ) ...

' ( ) ...

' ( ) , . ' ( )

' ( ) ' ( )

= + + + ⇒

= − − +

+

− +

− − = − +

−

R S

|| |||

T

|| |

||

≈

→∞

z

a a a

a a

m

m m

i m

m

d m

m

0

1 2

2

1 2

2 3 2

2

2 2

2 2

2

1 0

1 2

1 1

holomorphe dans D^- avec

(1)

f holomorphe dans pour

f holomorphe dans pour

D D

D D

-

-

−

+

⇒ − = − + ∞ ∈

⇒ − = ∈

z z

1 2

1

2 0

ππππ ππππ i

f t

t zdt f z f z

i f t

t zdt z

( ) ( ) ( )

( )

L

L

2 2

=0

1 1

( ) '( ) ( )

2

f m

i _γ d m

ψ ζ τ ζ ζ ϕ ζ ψ

π τ ζ ζ

= − − + + ∞

− −

∫

ϕϕϕϕ et étant définies à une constante près, on peut toujours choisir ( ) ψ ψψ ψ ϕϕϕϕ ∞ = ψψ ψ ψ ( ) ∞ = 0

Solutions ϕ

1

(z) et ψ

1

(z) dans un domaine infini et multiplement connexe

ϕϕϕϕ ππππ κκκκ ϕϕϕϕ

ψ ψψ

ψ κκκκ ππππ κκκκ ψψψψ

σσσσ σσσσ σσσσ σσσσ

σσσσ

ϕϕϕϕ ψψψψ ϕϕϕϕ ψψψψ

1 1

0

1 1

0

1 0

1 0

1 0

0

1 0

0

2 1

2 1

4 2

z X iY

z z z

z X iY

z z z

i a z

a z

x y y x

xy n n

n n

b g b g b g

b g b g b g

= − +

+ + +

= −

+ + +

R S ||

T ||

= = +

= −

+

= =

F HG I

KJ R

S ||

T ||

∞ ∞ ∞ ∞

∞

∞ ∞

∑ ∑

log

log '

'

, '

Γ Γ

Γ Γ Γ

avec

et

holomorphes dans D^- et

z R m

R m

z R m

m m m

z R Rm

= =

F

+

HG I

KJ

⁼

F

⁺

HG I

KJ

^⇒

= + +

F

+

HG I

KJ F

+

HG I

KJ

^{= − +}

= +

R S ||

| T ||

|

ω

ωωω ζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ

ζζζζ ζζζζ

ζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ ( )

log log log log

log ....

1

1

1 1

2 2

2

2 2

2 4

Γ Γ Γ

z= ⇒ =

RS

= ω

T

ωωω ζζζζ ϕϕϕϕ ωωωω ζζζζ ϕϕϕϕ ζζζζ ψ

ψψ

ψ ωωωω ζζζζ ψψψψ ζζζζ

( ) ( ) ( )

( ) ( )

1 1

b g

b g

ϕϕϕϕ ζζζζ

ππππ κκκκ ζζζζ ζζζζ ϕϕϕϕ ζζζζ

ψ ψψ ψ ζζζζ κκκκ

ππππ κκκκ ζζζζ ζζζζ ψ ψψ ψ ζζζζ ϕϕϕϕ ζζζζ ψψ ψ ζζζζ ψ

b g b g b g

b g b g b g

b g b g

= − +

+ + +

= −

+ + +

R S ||

T ||

X iY

R X iY

R

2 1

2 1

0

0

0 0

log

log '

Γ Γ

avec et holomporphes dans D^-

⇒

= − +

+ + +

= − −

+ + +

R S ||

T ||

ϕϕϕϕ ζζζζ

ππππ κκκκ ζζζζ ϕϕϕϕ ζζζζ

ϕϕϕϕ ζζζζ

ππππ κκκκ ζζζζ ϕϕϕϕ ζζζζ

' '

