COMPLEXES ET FONCTION LOGARITHME

DS n° 3 Mathématiques term STLCH 2008-2009 Exercice : 6 points

On considère les nombres complexes : 1 2 3

2

3 3 1 2

z i z i z

      z .

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal





1. Mettre le nombres ^z₃ sous forme algébrique .

2. Calculer le module et un argument de ^z₁, ^z₂ et ^z₃ , puis en déduire leur forme trigonométrique.

3. Placer les points A, B et C d'affixes respectives z1, z2 et z3 . 4. Démontrer que le triangle BOC est rectangle en O.

5. Déterminer l'affixe z4du point D pour que le quadrilatère OADC soit un parallélogramme.

on mettra le nombre complexez4sous la forme algébrique.

Exercice 2 : 3 points

1. Résoudre dans l'ensemble des nombres réels l'équation : _x²_{4x 5 0}

2. En déduire la résolution, dans l'ensemble des nombres réels, des équations suivantes : (ln )x ²4lnx 5 0 ; ^{ln(x 3) ln(x 1) 3ln 2}

PROBLÈME : ( 11 points )

Dans tout le problème, le plan P est rapporté à un repère orthogonal (O;^i;^j)d'unité graphique 2 cm.

Soit f la fonction définie sur ^]0;[par 2 ln

( ) x x

f x x

   Partie A

1. Il semble que l'axe des ordonnées soit asymptote à la courbe C . Le prouver par le calcul.

2. a) Vérifier que pour tout x de^]0;[, 2 ln

( ) 1 x

f x   x x b) Déterminer la limite de f en

 

c) En déduire l'existence d'une asymptote D à la courbe C. Donner son équation et la tracer sur la page 3. a) Prouver que, pour tout x de^]0;[ 1 ln₂

'( ) x

f x x

   .

b) Montrer que f ' (x) s'annule en changeant de signe en 1 e.

c) Etablir le tableau de variation de f. Dans ce tableau, on donnera la valeur exacte du maximum de f.

d) Tracer La courbe représentative C de la fonction f dans le repère (O;^i;^j)

Partie B

1.Soit g la fonction définie sur ^]0;[par 2 ( ) x

g x x

  et H . la courbe représentative de g . a) Etudier rapidement la fonction g sur ^]0;[ (dérivée, limites, tableau de variation).

b) Donner les équations des deux asymptotes de la courbe H . 2. a) Calculer f (x) g(x) et étudier son signe.

b) Montrer que les deux courbes C et H se coupent en un point K d'abscisse 1.

c) Etudier la position relative des deux courbes C et H .

Placer le point K et construire la courbe H dans le repère précédent.

Annexe problème

2 3 4 5 6 7 8 2

3

-1

0 1

1

Annexe exercice 1

2 3 4 -1

-2 -3

-4

2 3 4

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x y

Correction

2 2 2

z z

2

2 2

1

1 2

cos 2 2

arg :

1 2

sin 2 2

z







  



 

 

  



, donc ₂ 2 ;

4 k k

      , comme z₃z₂ ,

on a :^argz₂  ^argz₁^2k , donc ₃ 2 ;

4 k k

    

2 3 4 5

-1 -2

-3

2 3

-1

-2

-3

0 1

1

x y

I J

M A

B C

O D

On sait que z₂  z₃  2, on déduit que le triangle BOC est isocèle en O.

1 (1 ) 1 1 2

C B

zBC^ z z         i i i i i, donc ^{BC z}_BC ^2

2 4

BC  et _OB²_OC² _{ 2}²_{ 2}² _{  2 2 4}, on déduit que _BC² _OB²_OC²et par conséquent Le triangle BOC est rectangle isocèle en O .

OADC est un parallélogramme signifie que ^z_AD^{ z}_OC^ , donc z_D z_A z_C ou encore

1 3 3 2 (1 3)

D C A

z z z    i i     i

Exercice 2

2 4 5 0

x  x   b²4ac16 4 ( 5) 16 20 36 0       , donc 2 racines distinctes

₁ 4 6

2 2 1

x b

a

   

    et ₂ 4 6

2 2 5

x b

a

   

   . S0  





2. (ln )x ²4 lnx 5 0 , lnxest définie sur l’intervalle ^]0;[ , on pose X lnx et on obtient _X²_{4X  5 0} et on a ^X₁^lnx₁^{ 1} ou ^X₂ ^lnx₂ ^5

Donc ₁ 1 ₁ 1

lnx 1 ln x

e e

     lnx₂ 5lnelne⁵ x₂e⁵ , ⁵ 1

;

S e

e

 

  

 

b. ^{ln(x 3) ln(x 1) 3ln 2}. Cette équation est définie pour tout réel x tels que : x 3 0 et x 1 0 x3 et x1 , donc elle est définie sur ^]3;[

ln(x 3) ln(x 1) 3ln 2ln(x3)(x 1) ln 23ln 8(x3)(x 1) 8

2 4 3 8 0 2 4 5 0

x x x x

         , donc x1 1ou x2 5 , donc une seule solution est acceptable Puisque ^x₁^{   1 ]0; [}, donc ^S'

 

Problème

PARTIE A : Etude de fonction f

1)   

 ( 2 ln )

lim0 x x

x et

0

lim 1

x^{ } x   .Il vient

   

0 0 0

1 1

lim 2 ln lim 2 ln lim

x x x x x x x

x x

  

        

donc 

  ( ) lim

0 f x

x .Comme 

  ( ) lim

0 f x

x alors l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe C.

2)a) Pour tout x de ^]0;^[ 2 ln

( ) x x

f x   x x x soit

x x x x

f 2 ln

1 )

(   

b) Comme 2

lim 0

x^ x  et ln

lim 0

x

x x

  , alors lim ( ) 1

x f x

 

c) On en déduit que la courbe C admet la droite d'équation x =1 comme asymptote au voisinage de.voir courbe.

3)a) Pour tout x de^]0;^[;

2

(1 1) ( 2 ln ) '( )

x x x

f x x

x

   

 ^{f x'( ) x   1 x}_x^{22 lnx .}

2

'( ) 1 lnx

f x x

  

b) 1 ln₂

'( ) 0 x 0 ]0; [

f x et x

x

       f x'( ) 0  1 lnx0  lnx1 lnx 1

 x e ^{1 1} e

  

2

'( ) 0 1 lnx 0 ]0; [

f x et x

x

       x e ^{1 1} e

   ^. Donc f ’(x) s’annule en changeant de signe en 1

x e c) Il en résulte le tableau de variation de f :

PARTIE B :

1) g est la fonction définie sur ^]0;[ par

x x x

g 2

)

(  

a) ( ₂ 2)

'( ) x x

g x x

   ; ₂2 '( )

g x x

  Comme g'(x) 0 sur]0;[ alors la fonction g est strictement décroissante

sur^]0;[ .

0

lim ( )

x

g x

   _et lim ( ) 1

x g x

  _. Il en résulte le tableau de variation suivant :

b) La courbe H admet comme asymptote l'axe des ordonnées et la droite D.

x 0 e^1 + '( )

f x + 0  ( )

f x

1+e

 1

x 0 + '( )

f x  ( )

f x



1

H

C

1/e e+1

2 3 4 5 6 7

2 3 4

-1 -2

0 1

1

x y

A