' '

b g b g b g

b g b g b g

X iY

R X iY

R

2 1

1

2 1

1

0

0

Γ Γ

ϕϕϕϕ ζζζζ

ππππ κκκκ ζζζζ ζζζζ ϕϕϕϕ ζζζζ

ψ ψψ ψ ζζζζ κκκκ

ππππ κκκκ ζζζζ ζζζζ ψ ψψ ψ ζζζζ ϕϕϕϕ ζζζζ ψ ψψ ψ ζζζζ

b g b g b g

b g b g b g

b g b g

= − +

+ + +

= −

+ + +

R S ||

T ||

X iY

R X iY

R

2 1

2 1

0

0

0 0

log

log '

Γ Γ

avec et holomporphes dans D^-

⇒

= − +

+ + +

= − −

+ + +

= − +

+ + +

R S ||

| T ||

|

ϕϕϕϕ ττττ

ππππ κκκκ ττττ ϕϕϕϕ ττττ

ϕϕϕϕ ττττ

ππππ κκκκ ττττ ϕϕϕϕ ττττ

ψ

ψψ ψ ττττ κκκκ

ππππ κκκκ ττττ

ττττ ψ ψψ ψ ττττ

' '

' '

log '

b g b g b g

b g b g b g

b g b g b g

X iY

R X iY

R

X iY R

2 1

1

2 1

2 1

0

0

0

Γ Γ Γ

Condition limite sur le cercle unité

=

=

γγγγ

ζζζζ ττττ ϕϕϕϕ ττττ

ττττ ττττ

ττττ ϕϕϕϕ ττττ ψ ψψ ψ ττττ ϕϕϕϕ ττττ ττττ ττττ

ττττ ϕϕϕϕ ττττ ψ ψψ ψ ττττ

= ⇒ + +

− +

+ +

− +

R S ||

T ||

b g

^{f mm}

f m

m

( ) ' ( ) ( )

( ) ' ( ) ( )

1 1 1

2 2 2 2

Pour ne garder que les termes holomorphes dans à droite des expressions précédentes, on remplace par D^- f f

f f X iY

R m

m

X iY

R R X iY

0

0

2

2 1 2

1

1 2 1 2 1

= + +

+ − + +

−

−

+ −

F HG I

KJ

^{− + ++}

π κ τ τ τ τ

τ π κ τ τ κ π κ τ

b g

^{log Γ}

b g

^{Γ Γ'}

b g

^log

f f X iY

R m

m

X iY m

m

R

0

2 2

2

2 1 2 1 1 2

= + + − + +

−

F HG I

KJ

^{+ −}+

+

− −

ππππ ττττ ττττ ττττ

ττττ ττττ ππππ κκκκ

ττττ

ττττ ττττ

log ( )

Γ Γ'

b g

Exemple : chargement de traction simple d’une plaque avec un petit trou elliptique

x y

σ∞

- Conditions Limites (CL) à l’infini

σσσσ σσσσ

σσσσ σσσσ

σσσσ σσσσ

y

x xy

∞ ∞

∞ ∞

∞

∞

=

= =

RS| T|

^⇒

=

=

R S ||

T ||

0

4 2 Γ Γ' - CL sur le trou (trou libre)

X = =Y ⁰ ⇒ f =i

z ^b

X_n+iY ds_n

^g

=

^ϕ

^{( )}z +z

^ϕ

^{' ( )}z +

^ψ

^{( )}z =⁰ f0= f

2 X iY

π

+ +

( )

2

log 2

(1 ) 2 1

m X iY

R m

τ τ τ

τ τ π κ

 +  −

− Γ  + +

− +

 

2 2

' 1

m R

m

τ

τ τ

+ −Γ

−

f R m

m

R

0

2

4 1 2 2

= − + +

−

L NM O

QP

⁻

∞ ∞

σσσσ ττττ ττττ

ττττ ττττ σσσσ

ττττ

( ) ⇒ = − + +

−

L NM O

QP

⁻

∞ ∞

f R m

m

R

0

2

4 2

1 1

2

σσσσ

ττττ ττττ ττττ

ττττ σσσσ ττττ

ζζζζζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ

ζζζζ ζζζζ ζζζζ

2 2

2 2 4

2 3 3

1 1

1 +

− =

F

+

HG I

KJ

^{+ + +}

= + + + + +

m m

m m m

m m m m

( )

( ) ( )

…

…

c h

holomorphe dans ^- Holomorphe dans ⁺

D ^D

⇒ +

− − = −

z

1

2 1

2

ππππ ττττ

2

ττττ ττττ ττττ

ττττ ζζζζ ζζζζ

iγγγγ

m m

d m

( )

1

2 0

1 2

1 1

ππππ ττττ ττττ ττττ ζζζζ ππππ ττττ ττττ

ττττ ζζζζ ζζζζ

γγγγ γγγγ

i d

i d

− =

− = −

R S ||

T ||

z z

f R m m

R

0

2

4 2

1 1

= − + + 2

−

L NM O

QP

⁻

∞ ∞

σσσσ

ττττ ττττ ττττ ττττ

σσσσ ττττ _ζζζζ ^ζζζζ

ζζζζ

ζζζζ ζζζζ ζζζζ

ζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ

ζζζζ ζζζζ ζζζζ

1

1 1

1 1

1 1 1

2 2

2

2

2 2 4

2 3

3

+

− =

+

F

−

HG I

KJ

=

F

+

HG I

KJ F

^{+ + +}

HG I

KJ

= + + + + +

R S

| ||

T

| ||

m m

m

m m m m

m m m m

…

…

Holomorphe dans

Holomorphe dans +

D -

D

2

^{( ) ( )}

1 2

1 ² 1 1

2

2 2

2

ππππ ττττ ττττ

2

ττττ

ττττ

ττττ ζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ

ζζζζ

γγγγ

ζζζζ

i

m m

d m m

m

m m +

− − = − +

− = − +

z

^{( ) (} − ⁾

f R m

m

R

0

2

4 1 2 2

= − + +

−

L NM O

QP

⁻

∞ ∞

σσσσ ττττ ττττ

ττττ ττττ σσσσ

ττττ

( )

1

2 1

2

ππππ ττττ

2

ττττ ττττ ττττ

ττττ ζζζζ ζζζζ

iγγγγ

m m

d m

+

− − = −

z

_{( )}

1

2 0

1 2

1 1

ππππ ττττ ττττ ττττ ζζζζ ππππ ττττ ττττ

ττττ ζζζζ ζζζζ

γγγγ γγγγ

i d

i d

− =

− = −

R S ||

T ||

z z

ϕϕϕϕ ζζζζ ππππ ττττ

ττττ ζζζζ σσσσ

ζζζζ σσσσ

ζζζζ σσσσ

γγγγ ζζζζ

0 0

1

2 4 2

1

4 2

( )= − ( )

− = − −

F

−

HG I

KJ

⁻

F

⁻

HG I

L KJ

NM O

QP

^{= − +}

z

^{∞ ∞ ∞}

i f d R m R R

m

ϕϕϕϕ ζζζζ

ππππ ττττ ζζζζ ττττ

γγγγ 0

1

0

( ) = − 2

z −

i

f d

( ) ( )

0

( )

0

4

2 1 log X iY

R

σ

ϕ ζ ζ ζ ϕ ζ

π κ

∞

= − + + Γ +

+

ϕϕϕϕ ζζζζ ϕϕϕϕ ζζζζ σσσσ ζζζζ σσσσ ζζζζ

( )= ( )+ =

F

− +ζζζζ

HG I

KJ

∞ ∞

0 4 4

2

R R m

2

0 0 2 0

1 1

( ) ' ( )

2

d m

i_γ f m

τ ζ

ψ ζ ζ ϕ ζ

π τ ζ ζ⁺

= − −

− −

∫

( ) ( )

0

( )

0

2

log '

2 1

X iY

R

σ

ψ ζ κ ζ ζ ψ ζ

π κ

∞

= − + Γ +

+

2 2

2 2 2

1 1 1 2

( ) 2 4 4

R R m m R m

m m

σ σ ζ σ

ψ ζ ζ ζ ζ

ζ ζ ζ ζ

∞  ∞  +  + ∞ +

= − − − − −

− −

 

 

ψψψ

ψ ζζζζ σσσσ ζζζζ σσσσ

ζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ σσσσ

( )= − − − − + ζζζζ

−

F HG I

L KJ

NM O

QP

^{− +− +}

∞ ∞ ∞

R R m

m

m m

R m

2 4

1 1 1

4

2 2

2

2

2 2

ψ ψψ ψ ζζζζ

σσσσ ζζζζ

ζζζζ ζζζζ ζζζζ ζζζζ

ζζζζ ζζζζ

σσσσ ζζζζ ζζζζ ζζζζ

ζζζζ ζζζζ ζζζζ

ζζζζ ζζζζ

σσσσ ζζζζ ζζζζ

ζζζζ ζζζζ

( )

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

( )

( )

=

− − + + +

− + + +

−

L NM O

QP

− − + − + +

− + + +

−

L

N MM O

Q PP

− − + + + +

−

L NM O

QP R

S

|| ||

T

|| ||

∞

∞

∞

R m

m

m m

m

R m m

m

m m

m

R m m

m

4 2 1 1 2 1

4 2 1 2 1

2

1 1

2 2

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2

2

c h

2 2 2

2 2

(1 ) 1 1 (1 )(1 )

( ) 2 ( ) 2

R m m R m m

m m m m

σ ζ σ ζ

ψ ζ ζ ζ

ζ ζ ζ ζ

∞ 

+ + +

 ∞ 

+ +



= −



− + −



= −



− − + −



ϕϕϕϕ et étant déterminées, on peut alculer les champs de contraintes .... ψ ψψ ψ

c

Calcul de la contrainte maximale au bord du trou elliptique

σ∞

e_r e_θ

σ∞

β α

Trou circulaire, variable avec au bord du trou

ζζζζ ζζζζ = 1

Trou elliptique, variable avec

z

z R m

= = F +

HG I

ω KJ

ωω ω ζζζζ ζζζζ ( ) ζζζζ Au bord du trou circulaire

σσσσ σσσσ σσσσ

_θθθθ

σσσσ ζζζζ

_θθθθ^θθθθ

r

=

r

=

= =

0

max

1

( )

Au bord du trou elliptique σσσσ σσσσ

σσσσ

_ββββ^αααα

σσσσ ω

^{αβαβαβαβ}_ββββ

ωω ω

= =

=

0

max

1

( ( ))

ϕϕϕϕ ζζζζ ϕϕϕϕ ζζζζ σσσσ ζζζζ σσσσ ζζζζ

( )= ( )+ =

F

− +ζζζζ

HG I

KJ

∞ ∞

0 4 4

2

R R m

σσσσ ϕϕϕϕ ϕϕϕϕ ζζζζ

ωωω

ω ζζζζ σσσσ ζζζζ

ζζζζ

ββββ= = =

F

+ +

HG I

KJ F

−

HG I

KJ

4 4 ∞

1 2

1

1

2

2

Re ' ( ) Re ' ( )

' ( ) Re

z

m

m

σσσσββββ^max=σσσσ ζζζζββββ( = =) σσσσ + σσσσ

F

−

HG I

KJ

⁼

F

^{+ +}−

HG I

∞ ∞

KJ

1 3

1 1 21

1 m

m

m m

avec a R m

b R m

= +

= −

RS T

^{((11 ))}

E

= F +

HG I

∞

KJ

σσσσ

_ββββ^max

σσσσ ^{1 2 a} b

max

Le coefficient de concentration de contraintes

t t

1 2

K K a

b σ

σ

^∞

= ⇒ = +

Calcul du champ de contrainte au voisinage d’un trou circulaire dans une plaque chargée en traction

Trou circulaire a = = b R m ( = 0) et z = ω ζ ( ) = R ζ

L

2a

2b

Ellipse Ldans le plan des z

γ 1

Cercle unité γγγγ dans le plan des ζζζζ

( ) avec 0

0 1

(1 ) Ellipse d'axes

(1 ) m R

z R

m

a R m

b R m

ω ζ ζ

ζ

>

  

= =  +   ≤ <

= +



= −



0

2 2

( ) 4 _m 4

R m R

σ σ

ϕ ζ ζ ζ

ζ ζ

∞ ∞

=

 +   

=  −  =  − 

   

2 2

( ) 4

z z R

z

ϕ σ^{∞ }

⇒ =  − 

 

2 2

2 3

'( ) 1 2 et ''( ) 4

R R

z z

z z

σ σ

ϕ ^{∞ } ϕ ^∞

⇒ =  +  = −

 

2 2

2 3

0

(1 ) 1 1 1

( ) 2 ( )

_m

2

R m m R

m

σ ζ σ

ψ ζ ζ ζ

ζ ζ ζ ζ

∞ ∞

=

 + + +   

= −   − + −   = −   − + +  

2 4

( ) 3

2

R R

z z

z z

ψ σ^{∞ }

⇒ = − − + + 

 

2 4

2 4

'( ) 1 3 2

R R

z z z

ψ σ^{∞ }

⇒ =  + + 

 

σy^∞ =σ^∞

2 2

2 3

'( ) 1 2 et ''( ) 4

R R

z z

z z

σ σ

ϕ = ^∞ + ^ ϕ = − ^∞

 

2 4

2 4

'( ) 1 3 2

R R

z z z

ψ =σ^∞ + + ^

 

4 Re '( )

r z

σ σθ+ = ϕ

[ ]

2 2 2ⁱ "( ) '( )

r i r e^θ z z z

θ θ

σ σ− + σ = ϕ +ψ

2 2

4 Re '( ) 1 2 cos 2

i R

z re z

r

θ

ϕ σ

^∞

θ

^

= ⇒ =  + 

 

( )

( )

2 2 4

2

2 2 4

2 4

2

2 4

2 3

Re 2 '' ' 1 cos 2

Im 2 '' ' 1 2 3 sin 2

i i

i

R R R

e z

r r r

z re

R R

e z

r r

θ θ

θ

ϕ ψ σ θ

ϕ ψ σ θ

∞

∞

    

 + = + − +

      

    

= ⇒ 

 

  + =  + − 

  



2 2 4

2 2 4

2 4

2 4

2 4

2 4

4 3

1 1 cos 2

2 2

1 1 3 cos 2

2 2

2 3

1 sin 2

2

r

r

R R R

r r r

R R

r r

R R

r r

θ

θ

σ σ

σ θ

σ σ

σ θ

σ σ θ

∞ ∞

∞ ∞

∞

    

= − − − +

    

   

    

⇒

=



+



+



+



   

  



=



+ −



  



max 3 (K_t 3)

σθ = σ^∞ =

Applications du facteur K

_t

Gradient de contrainte le long d’une entaille

)

0 1 ² 3 ⁴

1 2 2

y y a a

x x

σ σ

=

∞

   

⇒ = +   +  

   

2 4

2 4

1 1 3 cos 2

2 2

a a

r r

θ

σ σ

σ

= ^∞ + ^+ ^∞ + ^

θ

   

)

⁰

)

0 ^{22 44}

1 1 3

2 2

r x y y

a a

x x

θ

θ

σ σ

σ

₌⁼ =

σ

₌ = ^∞ + ^+ ^∞ + ^

   

max t 3

K σ

σ^∞

= =

• Dans une plaque percée d’un petit trou circulaire de rayon a et chargée en traction, la contrainte ortho radiale σ

_θ

est donnée par :

σ

^∞

σ

^∞

σ

θ M

x y

• Le long de l’axe du trou on a σ

_θ

⁼ σ

y

(y=0) donnée par :

x

)

₀

y y

σ

₌

2 4 max

3 5

6 7 1

(2 )

y

x a t x a

d a a

dx x x a K

σ σ σ σ

ρ

∞ ∞

=

=

   

= − − = − = − +

   

 

 

1 max

(2 )

y x a t

d

dx K

σ σ

= ρ

 

= − +

 

 

Gradient de contrainte le long d’une entaille

Cette relation établie pour un trou circulaire reste valable pour toute entaille (elliptique, …) de facteur de

concentration de contrainte K_t. Le gradient de contrainte est inversement proportionnel à K_tet à ρ^.

max

Pour un trou elliptique _t 1 2a 1 2 a

K b

σ

σ^∞ ρ

= = + = +

0 1 2 3 4 5 6 7

1 2 3

x/a Trou circulaire K_t=3 Trou elliptique a/b=3

K_t=7

b2

ρ a

 

 = 

 

max

où σ =Ktσ^∞

•M

x y

β

Cercle b^→

Cercle a→

x y

M’ ds dθ

θθθθ ^M

ρρρρ= dsθθθθ = ′ = +

d avec ds MM (dx² dy²)¹²

x x a

y= y =b ds x y d

= =

RS T

^{( )( )ββββββββ cossinββββββββ ⇒ = ′ + ′( 2 2) ββββ}

12

tg dy dx

y

x d y x x y

x y d ds

d

x y

y x x y

θθθθ θθθθ ββββ ρρρρ

= = ′ θθθθ

′ ⇒ = ′′ ′ − ′′ ′

′ + ′ ⇒ = = ′ + ′

′′ ′ − ′′ ′

2 2

2 2 3

( ) 2

ρρρρ=(a sin ββββ+b cos ββββ) ab

2 2 2 2 3

2 x a b

= ,ββββ=0⇒ρρρρ= a

2

A

2

Démonstration de la relation b ρ = a

1- les distances δ le long de l’axe d’un trou circulaire de diamètre 5mm où les chutes de contrainte sont respectivement de 2, 5 et 10%

2- la contrainte moyenne dans tous les grains adjacents à la racine d’une entaille où la chute de contrainte n’excède pas 10% ; la plaque sollicitée à σ^nom=20MPa est en acier au manganèse à structure ferrito-perlitique dont la taille moyenne des grains est d_g =12µm et l’entaille en question est de forme elliptique avec

2, 5

a= cm et b=0, 5cm.

3- le rayon à fond d’entaille ρ pour une entaille facteur K_t =5 sachant que la chute de contrainte est de 5% en un point éloigné de 50 mµ de la racine de l’entaille ; même question pour un point éloigné de 100 mµ . Quelle conclusion peut-on en tirer ?

4- le facteur K_t d’une entaille de rayon ρ=2mm sachant que la chute de contrainte est de 2,5% à une distance de 20 mµ

5- les distances minimale et maximale où la chute de contrainte est de 5% pour une entaille de rayon à fond d’entaille ρ=1mm

1 max

Déterminer en linéarisant la ^y (2 )

x a t

d

dx K

σ σ

= ρ

 

= − +

 

 

De même pour le second grain:

La contrainte moyenne dans ce 2

^nd

est:

2 max

1 1

1 2 (2 ) 0, 95 220 210

11 1

g

dg MPa

σ = σ

^

− +

^

= × =

 

2

214, 5 210

212, 25 2

m

MPa

σ = ⁺ =

Effets d’échelle

Le facteur de concentration des contraintes est un rapport sans dimension qui dépend que des rapports géométriques. Si toutes les dimensions de la plaque 2 sont par exemple doubles de celles de la plaque 1 (figure ci- contre), le facteur K_t et la contrainte maximale atteinte à la racine de l’entaille sont les mêmes. Cependant, le gradient de contrainte, qui n’est pas sans dimension, est différent : ce paramètre est inversement proportionnel au rayon à fond d’entaille. Par conséquent la plaque 2, comparée à la plaque 1, a un plus grand volume adjacent à la racine de l’entaille et une plus grande surface d’entaille qui sont fortement sollicités : la probabilité d’amorçage de fissure est donc plus grande pour la plaque 2. Ce constat permet d’appréhender les effets d’échelle en fatigue.

Champs de contraintes et de déplacements près de l’extrémité d’une fissure

Entaille elliptique

Fissure

0

t b

K →∞

_→

Les contraintes sont infinies à l’extrémité d’une fissure dans un corps élastique 2a

2b

σσσσ

^∞

2a

b 0

σσσσ

^∞

max t

1 2 K a

b σ

σ

^∞

= = +